Bài 9.31 trang 91

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$. Chứng minh rằng $BCEF, CAFD, ABDE$ là những tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Vì $AD, BE, CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ nên:

$$AD \perp BC ;;(\text{tại } D), ;; BE \perp AC ;;(\text{tại } E), ;; CF \perp AB ;;(\text{tại } F).$$

Tứ giác $BCEF$ nội tiếp:

Xét hai góc cùng nhìn cạnh $BC$:

• $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$ tại $E$).
• $\widehat{BFC} = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$ tại $F$).

Theo Bài 28, một tam giác vuông có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính cạnh huyền. Vì $\widehat{BEC} = 90^\circ$ nên $E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$; tương tự $F$ cũng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vậy bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (tâm là trung điểm của $BC$), do đó tứ giác $BCEF$ nội tiếp. $\blacksquare$

Tứ giác $CAFD$ nội tiếp:

Xét hai góc cùng nhìn cạnh $AC$:

• $\widehat{AFC} = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$ tại $F$).
• $\widehat{ADC} = 90^\circ$ (do $AD \perp BC$ tại $D$).

Tương tự, $F$ và $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$. Vậy bốn điểm $C, A, F, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$, do đó tứ giác $CAFD$ nội tiếp. $\blacksquare$

Tứ giác $ABDE$ nội tiếp:

Xét hai góc cùng nhìn cạnh $AB$:

• $\widehat{ADB} = 90^\circ$ (do $AD \perp BC$ tại $D$).
• $\widehat{AEB} = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$ tại $E$).

Tương tự, $D$ và $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$. Vậy bốn điểm $A, B, D, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$, do đó tứ giác $ABDE$ nội tiếp. $\blacksquare$

Bài 9.32 trang 91

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ như Hình 9.58. Biết $\widehat{BEC} = 40^\circ$ và $\widehat{DFC} = 20^\circ$, tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình từ tam giác $BEC$.

Vì $B$ giữa $A$ và $E$, hai tia $BA$ và $BE$ là hai tia đối nhau, nên $\widehat{EBC}$ và $\widehat{ABC}$ kề bù:

$$\widehat{EBC} = 180^\circ – \widehat{ABC}.$$

Vì $C$ giữa $D$ và $E$, hai tia $CD$ và $CE$ đối nhau, nên $\widehat{BCE}$ và $\widehat{BCD}$ kề bù:

$$\widehat{BCE} = 180^\circ – \widehat{BCD}.$$

Tổng ba góc của tam giác $BEC$ bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BEC} + \widehat{EBC} + \widehat{BCE} = 180^\circ;$$

$$40^\circ + (180^\circ – \widehat{ABC}) + (180^\circ – \widehat{BCD}) = 180^\circ;$$

$$\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 220^\circ. ;;(1)$$

Bước 2: Lập phương trình từ tam giác $DFC$.

Tương tự, vì $D$ giữa $A$ và $F$: $\widehat{FDC} = 180^\circ – \widehat{ADC}$; vì $C$ giữa $B$ và $F$: $\widehat{FCD} = 180^\circ – \widehat{BCD}$.

Tổng ba góc tam giác $DFC$:

$$20^\circ + (180^\circ – \widehat{ADC}) + (180^\circ – \widehat{BCD}) = 180^\circ;$$

$$\widehat{ADC} + \widehat{BCD} = 200^\circ. ;;(2)$$

Bước 3: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp.

Vì $ABCD$ nội tiếp $(O)$ nên hai góc đối nhau có tổng $180^\circ$:

$$\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^\circ ;;(3); ;; \widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^\circ. ;;(4)$$

Bước 4: Giải hệ.

Cộng $(1)$ và $(2)$:

$$\widehat{ABC} + \widehat{ADC} + 2\widehat{BCD} = 420^\circ.$$

Thay $(4)$: $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^\circ$:

$$180^\circ + 2\widehat{BCD} = 420^\circ ;;\Rightarrow;; \widehat{BCD} = 120^\circ.$$

Từ đó:

• $\widehat{BAD} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$ (từ $(3)$).
• $\widehat{ABC} = 220^\circ – 120^\circ = 100^\circ$ (từ $(1)$).
• $\widehat{ADC} = 200^\circ – 120^\circ = 80^\circ$ (từ $(2)$).

Vậy $\widehat{A} = 60^\circ$, $\widehat{B} = 100^\circ$, $\widehat{C} = 120^\circ$, $\widehat{D} = 80^\circ$.

Bài 9.33 trang 91

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4$ cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông $ABCD$.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm hình vuông (giao hai đường chéo).

Đường tròn nội tiếp hình vuông có tâm $O$, bán kính bằng khoảng cách từ $O$ đến mỗi cạnh, tức bằng nửa cạnh:

$$r = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}.$$

• Chu vi: $C_1 = 2\pi r = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ (cm).
• Diện tích: $S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ (cm²).

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có tâm $O$, bán kính bằng nửa đường chéo (theo Bài 29).

Áp dụng định lí Pythagore tính đường chéo:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ (cm)}.$$

$$R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ (cm)}.$$

• Chu vi: $C_2 = 2\pi R = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2},\pi$ (cm).
• Diện tích: $S_2 = \pi R^2 = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$ (cm²).

Bài 9.34 trang 91

Đề bài: Biết rằng bốn đỉnh $A, B, C, D$ của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn $(O)$ theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều $45^\circ$ biến các điểm $A, B, C, D$ lần lượt thành các điểm $E, F, G, H$.

a) Vẽ đa giác $EAFBGCHD$.

b) Đa giác $EAFBGCHD$ có phải là một bát giác đều hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì $A, B, C, D$ là 4 đỉnh hình vuông nội tiếp $(O)$, chúng chia đường tròn thành 4 cung bằng nhau, mỗi cung $90^\circ$.

Phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$ biến mỗi đỉnh đến vị trí cách đỉnh đó $45^\circ$ theo chiều thuận kim đồng hồ. Vì $45^\circ$ là một nửa của $90^\circ$, mỗi điểm $E, F, G, H$ chính là điểm chính giữa của một cung tương ứng:

• $E$ nằm chính giữa cung $DA$ (cung không chứa $B, C$).
• $F$ nằm chính giữa cung $AB$.
• $G$ nằm chính giữa cung $BC$.
• $H$ nằm chính giữa cung $CD$.

Khi đó tám điểm $E, A, F, B, G, C, H, D$ được sắp xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ trên $(O)$, tạo thành đa giác $EAFBGCHD$.

b) Vì $E, F, G, H$ là điểm chính giữa các cung $90^\circ$, nên mỗi cung $90^\circ$ bị chia thành 2 cung $45^\circ$. Tổng cộng, 8 điểm $E, A, F, B, G, C, H, D$ chia đường tròn $(O)$ thành 8 cung bằng nhau, mỗi cung $45^\circ$.

Theo cách dựng đa giác đều (HĐ1 của Bài 30), đa giác có các đỉnh chia đường tròn thành các cung bằng nhau là đa giác đều.

Vậy $EAFBGCHD$ là một bát giác đều. $\blacksquare$

Bài 9.35 trang 91

Đề bài: Cho ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.59.

a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$.

b) Phép quay trên sẽ biến các điểm $B, C, D, E$ lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều $ABCDE$ không?

Lời giải:

a) Ngũ giác đều có 5 đỉnh chia đường tròn $(O)$ thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung:

$$\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ.$$

Để biến $A$ thành $C$ bằng một phép quay thuận chiều kim đồng hồ tâm $O$, ta quay tia $OA$ thuận chiều đến tia $OC$. Theo chiều thuận kim đồng hồ, đi từ $A$ đến $C$ phải qua $E$ rồi $D$ rồi đến $C$, tức 3 cung:

$$3 \cdot 72^\circ = 216^\circ.$$

Vậy phép quay thuận chiều $216^\circ$ tâm $O$ biến $A$ thành $C$.

b) Áp dụng cùng phép quay (mỗi điểm di chuyển 3 vị trí theo chiều thuận kim đồng hồ trên đường tròn):

• $A \to C$ (đã có).
• $B \to D$ (từ $B$, đi thuận 3 bước: $A \to E \to D$).
• $C \to E$ (từ $C$, đi thuận 3 bước: $B \to A \to E$).
• $D \to A$ (từ $D$, đi thuận 3 bước: $C \to B \to A$).
• $E \to B$ (từ $E$, đi thuận 3 bước: $D \to C \to B$).

Vì phép quay biến các đỉnh ngũ giác thành chính các đỉnh của ngũ giác (chỉ thay đổi vị trí), nên phép quay này giữ nguyên ngũ giác đều $ABCDE$.

Bài 9.36 trang 91

Đề bài: Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh $10$ cm và chia thành $7$ ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và $6$ hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Lời giải:

Bước 1: Quan hệ giữa diện tích lục giác đều và diện tích tam giác đều cùng cạnh.

Một lục giác đều cạnh $c$ có thể chia thành 6 tam giác đều cạnh $c$ bằng cách nối tâm với 6 đỉnh (vì các tam giác từ tâm là cân với 2 cạnh là bán kính và góc ở tâm $60^\circ$ → tam giác đều). Do đó:

$$\text{Diện tích lục giác đều cạnh } c = 6 \cdot \text{Diện tích tam giác đều cạnh } c.$$

Bước 2: Đặt ẩn và biểu diễn diện tích.

Gọi cạnh lục giác đều nhỏ là $a$ (cm), $a > 0$. Gọi:

• $S$: diện tích tam giác đều cạnh $10$ cm.
• $S’$: diện tích tam giác đều cạnh $a$ cm.

Khi đó:

• Diện tích lục giác lớn: $6S$.
• Diện tích lục giác nhỏ: $6S’$.
• Tổng diện tích 6 hình thang cân $= 6S – 6S’$.
• Diện tích mỗi hình thang cân $= \dfrac{6S – 6S’}{6} = S – S’$.

Bước 3: Lập phương trình.

Diện tích lục giác nhỏ bằng 2 lần diện tích mỗi hình thang:

$$6S’ = 2(S – S’);$$

$$6S’ = 2S – 2S’;$$

$$8S’ = 2S ;;\Rightarrow;; S = 4S’.$$

Bước 4: Tìm $a$.

Hai tam giác đều cạnh $10$ và cạnh $a$ là đồng dạng với tỉ số $\dfrac{10}{a}$. Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{S}{S’} = \left(\dfrac{10}{a}\right)^2 = 4.$$

$$\Rightarrow \dfrac{10}{a} = 2 ;;\Rightarrow;; a = 5 \text{ (cm)}.$$

Vậy lục giác đều nhỏ phải có cạnh $5$ cm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du