Định lí là gì?

Trong toán học, nhiều tính chất được phát hiện qua đo đạc hoặc quan sát. Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể. Để khẳng định một tính chất đúng cho mọi trường hợp, ta cần chứng minh nó bằng lập luận logic. Khi đó, tính chất ấy trở thành một định lí.

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết.

Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:

$$\text{Nếu} \ldots \text{thì} \ldots$$

Trong đó:

• Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết (GT) của định lí — tức là điều đã cho biết.
• Phần sau từ “thì” là kết luận (KL) của định lí — tức là điều cần suy ra.

Ví dụ 1. Xét định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”.

• Giả thiết: hai góc đối đỉnh.
• Kết luận: hai góc đó bằng nhau.

Ví dụ 2. Xét định lí: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”.

• Giả thiết: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.
• Kết luận: nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ta có thể viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu:

Chứng minh định lí là gì?

Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.

Nói cách khác, chứng minh là một chuỗi các bước suy luận logic, mỗi bước đều dựa trên những điều đã được công nhận (định nghĩa, tính chất, tiên đề, định lí đã chứng minh trước đó).

Ví dụ 3. Chứng minh định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau”.

Chứng minh.

Qua điểm $B$ kẻ đường thẳng $b’$ sao cho $\widehat{B_2} = \widehat{A_1}$. Khi đó đường thẳng $c$ tạo với $a$ và $b’$ hai góc đồng vị bằng nhau ($\widehat{A_1} = \widehat{B_2}$).

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có $a \parallel b’$.

Suy ra qua $B$ có hai đường thẳng $b$ và $b’$ cùng song song với $a$. Theo tiên đề Euclid, $b’$ trùng $b$.

Từ đó suy ra $\widehat{B_1} = \widehat{A_1}$ (vì cùng bằng $\widehat{B_2}$).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết giả thiết và kết luận của định lí

Phương pháp:

• Xác định phần “Nếu … ” → đó là giả thiết.
• Xác định phần “thì … ” → đó là kết luận.
• Viết GT, KL bằng kí hiệu toán học.
• Vẽ hình minh họa (nếu có).

Bài mẫu 1. Hãy phát biểu phần kết luận còn thiếu:

a) “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong …”

b) “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì …”

Giải.

a) … bằng nhau (tính chất hai đường thẳng song song).

b) … chúng song song với nhau (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Bài mẫu 2. Vẽ hình và viết GT, KL của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Giải.

Bài mẫu 3. Vẽ hình minh họa và viết GT, KL của định lí: “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cắt đường thẳng còn lại”.

Giải.

Dạng 2: Chứng minh định lí bằng suy luận

Phương pháp:

1. Viết rõ GT và KL.
2. Vẽ hình minh họa.
3. Từ GT, dùng các tính chất, định lí đã biết để suy ra KL qua các bước logic.
4. Mỗi bước đều phải nêu rõ lí do (tính chất nào, định lí nào).

Bài mẫu 1. Chứng minh định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Giải.

Chứng minh.

$\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_3}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{O_1} + \widehat{O_3} = 180° \Rightarrow \widehat{O_1} = 180° – \widehat{O_3} \quad (1)$$

$\widehat{O_2}$ và $\widehat{O_3}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180° \Rightarrow \widehat{O_2} = 180° – \widehat{O_3} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$.

Bài mẫu 2. Chứng minh: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”.

Giải.

Chứng minh.

Vì $c \perp a$ nên $\widehat{A_1} = 90°$.

Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ (hai góc đồng vị).

Suy ra $\widehat{B_1} = 90°$, tức $c \perp b$.

Trong chứng minh trên, ta đã sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song (hai góc đồng vị bằng nhau).

Bài mẫu 3. Chứng minh: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Giải.

Chứng minh.

Vì $a \perp c$ nên $\widehat{A_1} = 90°$.

Vì $b \perp c$ nên $\widehat{B_1} = 90°$.

Do đó $\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 90°$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra $a \parallel b$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Dạng 3: Chứng minh định lí về góc (phụ nhau, bù nhau, phân giác)

Phương pháp:

1. Viết GT, KL.
2. Dùng định nghĩa (phụ nhau: tổng $= 90°$; bù nhau: tổng $= 180°$; phân giác: chia đôi góc).
3. Lập các đẳng thức, suy ra kết luận.

Bài mẫu 1. Chứng minh: “Hai góc cùng phụ một góc thứ ba thì bằng nhau”.

Giải.

Chứng minh.

$$\widehat{A} = 90° – \widehat{B} \quad (1)$$

$$\widehat{C} = 90° – \widehat{B} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\widehat{A} = \widehat{C}$.

Bài mẫu 2. Chứng minh: “Hai góc cùng bù một góc thứ ba thì hai góc đó bằng nhau”.

Giải.

Chứng minh.

$$\widehat{A} = 180° – \widehat{C} \quad (1)$$

$$\widehat{B} = 180° – \widehat{C} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\widehat{A} = \widehat{B}$.

Bài mẫu 3. Chứng minh: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Giải.

Chứng minh.

Vì $Om$ là phân giác $\widehat{xOy}$:

$$\widehat{mOy} = \frac{1}{2}\widehat{xOy} \quad (1)$$

Vì $On$ là phân giác $\widehat{yOz}$:

$$\widehat{yOn} = \frac{1}{2}\widehat{yOz} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$:

$$\widehat{mOy} + \widehat{yOn} = \frac{1}{2}\widehat{xOy} + \frac{1}{2}\widehat{yOz} = \frac{1}{2}(\widehat{xOy} + \widehat{yOz})$$

Mà $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ kề bù nên $\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180°$.

Do đó: $\widehat{mOn} = \widehat{mOy} + \widehat{yOn} = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.

Dạng 4: Chứng minh định lí liên quan đến đường thẳng song song

Phương pháp:

Sử dụng các kiến thức đã học: dấu hiệu nhận biết song song, tính chất song song, tiên đề Euclid.

Bài mẫu 1. Chứng minh: “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng kia”.

Giải.

Chứng minh.

Giả sử $c$ cắt $a$ tại điểm $A$. Nếu $c$ không cắt $b$ thì $c$ song song với $b$, nên qua điểm $A$ có hai đường thẳng $a$ và $c$ cùng song song với $b$.

Theo tiên đề Euclid, $c$ phải trùng với $a$. Nhưng $c$ cắt $a$ (theo GT), tức $c \neq a$. Mâu thuẫn.

Vậy $c$ phải cắt $b$.

Bài mẫu 2. Cho định lí: “Nếu $xx’ \parallel yy’$ và $zz’ \perp xx’$. Tính $\widehat{ABy}$ và cho biết $zz’$ có vuông góc với $yy’$ không”.

Giải.

Vì $zz’ \perp xx’$ nên $\widehat{xAz} = 90°$.

Vì $xx’ \parallel yy’$ nên $\widehat{xAz} = \widehat{ABy}$ (đồng vị) → $\widehat{ABy} = 90°$.

Suy ra $zz’ \perp yy’$ (vì một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Tìm GT, KL nhanh: Đọc định lí, tìm từ “Nếu” và “thì”. Phần giữa hai từ đó là GT, phần sau “thì” là KL.
• Vẽ hình trước khi chứng minh: Hình vẽ giúp hình dung mối quan hệ giữa các yếu tố, dễ nhận ra cần dùng tính chất nào.
• Ghi GT – KL trước: Viết rõ ràng GT và KL bằng kí hiệu trước khi bắt đầu chứng minh. Điều này giúp xác định rõ “đích đến” và “xuất phát”.
• Chuỗi suy luận: Chứng minh giống như xây cầu nối từ GT đến KL. Mỗi bước là một “nhịp cầu” dựa trên tính chất đã biết.

Tổng kết

1. Định lí là khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết, có dạng “Nếu … thì …”.
2. Giả thiết (GT) là điều cho biết (sau “Nếu”), kết luận (KL) là điều cần suy ra (sau “thì”).
3. Chứng minh định lí là dùng lập luận logic để từ GT và các điều đúng đã biết suy ra KL.
4. Mỗi bước chứng minh phải có lí do rõ ràng (dựa trên định nghĩa, tính chất, tiên đề hoặc định lí đã biết).
5. Đo đạc chỉ kiểm nghiệm, không thay thế được chứng minh.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du