Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Đường trung tuyến của tam giác

Đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác.

Chẳng hạn, trong tam giác $ABC$, nếu $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ thì đoạn thẳng $AM$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ (hay ứng với cạnh $BC$).

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến (ứng với ba đỉnh).

Định lí 1

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Trong tam giác $ABC$, nếu các đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy tại điểm $G$ thì:

$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}$$

Điểm $G$ được gọi là trọng tâm của tam giác.

Hệ quả quan trọng: Từ tính chất trọng tâm, ta suy ra:

$$GA = \dfrac{2}{3} \cdot MA \quad \Rightarrow \quad GM = MA – GA = \dfrac{1}{3} \cdot MA \quad \Rightarrow \quad GA = 2 \cdot GM$$

Tức là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, phần từ đỉnh gấp đôi phần từ trung điểm cạnh đối diện.

Cách tìm trọng tâm: Chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến, giao điểm của chúng chính là trọng tâm (không cần vẽ đường thứ ba vì nó chắc chắn đi qua điểm đó).

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ với $AM$ là trung tuyến và $G$ là trọng tâm.

a) Chứng minh $GA = 2GM$.

b) Biết $GM = 3\text{ cm}$, tính $GA$ và $MA$.

Giải:

a) Vì $G$ là trọng tâm nên $\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{2}{3}$, hay $GA = \dfrac{2}{3} \cdot MA$.

Ta có: $GM = MA – GA = MA – \dfrac{2}{3} \cdot MA = \dfrac{1}{3} \cdot MA$.

Vậy: $GA = \dfrac{2}{3} \cdot MA = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot MA\right) = 2 \cdot GM$. ∎

b) Khi $GM = 3\text{ cm}$: $GA = 2 \cdot GM = 2 \cdot 3 = 6\text{ (cm)}$.

$MA = GA + GM = 6 + 3 = 9\text{ (cm)}$.

Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

Đường phân giác của tam giác

Trong tam giác $ABC$, tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$ thì đoạn thẳng $AD$ được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh $A$) của tam giác $ABC$.

Mỗi tam giác có ba đường phân giác (ứng với ba góc).

Định lí 2

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Trong tam giác $ABC$, nếu các đường phân giác $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại điểm $I$ thì $IH = IK = IL$ (trong đó $IH$, $IK$, $IL$ lần lượt là khoảng cách từ $I$ đến ba cạnh $BC$, $AC$, $AB$).

Cách tìm điểm cách đều ba cạnh: Chỉ cần vẽ hai đường phân giác, giao điểm của chúng chính là điểm cách đều ba cạnh.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$.

Giải:

Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác, $M$ là giao điểm của đường thẳng $AI$ và $BC$.

Xét hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có:

• $AB = AC$ (gt).
• $AM$ chung.
• $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (do $AI$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$).

Do đó $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.g.c).

Suy ra $BM = CM$, hay $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy $AI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$. ∎

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng liên quan đến trọng tâm

Phương pháp giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác, $AM$ là đường trung tuyến. Ta có ba tỉ số quan trọng:

$$GA = \dfrac{2}{3} \cdot AM \qquad GM = \dfrac{1}{3} \cdot AM \qquad GA = 2 \cdot GM$$

Biết một trong ba đại lượng ($GA$, $GM$, $AM$) thì tính được hai đại lượng còn lại.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $AM$ là đường trung tuyến. Biết $AM = 15\text{ cm}$, tính $AG$.

Lời giải:

$G$ là trọng tâm nên:

$$AG = \dfrac{2}{3} \cdot AM = \dfrac{2}{3} \cdot 15 = 10\text{ (cm)}$$

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $CN$ là đường trung tuyến. Biết $GN = 6\text{ cm}$, tính $CN$.

Lời giải:

$G$ là trọng tâm nên $GN = \dfrac{1}{3} \cdot CN$.

$$CN = 3 \cdot GN = 3 \cdot 6 = 18\text{ (cm)}$$

Bài mẫu 3: Trong tam giác $ABC$, cho trung tuyến $BN$ và $G$ là trọng tâm. Biết $GN = 1\text{ cm}$. Tính $GB$ và $NB$.

Lời giải:

$G$ là trọng tâm nên $GB = 2 \cdot GN = 2 \cdot 1 = 2\text{ (cm)}$.

$NB = GB + GN = 2 + 1 = 3\text{ (cm)}$.

Bài mẫu 4: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai đường trung tuyến $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $F$. Biết $BE = 9\text{ cm}$, tính độ dài $DF$.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

$BE$ và $CD$ là đường trung tuyến nên $E$ và $D$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $AB$.

Suy ra $AE = \dfrac{1}{2}AC$ và $AD = \dfrac{1}{2}AB$. Vì $AB = AC$ nên $AE = AD$.

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACD$ có: $AB = AC$, $\widehat{A}$ chung, $AE = AD$.

Do đó $\triangle ABE = \triangle ACD$ (c.g.c). Suy ra $BE = CD$.

$F$ là giao điểm hai đường trung tuyến nên $F$ là trọng tâm:

$$DF = \dfrac{1}{3} \cdot CD = \dfrac{1}{3} \cdot 9 = 3\text{ (cm)}$$

Dạng 2: Bài toán liên quan đến đường phân giác và điểm cách đều ba cạnh

Phương pháp giải:

• Giao điểm ba đường phân giác là điểm cách đều ba cạnh → khoảng cách từ điểm đó đến ba cạnh bằng nhau.
• Nếu biết khoảng cách đến một cạnh → suy ra khoảng cách đến hai cạnh còn lại.
• Khi hai đường phân giác cắt nhau tại $I$, đường nối đỉnh thứ ba qua $I$ chắc chắn là đường phân giác thứ ba (do ba đường phân giác đồng quy).

Bài mẫu 1: Trong hình vẽ, $I$ là giao điểm ba đường phân giác của tam giác $ABC$.

a) Biết $IM = 6\text{ cm}$ ($IM \perp BC$). Tính $IK$ ($IK \perp AC$) và $IN$ ($IN \perp AB$).

b) Biết $IN = x + 3$ và $IM = 2x – 3$. Tìm $x$.

Lời giải:

a) Vì $I$ là giao điểm ba đường phân giác nên $I$ cách đều ba cạnh:

$$IM = IN = IK = 6\text{ cm}$$

Vậy $IK = IN = 6\text{ cm}$.

b) Vì $I$ cách đều ba cạnh nên $IM = IN$:

$$2x – 3 = x + 3$$

$$2x – x = 3 + 3$$

$$x = 6$$

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác $AM$, $BN$ cắt nhau tại $I$. Hỏi $CI$ có là đường phân giác của góc $C$ không?

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có hai đường phân giác $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$.

Theo Định lí 2, ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.

Vì $I$ là giao điểm của hai đường phân giác nên $I$ cũng nằm trên đường phân giác thứ ba.

Vậy $CI$ là đường phân giác của góc $C$.

Dạng 3: Chứng minh tính chất trong tam giác cân liên quan trung tuyến và phân giác

Phương pháp giải:

Trong tam giác cân tại $A$ ($AB = AC$):

• Đường phân giác từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung tuyến và đường cao.
• Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường phân giác ứng với hai góc đáy bằng nhau.

Cách chứng minh thường dùng: chỉ ra hai tam giác bằng nhau (c.g.c hoặc c.c.c) → suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Bài mẫu 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BM$ và $CN$ là hai đường trung tuyến. Chứng minh $BM = CN$.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

$BM$ và $CN$ là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $AB$.

Suy ra $BN = \dfrac{1}{2}AB$ và $CM = \dfrac{1}{2}AC$. Vì $AB = AC$ nên $BN = CM$.

Xét $\triangle MCB$ và $\triangle NBC$ có:

• $MC = NB$ (chứng minh trên).
• $\widehat{MCB} = \widehat{NBC}$ (chứng minh trên).
• $BC$ chung.

Do đó $\triangle MCB = \triangle NBC$ (c.g.c).

Suy ra $BM = CN$ (hai cạnh tương ứng). ∎

Bài mẫu 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Tia phân giác của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Tia $AM$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

$M$ là giao điểm hai đường phân giác. Vì ba đường phân giác đồng quy nên $AM$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$.

Suy ra $\widehat{HAB} = \widehat{HAC}$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$ có:

• $AB = AC$ (chứng minh trên).
• $\widehat{HAB} = \widehat{HAC}$ (chứng minh trên).
• $AH$ chung.

Do đó $\triangle AHB = \triangle AHC$ (c.g.c).

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $H$ là trung điểm của $BC$. ∎

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Ba tỉ số cần nhớ về trọng tâm: Với trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$:

$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{GM}{MA} = \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1}{2}$$

Biết một đoạn → nhân hoặc chia để tìm hai đoạn còn lại.

Mẹo 2 – Tam giác cân: Trong tam giác cân tại $A$, đường phân giác từ đỉnh $A$ = đường trung tuyến từ $A$ = đường cao từ $A$. Rất hay dùng trong chứng minh.

Mẹo 3 – Giao điểm phân giác = cách đều ba cạnh: Khi đề cho $IH$, $IK$, $IL$ là khoảng cách từ $I$ đến ba cạnh, chỉ cần viết $IH = IK = IL$ rồi giải phương trình.

Tổng kết

Đường trung tuyến:

• Nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
• Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm $G$:

$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}$$

Đường phân giác:

• Tia phân giác của một góc cắt cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
• Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh.

Trong tam giác cân tại $A$: Đường phân giác từ đỉnh $A$ đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy $BC$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du