Đa Thức Một Biến
Đơn thức, đa thức, thu gọn, sắp xếp, bậc và nghiệm của đa thức
Trước khi học đa thức, ta cần tìm hiểu thành phần đơn giản nhất tạo nên đa thức — đó là đơn thức.
• Số thực được gọi là hệ số.
• Số mũ của luỹ thừa của biến được gọi là bậc của đơn thức.
Chẳng hạn, đơn thức $5x^4$ có:
Một vài trường hợp đặc biệt:
| Đơn thức | Hệ số | Bậc |
|---|---|---|
| $3x^5$ | $3$ | $5$ |
| $-x^3$ | $-1$ | $3$ |
| $-6$ | $-6$ | $0$ |
| $2^3 \cdot x = 8x$ | $8$ | $1$ |
Với đơn thức một biến, ta có hai phép tính cơ bản: cộng/trừ hai đơn thức cùng bậc và nhân hai đơn thức.
a) $(0{,}4x)(5x^3) = ?$
b) $(-3x^2)\left(\dfrac{1}{3}x^4\right) = ?$
Áp dụng: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Các biểu thức như $A = 5x^3 - 2x^2 - 3x^3 + 4$ và $B = 3x^4 - x^2 + 2x + 6$ đều là tổng của những đơn thức của cùng một biến $x$. Đó là những ví dụ về đa thức một biến.
Số $0$ cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
Ta thường ký hiệu đa thức bằng chữ cái in hoa, đôi khi viết thêm ký hiệu biến trong ngoặc đơn:
$P = P(x) = 3x^4 - x^2 + 2x + 6$
Đa thức $3x^3 - 4x^2 + 1$ có ba hạng tử:
| Hạng tử | Hệ số | Bậc |
|---|---|---|
| $3x^3$ | $3$ | $3$ |
| $-4x^2$ | $-4$ | $2$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
• Mỗi đơn thức cũng là một đa thức (đa thức chỉ có 1 hạng tử).
• Mỗi số thực cũng là một đa thức (đa thức bậc $0$ nếu khác $0$).
Khi làm việc với đa thức, ta thường cần đưa nó về dạng gọn nhất để dễ tính toán.
Nếu đa thức chưa thu gọn, ta cần cộng các đơn thức cùng bậc lại với nhau.
Thu gọn $A = 5x^3 - 2x^2 - 3x^3 + 4$.
Sắp xếp đa thức: Để thuận lợi cho tính toán, người ta thường viết đa thức ở dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử theo luỹ thừa giảm (hoặc tăng) của biến.
Sắp xếp $P = 4x^2 - 3x + 2 - 5x^3$.
Cũng có thể sắp xếp theo luỹ thừa tăng: $P = 2 - 3x + 4x^2 - 5x^3$.
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không, ta có ba khái niệm quan trọng:
Cho $P = -2x^3 - 3x^2 + 2x^3 + 5x + 8$. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do.
Bước 1 — Thu gọn:
Bước 2 — Phân tích:
| Hạng tử | Hệ số | Bậc |
|---|---|---|
| $-3x^2$ | $-3$ | $2$ ⭐ |
| $5x$ | $5$ | $1$ |
| $8$ | $8$ | $0$ |
Kết luận:
• Đa thức không (đa thức = $0$) không có bậc.
• Muốn tìm bậc của đa thức chưa thu gọn, phải thu gọn trước.
• Một số khác $0$ là đa thức bậc $0$.
📚 Em có biết?
Giá trị của đa thức $F(x)$ tại $x = a$, ký hiệu $F(a)$, được tính bằng cách thay $x = a$ vào đa thức rồi thực hiện phép tính.
Với $G(x) = x^2 - 9$, ta có:
$G(4) = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7$
$x = 0$ và $x = -4$ là hai nghiệm của $A(x) = 3x^2 + 12x$ vì:
Đa thức $B(x) = x^2 + 4$ không có nghiệm vì:
• Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.
• Nếu đa thức có hệ số tự do bằng $0$ thì $x = 0$ là một nghiệm.
• Đa thức bậc nhất $ax + b$ luôn có đúng một nghiệm: $x = -\dfrac{b}{a}$.
Trong ba số $1, -1, 2$, số nào là nghiệm của $Q(x) = x^2 + x - 2$?
→ Chỉ có $x = 1$ là nghiệm.
• Đơn thức một biến: dạng $ax^n$ ($a$: hệ số, $n$: bậc).
• Đa thức một biến: tổng của các đơn thức cùng biến.
• Thu gọn: cộng các đơn thức cùng bậc.
• Sắp xếp: theo luỹ thừa giảm hoặc tăng.
• Bậc = bậc cao nhất; Hệ số cao nhất = hệ số của hạng tử bậc cao nhất; Hệ số tự do = hạng tử không chứa biến.
• Nghiệm: $x = a$ sao cho $F(a) = 0$.
Luyện Đa Thức Một Biến nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du