Quan Hệ Giữa Ba Cạnh Của Một Tam Giác
Bất đẳng thức tam giác — điều kiện để ba độ dài tạo thành tam giác
Không phải ba độ dài bất kỳ nào cũng ghép được thành ba cạnh của một tam giác. Hãy quan sát ví dụ sau:
Khi ba thanh có độ dài $5$, $15$, $25$ cm, thanh dài nhất ($25$ cm) lớn hơn tổng hai thanh còn lại — nên dù xếp thế nào, hai thanh ngắn cũng không "chạm" nhau để tạo thành đỉnh thứ ba của tam giác.
Vậy ba cạnh của một tam giác phải thoả mãn điều kiện gì? Câu trả lời nằm trong định lí sau.
$AC < AB + BC$
$BC < AB + AC$
Từ định lí trên, ta có thể suy ra một tính chất quan trọng rất hữu ích khi cần tìm độ dài cạnh thứ ba:
Kết hợp định lí và tính chất, nếu $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
Đọc công thức này như thế nào?
Tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 3$ cm. $BC$ là số nguyên (cm). Tìm các giá trị có thể của $BC$.
$AB - AC < BC < AB + AC$
Để kiểm tra ba độ dài có phải là ba cạnh của một tam giác hay không, ta không cần kiểm tra cả ba bất đẳng thức. Chỉ cần kiểm tra một trong hai cách sau là đủ:
(tổng hai cạnh < cạnh lớn nhất)
(tổng hai cạnh > cạnh lớn nhất)
Tam giác $ABC$ có $AB = 2$ cm, $BC = 8$ cm. $AC$ là số nguyên tố. Tính chu vi.
$BC - AB < AC < BC + AB$ → $6 < AC < 10$
| Nội dung | Công thức / Cách làm |
|---|---|
| Bất đẳng thức tam giác | Mỗi cạnh < tổng hai cạnh kia. $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$ |
| Tính chất suy ra | Mỗi cạnh > hiệu hai cạnh kia. $|b - c| < a < b + c$ |
| Kiểm tra nhanh | Sắp tăng dần. Cạnh lớn nhất < tổng hai cạnh còn lại? |
| Tìm cạnh thứ ba | $|b - c| < x < b + c$, kết hợp điều kiện đề (số nguyên, nguyên tố...) |
Quy trình giải bài chuẩn:
Luyện bất đẳng thức tam giác!
20 câu · 5 dạng · 16 trắc nghiệm + 4 tự luận
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du