Bất đẳng thức tam giác

Không phải ba độ dài bất kỳ nào cũng ghép được thành ba cạnh của một tam giác. Chẳng hạn, ba thanh tre có độ dài $5\text{ cm}$, $15\text{ cm}$, $25\text{ cm}$ không thể ghép thành tam giác vì thanh dài nhất ($25\text{ cm}$) bằng tổng hai thanh còn lại ($5 + 15 = 20 < 25$). Vậy ba cạnh của một tam giác phải thoả mãn điều kiện gì?

Định lí

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

$$\text{GT: } \triangle ABC \qquad \text{KL: } \begin{cases} AB < AC + BC \\ AC < AB + BC \\ BC < AB + AC \end{cases}$$

Ba hệ thức trên gọi là các bất đẳng thức tam giác.

Tính chất suy ra

Từ định lí trên, ta suy ra:

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kỳ luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Nếu $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

$$b – c < a < b + c$$

Cách kiểm tra nhanh

Để kiểm tra ba độ dài có phải là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần kiểm tra một trong hai điều kiện (không cần kiểm tra cả ba bất đẳng thức):

• Cách 1: Độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại không?
• Cách 2: Độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại không?

Nếu thoả mãn → ba độ dài đó là ba cạnh của một tam giác. Nếu không → không thể là ba cạnh tam giác.

Ví dụ: Kiểm tra các bộ ba sau có thể là độ dài ba cạnh của tam giác không.

a) $3\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $9\text{ cm}$.

b) $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$.

Giải:

a) So sánh cạnh lớn nhất với tổng hai cạnh còn lại: $3 + 5 = 8 < 9$.

Không thoả mãn bất đẳng thức tam giác → ba độ dài $3\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ không thể là ba cạnh của tam giác.

b) So sánh cạnh nhỏ nhất với hiệu hai cạnh còn lại: $3 > 6 – 4 = 2$.

Thoả mãn → ba độ dài $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ có thể là ba cạnh của tam giác.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra bộ ba độ dài có phải là ba cạnh tam giác không

Phương pháp giải:

Sắp xếp ba độ dài theo thứ tự tăng dần. Chỉ cần kiểm tra: cạnh lớn nhất < tổng hai cạnh còn lại. Nếu đúng → là ba cạnh tam giác. Nếu sai → không phải.

Lưu ý đặc biệt: Trường hợp cạnh lớn nhất bằng tổng hai cạnh kia (ví dụ $6 = 2 + 4$) thì cũng không phải ba cạnh tam giác (phải nhỏ hơn nghiêm ngặt, không phải nhỏ hơn hoặc bằng).

Bài mẫu 1: Trong các bộ ba độ dài đoạn thẳng dưới đây, bộ ba nào có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

a) $7\text{ cm};; 8\text{ cm};; 11\text{ cm}$

b) $7\text{ cm};; 9\text{ cm};; 16\text{ cm}$

c) $8\text{ cm};; 9\text{ cm};; 16\text{ cm}$

Lời giải:

a) Cạnh lớn nhất là $11$. Ta có: $11 < 7 + 8 = 15$. ✓

Vậy bộ ba $7\text{ cm};; 8\text{ cm};; 11\text{ cm}$ có thể là ba cạnh tam giác.

b) Cạnh lớn nhất là $16$. Ta có: $16 = 7 + 9$. ✗ (bằng, không nhỏ hơn)

Vậy bộ ba $7\text{ cm};; 9\text{ cm};; 16\text{ cm}$ không thể là ba cạnh tam giác.

c) Cạnh lớn nhất là $16$. Ta có: $16 < 8 + 9 = 17$. ✓

Vậy bộ ba $8\text{ cm};; 9\text{ cm};; 16\text{ cm}$ có thể là ba cạnh tam giác.

Bài mẫu 2: Trong các bộ ba độ dài đoạn thẳng dưới đây, bộ ba nào có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

a) $4\text{ cm},; 5\text{ cm},; 7\text{ cm}$

b) $2\text{ cm},; 4\text{ cm},; 6\text{ cm}$

c) $3\text{ cm},; 4\text{ cm},; 8\text{ cm}$

Lời giải:

a) Cạnh lớn nhất là $7$. Ta có: $7 < 4 + 5 = 9$. ✓

Vậy bộ ba $4\text{ cm},; 5\text{ cm},; 7\text{ cm}$ có thể là ba cạnh tam giác.

b) Cạnh lớn nhất là $6$. Ta có: $6 = 2 + 4$. ✗

Vậy bộ ba $2\text{ cm},; 4\text{ cm},; 6\text{ cm}$ không thể là ba cạnh tam giác.

c) Cạnh lớn nhất là $8$. Ta có: $8 > 3 + 4 = 7$. ✗

Vậy bộ ba $3\text{ cm},; 4\text{ cm},; 8\text{ cm}$ không thể là ba cạnh tam giác.

Dạng 2: Tìm độ dài cạnh còn lại khi biết hai cạnh

Phương pháp giải:

Gọi cạnh cần tìm là $x$. Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$|b – c| < x < b + c$$

(Trong đó $b$, $c$ là độ dài hai cạnh đã biết.)

Sau đó kết hợp thêm điều kiện đề bài (số nguyên, số nguyên tố, cạnh lớn nhất…) để tìm giá trị cụ thể.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $ABC$ với $AB = 5\text{ cm}$, $AC = 3\text{ cm}$. Biết độ dài cạnh $BC$ là số nguyên (cm). Tìm các giá trị có thể của $BC$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$AB – AC < BC < AB + AC$$

$$5 – 3 < BC < 5 + 3$$

$$2 < BC < 8$$

Vì $BC$ là số nguyên nên $BC \in {3;; 4;; 5;; 6;; 7}$ (cm).

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có $BC = 1\text{ cm}$, $AB = 4\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh $AC$, biết rằng đó là một số nguyên (cm).

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$AB – BC < AC < AB + BC$$

$$4 – 1 < AC < 4 + 1$$

$$3 < AC < 5$$

Vì $AC$ là số nguyên nên $AC = 4\text{ cm}$.

Bài mẫu 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$. Biết độ dài cạnh $AC$ là một số nguyên tố. Tính chu vi tam giác $ABC$.

Lời giải:

Gọi $AC = x$ (cm), $x > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$BC – AB < x < BC + AB$$

$$8 – 2 < x < 8 + 2$$

$$6 < x < 10$$

Suy ra $x \in {7;; 8;; 9}$.

Vì $x$ là số nguyên tố nên $x = 7$.

Vậy $AC = 7\text{ cm}$.

Chu vi tam giác $ABC$: $AB + AC + BC = 2 + 7 + 8 = 17\text{ (cm)}$.

Dạng 3: Bài toán thực tế và chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác để suy ra các đánh giá về khoảng cách. Trong bài toán thực tế, cần xác định tam giác phù hợp rồi áp dụng: một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia, lớn hơn hiệu hai cạnh kia.

Bài mẫu 1: Trong một trường học, ba khu vực $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác, biết $AC = 15\text{ m}$, $AB = 45\text{ m}$.

a) Nếu đặt ở khu vực $C$ một thiết bị phát wifi có bán kính hoạt động $30\text{ m}$ thì tại khu vực $B$ có nhận được tín hiệu không?

b) Cũng câu hỏi trên với thiết bị phát wifi có bán kính hoạt động $60\text{ m}$.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác $ABC$:

$$BC > AB – AC = 45 – 15 = 30$$

Suy ra $BC > 30\text{ m}$.

Vì khoảng cách $BC > 30\text{ m}$ mà bán kính hoạt động chỉ $30\text{ m}$, nên tại khu vực $B$ không nhận được tín hiệu.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$BC < AB + AC = 45 + 15 = 60$$

Suy ra $BC < 60\text{ m}$.

Vì khoảng cách $BC < 60\text{ m}$ mà bán kính hoạt động là $60\text{ m}$, nên tại khu vực $B$ nhận được tín hiệu.

Bài mẫu 2: Hãy so sánh tổng độ dài hai cạnh của tam giác $ABC$ (biết $AB = 9\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$, $BC = 12\text{ cm}$) với độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

• $9 + 5 = 14 > 12$ nên $AB + AC > BC$. ✓
• $5 + 12 = 17 > 9$ nên $AC + BC > AB$. ✓
• $12 + 9 = 21 > 5$ nên $BC + AB > AC$. ✓

Vậy tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Chỉ cần một phép so sánh: Sắp xếp ba số theo thứ tự $a \leq b \leq c$. Chỉ cần kiểm tra $c < a + b$. Nếu đúng → là tam giác. Không cần kiểm tra thêm hai bất đẳng thức còn lại (vì chúng luôn đúng khi $c$ là số lớn nhất).

Mẹo 2 – Tìm nhanh khoảng giá trị cạnh thứ ba: Biết hai cạnh $b$ và $c$ ($b \geq c$), cạnh thứ ba $a$ phải nằm trong khoảng:

$$b – c < a < b + c$$

Đếm số nguyên trong khoảng này nếu đề yêu cầu.

Mẹo 3 – Nhận biết nhanh trường hợp “không phải tam giác”: Nếu một cạnh bằng hoặc lớn hơn tổng hai cạnh kia → chắc chắn không phải tam giác. Đây là trường hợp hay gặp trong đề bài để “gài bẫy”.

Tổng kết

Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác có ba cạnh $a$, $b$, $c$:

$$|b – c| < a < b + c$$

Cách kiểm tra nhanh: So sánh cạnh lớn nhất với tổng hai cạnh còn lại. Nếu nhỏ hơn (nghiêm ngặt) → là tam giác.

Tìm cạnh thứ ba: Từ hai cạnh đã biết, xác định khoảng giá trị rồi kết hợp điều kiện đề bài.

Ứng dụng: Đánh giá khoảng cách trong bài toán thực tế, chứng minh bất đẳng thức về tổng các đoạn thẳng trong hình học.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du