Lớp 7 · Toán
Bài 35
Sự Đồng Quy Của Ba Đường Trung Trực, Ba Đường Cao Trong Tam Giác
Đường trung trực · Tâm đường tròn ngoại tiếp · Đường cao · Trực tâm
1
Đường trung trực & tâm đường tròn ngoại tiếp
▼
Định nghĩa – Đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường trung trực (ứng với ba cạnh).
Nhắc lại
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó, và ngược lại.
Định lí 1
Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Nếu ba đường trung trực của tam giác $ABC$ đồng quy tại $O$ thì:
$OA = OB = OC$
Hình minh hoạ: ba đường trung trực đồng quy tại $O$, $OA = OB = OC$ (tâm đường tròn ngoại tiếp)
Nhận xét – Đường tròn ngoại tiếp
Vì $OA = OB = OC$ nên có một đường tròn tâm $O$ đi qua cả ba đỉnh $A$, $B$, $C$. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.
📍 Vị trí điểm $O$ theo loại tam giác
• Tam giác nhọn: $O$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông: $O$ nằm tại trung điểm cạnh huyền.
• Tam giác tù: $O$ nằm bên ngoài tam giác.
• Tam giác vuông: $O$ nằm tại trung điểm cạnh huyền.
• Tam giác tù: $O$ nằm bên ngoài tam giác.
💡 Ví dụ – Tam giác cân
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, vẽ đường trung tuyến $AI$. a) Chứng minh $AI$ là đường trung trực của cạnh $BC$. b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác có nằm trên $AI$ không?
a)Hai tam giác $AIB$ và $AIC$ có: $AB = AC$ (gt); $IB = IC$ (do $AI$ là trung tuyến); $AI$ chung.
Do đó $\triangle AIB = \triangle AIC$ (c.c.c), suy ra $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$.
Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ kề bù nên $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90°$. Vậy $AI \perp BC$ tại trung điểm $I$ → $AI$ là đường trung trực của $BC$.
b)Điểm cách đều ba đỉnh nằm trên đường trung trực của $BC$, mà đường trung trực đó chính là $AI$. Vậy điểm đó nằm trên trung tuyến $AI$.
2
Đường cao & trực tâm
▼
Định nghĩa – Đường cao của tam giác
Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện) gọi là đường cao của tam giác. Mỗi tam giác có ba đường cao (ứng với ba đỉnh).
Định lí 2
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao gọi là trực tâm của tam giác.
Hình minh hoạ: ba đường cao của tam giác $ABC$ đồng quy tại trực tâm $H$
📍 Vị trí trực tâm $H$ theo loại tam giác
• Tam giác nhọn: $H$ nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông tại $A$: $H$ trùng với đỉnh $A$ (đỉnh góc vuông).
• Tam giác tù: $H$ nằm bên ngoài tam giác.
• Tam giác vuông tại $A$: $H$ trùng với đỉnh $A$ (đỉnh góc vuông).
• Tam giác tù: $H$ nằm bên ngoài tam giác.
💡 Ví dụ – Hai đường cao cắt nhau
Cho tam giác $LMN$ có hai đường cao $LP$ và $MQ$ cắt nhau tại $S$. Chứng minh $NS \perp ML$.
Tam giác $LMN$ có hai đường cao $LP$ ($LP \perp MN$) và $MQ$ ($MQ \perp LN$) cắt nhau tại $S$.
Theo Định lí 2, $S$ là trực tâm của tam giác $LMN$.
Do đó đường thẳng qua $N$ và $S$ cũng là đường cao thứ ba.
Vậy $NS \perp ML$.
3
Tổng hợp bốn đường đặc biệt trong tam giác
▼
| Đường | Điểm đồng quy | Tính chất |
|---|---|---|
| Trung tuyến | Trọng tâm $G$ | Cách mỗi đỉnh $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến |
| Phân giác | Điểm $I$ | Cách đều ba cạnh |
| Trung trực | Điểm $O$ | Cách đều ba đỉnh ($OA = OB = OC$) |
| Đường cao | Trực tâm $H$ | Không có tính chất "cách đều" |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Ghi nhớ – Tam giác cân
Trong tam giác cân tại $A$: đường cao từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung trực, đường phân giác và đường trung tuyến ứng với cạnh đáy $BC$.
Ghi nhớ – Tam giác đều
Trong tam giác đều: trọng tâm = trực tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh (bốn điểm trùng nhau).
4
Dạng 1: Tìm điểm cách đều ba đỉnh
▼
🔧 Phương pháp
Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác = giao điểm ba đường trung trực. Chỉ cần vẽ hai đường trung trực, giao điểm của chúng chính là điểm cần tìm. Khi $O$ cách đều ba đỉnh ($OA = OB = OC$) thì vẽ được đường tròn tâm $O$ đi qua ba đỉnh.
💡 Ví dụ 1 – Bài toán thực tế
Trên bản đồ có ba điểm dân cư $A$, $B$, $C$. Tìm địa điểm $M$ để xây trường học sao cho trường học cách đều ba điểm dân cư.
Ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành ba đỉnh tam giác $ABC$. Vì $M$ cách đều ba điểm nên $MA = MB = MC$.
Do $MA = MB$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$; do $MB = MC$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
Vậy $M$ là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.
💡 Ví dụ 2 & 3
VD2: Tam giác $ABC$ có hai đường trung trực cắt nhau tại $O$, biết $OA = 5$ cm. Tính $OB$.
VD3: Đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ đi qua ba đỉnh có đường kính $8$ cm. Tính $OB$.
VD3: Đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ đi qua ba đỉnh có đường kính $8$ cm. Tính $OB$.
VD2.$O$ là giao hai đường trung trực nên cách đều ba đỉnh: $OA = OB = OC$. Vì $OA = 5$ cm nên $OB = 5$ cm.
VD3.Đường kính $= 8$ cm nên bán kính $OA = 4$ cm. Vì $OA = OB$ nên $OB = 4$ cm.
5
Dạng 2: Xác định trực tâm & ứng dụng đường cao
▼
🔧 Phương pháp
• Nếu hai đường cao cắt nhau tại $H$ → $H$ là trực tâm → đường thẳng nối đỉnh thứ ba qua $H$ là đường cao thứ ba (vuông góc với cạnh đối diện).
• Tam giác vuông tại $A$ → trực tâm trùng đỉnh $A$.
• Ứng dụng: muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chỉ ra chúng liên quan đến đường cao và trực tâm.
• Tam giác vuông tại $A$ → trực tâm trùng đỉnh $A$.
• Ứng dụng: muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chỉ ra chúng liên quan đến đường cao và trực tâm.
💡 Ví dụ 1
Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $CH \perp AB$.
Tam giác $ABC$ có hai đường cao $AM$ ($AM \perp BC$) và $BN$ ($BN \perp AC$) cắt nhau tại $H$.
Theo Định lí 2, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Do đó đường thẳng qua $C$ và $H$ cũng là đường cao.
Vậy $CH \perp AB$.
💡 Ví dụ 2
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $H$ thuộc cạnh $AB$. Vẽ $HM \perp BC$ tại $M$. Tia $MH$ cắt tia $CA$ tại $N$. Chứng minh $CH \perp NB$.
Xét tam giác $BNC$: $BA \perp NC$ (vì $\widehat{BAC} = 90°$ và $A$ nằm trên $NC$); $NM \perp BC$ (vì $HM \perp BC$ và $N$ nằm trên tia $MH$).
Do đó $BA$ và $NM$ là hai đường cao của tam giác $BNC$, cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $BNC$.
Suy ra $CH$ là đường cao thứ ba → $CH \perp NB$.
💡 Ví dụ 3 – Trực tâm các tam giác con
Cho tam giác $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Tìm trực tâm của các tam giác $HBC$, $HAB$, $HAC$.
▸Tam giác $HBC$: $HD \perp BC$ và $BF \perp HC$ → hai đường cao cắt nhau tại $A$. Vậy $A$ là trực tâm của $HBC$.
▸Tam giác $HAB$: hai đường cao cắt nhau tại $C$. Vậy $C$ là trực tâm của $HAB$.
▸Tam giác $HAC$: hai đường cao cắt nhau tại $B$. Vậy $B$ là trực tâm của $HAC$.
6
Dạng 3: Tam giác cân & tam giác đều
▼
🔧 Phương pháp
• Trong tam giác cân tại $A$: đường cao từ $A$ = đường trung trực cạnh $BC$ = đường phân giác góc $A$ = đường trung tuyến ứng cạnh $BC$. Thường chứng minh bằng hai tam giác vuông bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
• Trong tam giác đều: mỗi đường cao đồng thời là trung trực, phân giác, trung tuyến → trực tâm = trọng tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.
• Trong tam giác đều: mỗi đường cao đồng thời là trung trực, phân giác, trung tuyến → trực tâm = trọng tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.
💡 Ví dụ 1 – Tính góc trong tam giác cân
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AK$. Biết $\widehat{BAC} = 40°$. Tính $\widehat{ACK}$.
Xét $\triangle ABK$ và $\triangle ACK$ cùng vuông tại $K$ có: $AK$ chung; $AB = AC$ (cân tại $A$).
Do đó $\triangle ABK = \triangle ACK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra $\widehat{KAC} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{40°}{2} = 20°$.
Trong tam giác vuông $AKC$: $\widehat{KAC} + \widehat{ACK} = 90°$, nên $\widehat{ACK} = 90° - 20° = 70°$.
💡 Ví dụ 2 – Ba đường cao bằng nhau thì tam giác đều
Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ bằng nhau ($AD = BE = CF$). Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Xét $\triangle FBC$ vuông tại $F$ và $\triangle ECB$ vuông tại $E$: $CF = BE$ (gt); $BC$ chung. Do đó $\triangle FBC = \triangle ECB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra $\widehat{FBC} = \widehat{ECB}$.
Tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ → cân tại $A$, nên $AB = AC$ (1).
Tương tự, xét $\triangle EAB$ và $\triangle DBA$: $BE = AD$ (gt); $AB$ chung → $\triangle EAB = \triangle DBA$, suy ra $\widehat{EAB} = \widehat{DBA}$.
Tam giác $ABC$ có $\widehat{CAB} = \widehat{CBA}$ → cân tại $C$, nên $CA = CB$ (2).
Từ (1) và (2): $AB = BC = CA$ → tam giác $ABC$ đều.
7
Sai lầm thường gặp & Tổng kết
▼
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Giao điểm ba đường trung trực cách đều ba cạnh | Cách đều ba đỉnh (không phải ba cạnh). Điểm cách đều ba cạnh là giao ba đường phân giác. |
| Trực tâm luôn nằm bên trong tam giác | Chỉ đúng với tam giác nhọn. Tam giác vuông → trực tâm tại đỉnh góc vuông; tam giác tù → trực tâm nằm ngoài. |
| Lẫn lộn đường trung trực và đường cao | Trung trực: qua trung điểm cạnh, vuông góc cạnh. Đường cao: qua đỉnh, vuông góc cạnh đối diện. |
| Tam giác bất kỳ: đường cao = trung trực = phân giác | Chỉ đúng trong tam giác cân (đường từ đỉnh cân) hoặc tam giác đều. |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Mẹo giải nhanh
• Bốn điểm đặc biệt: trọng tâm (giao trung tuyến, tỉ lệ $\dfrac{2}{3}$); điểm cách đều ba cạnh (giao phân giác → tâm nội tiếp); điểm cách đều ba đỉnh (giao trung trực → tâm ngoại tiếp); trực tâm (giao đường cao, vị trí thay đổi theo loại tam giác).
• Chứng minh vuông góc bằng trực tâm: muốn chứng minh $CH \perp AB$, chỉ cần chỉ ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
• Tam giác cân "bốn trong một": trong tam giác cân tại $A$, đường cao từ $A$ đồng thời là trung tuyến, phân giác, trung trực ứng cạnh đáy.
• Chứng minh vuông góc bằng trực tâm: muốn chứng minh $CH \perp AB$, chỉ cần chỉ ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
• Tam giác cân "bốn trong một": trong tam giác cân tại $A$, đường cao từ $A$ đồng thời là trung tuyến, phân giác, trung trực ứng cạnh đáy.
Tổng kết
• Đường trung trực: ba đường trung trực đồng quy tại điểm cách đều ba đỉnh ($OA = OB = OC$) → tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Đường cao: ba đường cao đồng quy tại trực tâm $H$; vị trí $H$ là bên trong (nhọn), tại đỉnh vuông (vuông), bên ngoài (tù).
• Tam giác cân tại $A$: đường cao từ $A$ = trung trực $BC$ = phân giác góc $A$ = trung tuyến ứng $BC$.
• Tam giác đều: trọng tâm = trực tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.
• Đường cao: ba đường cao đồng quy tại trực tâm $H$; vị trí $H$ là bên trong (nhọn), tại đỉnh vuông (vuông), bên ngoài (tù).
• Tam giác cân tại $A$: đường cao từ $A$ = trung trực $BC$ = phân giác góc $A$ = trung tuyến ứng $BC$.
• Tam giác đều: trọng tâm = trực tâm = điểm cách đều ba đỉnh = điểm cách đều ba cạnh.
1
—
Điểm: 0/20
🎯
Luyện tập Trung trực & Đường cao!
20 câu · 4 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du