Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Khi thực hiện phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác 0, đôi khi phép chia không bao giờ kết thúc và trong kết quả xuất hiện một nhóm chữ số lặp đi lặp lại mãi mãi. Kết quả đó gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Chẳng hạn, khi chia $5$ cho $18$, ta được:

$$\frac{5}{18} = 0{,}2777\ldots$$

Chữ số $7$ được lặp lại vô hạn lần. Ta viết gọn là $0{,}2(7)$, trong đó số $7$ được gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn này.

Tương tự: $-\dfrac{17}{11} = -1{,}545454\ldots = -1{,}(54)$, có chu kì là $54$.

Chu kì có thể gồm một hoặc nhiều chữ số. Ví dụ:

$$\frac{7}{22} = 0{,}31818\ldots = 0{,}3(18) \quad \text{(chu kì là 18)}$$

$$-\frac{7}{22} = -0{,}3(18)$$

Các số thập phân có phần thập phân kết thúc sau một số hữu hạn chữ số như $0{,}8;; 1{,}25;; -6{,}725$ được gọi là số thập phân hữu hạn.

Chú ý: Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1. Viết $\dfrac{2}{3}$ dưới dạng số thập phân.

Giải. Thực hiện phép chia: $2 : 3 = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$.

Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là $6$.

Ví dụ 2. Viết $\dfrac{3}{8}$ dưới dạng số thập phân.

Giải. $3 : 8 = 0{,}375$.

Phép chia chấm dứt, nên $0{,}375$ là số thập phân hữu hạn.

Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước

Cách làm tròn số thập phân vô hạn cũng giống cách làm tròn số thập phân hữu hạn đã học ở lớp 6:

• Nhìn chữ số ngay sau hàng làm tròn.
• Nếu chữ số đó nhỏ hơn 5 → giữ nguyên chữ số hàng làm tròn (bỏ các chữ số sau).
• Nếu chữ số đó từ 5 trở lên → tăng chữ số hàng làm tròn thêm 1 (bỏ các chữ số sau).

Khi làm tròn số đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác bằng một nửa đơn vị của hàng làm tròn.

Bảng liên hệ giữa hàng làm tròn và độ chính xác:

Ví dụ 3. Làm tròn số $8\,347{,}56$ với độ chính xác: a) $50$; $\quad$ b) $0{,}05$.

Giải.

a) Độ chính xác $50$ → làm tròn đến hàng trăm. Chữ số hàng chục là $4 < 5$ → giữ nguyên.

$$8\,347{,}56 \approx 8\,300$$

b) Độ chính xác $0{,}05$ → làm tròn đến hàng phần mười. Chữ số hàng phần trăm là $6 \geq 5$ → tăng lên.

$$8\,347{,}56 \approx 8\,347{,}6$$

Ví dụ 4. Làm tròn số $3{,}14159$ với độ chính xác $0{,}005$.

Giải. Độ chính xác $0{,}005$ → làm tròn đến hàng phần trăm. Chữ số hàng phần nghìn là $1 < 5$ → giữ nguyên.

$$3{,}14159 \approx 3{,}14$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn

Phương pháp:

• Số thập phân hữu hạn: phần thập phân có số chữ số hữu hạn (kết thúc được). Ví dụ: $0{,}1;; -6{,}725$.
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: phần thập phân có nhóm chữ số lặp lại mãi mãi. Ví dụ: $-1{,}(23);; 11{,}2(3)$.
• Khi viết phân số dưới dạng thập phân: thực hiện phép chia. Nếu phép chia kết thúc → hữu hạn. Nếu phép chia không kết thúc và xuất hiện nhóm chữ số lặp → vô hạn tuần hoàn.
• Cách viết gọn: Đặt nhóm chữ số lặp (chu kì) trong dấu ngoặc. Ví dụ: $2{,}212121\ldots = 2{,}(21)$.

Bài mẫu 1. Trong các số sau, số nào là thập phân hữu hạn, số nào là vô hạn tuần hoàn?

$$0{,}1;\quad -1{,}(23);\quad 11{,}2(3);\quad -6{,}725$$

Giải.

• $0{,}1$ và $-6{,}725$: phần thập phân kết thúc → số thập phân hữu hạn.
• $-1{,}(23)$: chu kì $23$ lặp lại mãi → số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• $11{,}2(3)$: chữ số $3$ lặp lại mãi → số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Bài mẫu 2. Viết gọn số thập phân vô hạn tuần hoàn $0{,}010101\ldots$

Giải. Nhóm $01$ lặp lại mãi, nên: $0{,}010101\ldots = 0{,}(01)$.

Bài mẫu 3. Viết các phân số $\dfrac{1}{4}$ và $-\dfrac{2}{11}$ dưới dạng số thập phân, cho biết hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Giải.

• $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ → phép chia kết thúc → số thập phân hữu hạn.
• $-\dfrac{2}{11} = -0{,}181818\ldots = -0{,}(18)$ → số thập phân vô hạn tuần hoàn, chu kì là $18$.

Dạng 2: Thực hiện phép tính với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Phương pháp:

1. Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số (dùng các kết quả quen thuộc: $0{,}(3) = \dfrac{1}{3}$; $0{,}(6) = \dfrac{2}{3}$; $0{,}(1) = \dfrac{1}{9}$; …).
2. Thực hiện phép tính với phân số theo thứ tự phép tính.
3. Nếu không đổi được phân số chính xác, có thể làm tròn rồi tính gần đúng.

Bài mẫu 1. Tính: $\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3} – 0{,}5$

Giải.

$$= \frac{5}{6} + \frac{2}{3} – \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} – \frac{3}{6} = \frac{5 + 4 – 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Bài mẫu 2. Tính: $0{,}(3) – 1{,}(3) + \dfrac{2}{7}$

Giải.

Đổi về phân số: $0{,}(3) = \dfrac{1}{3}$; $\quad 1{,}(3) = 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$.

$$= \frac{1}{3} – \frac{4}{3} + \frac{2}{7} = \frac{-3}{3} + \frac{2}{7} = -1 + \frac{2}{7} = \frac{-7}{7} + \frac{2}{7} = \frac{-5}{7}$$

Bài mẫu 3. Tính: $1{,}(6) + \left(-\dfrac{2}{7}\right) – (-1{,}2)$

Giải.

Đổi: $1{,}(6) = 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$; $\quad -1{,}2 = -\dfrac{6}{5}$.

$$= \frac{5}{3} + \left(-\frac{2}{7}\right) + \frac{6}{5}$$

Quy đồng mẫu (mẫu chung = $105$):

$$= \frac{175}{105} – \frac{30}{105} + \frac{126}{105} = \frac{175 – 30 + 126}{105} = \frac{271}{105}$$

Dạng 3: So sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn

Phương pháp:

• Cách 1: Viết khai triển đủ các chữ số rồi so sánh từng chữ số từ trái sang phải (giống so sánh số thập phân thông thường).
• Cách 2: Đổi về phân số rồi so sánh phân số.
• Lưu ý: Hai số có cùng phần nguyên và cùng bắt đầu phần thập phân giống nhau → so sánh tại vị trí chữ số đầu tiên khác nhau.

Bài mẫu 1. So sánh $4{,}(15)$ và $4{,}1(15)$.

Giải.

Viết khai triển:

• $4{,}(15) = 4{,}151515\ldots$
• $4{,}1(15) = 4{,}115151515\ldots$

So sánh từng chữ số: phần nguyên bằng nhau ($4$), chữ số phần mười bằng nhau ($1$). Chữ số phần trăm: $5 > 1$.

Vậy $4{,}(15) > 4{,}1(15)$.

Bài mẫu 2. So sánh $0{,}(15)$ và $0{,}15$.

Giải.

• $0{,}(15) = 0{,}151515\ldots$
• $0{,}15 = 0{,}150000\ldots$

Hai chữ số đầu giống nhau ($15$). Chữ số thập phân thứ ba: $1 > 0$.

Vậy $0{,}(15) > 0{,}15$.

Bài mẫu 3. So sánh $\dfrac{2}{3}$ và $0{,}(6)$.

Giải.

$$\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$$

Vậy $\dfrac{2}{3} = 0{,}(6)$.

Dạng 4: Làm tròn số

Phương pháp:

1. Xác định hàng làm tròn dựa vào yêu cầu đề bài (đến hàng nào, hoặc với độ chính xác bao nhiêu).
2. Nhìn chữ số ngay sau hàng làm tròn:
   • Nhỏ hơn $5$ → giữ nguyên.
   • Từ $5$ trở lên → tăng thêm $1$.
3. Bỏ tất cả các chữ số sau hàng làm tròn (thay bằng $0$ nếu ở phần nguyên).

Bảng tra nhanh: Độ chính xác $50$ → hàng trăm; $5$ → hàng chục; $0{,}5$ → hàng đơn vị; $0{,}05$ → hàng phần mười; $0{,}005$ → hàng phần trăm.

Bài mẫu 1. Làm tròn các số sau với độ chính xác $0{,}5$:

a) $6{,}6$; $\quad$ b) $14{,}3$; $\quad$ c) $-7{,}505$

Giải.

Độ chính xác $0{,}5$ → làm tròn đến hàng đơn vị.

a) $6{,}6$: chữ số sau hàng đơn vị là $6 \geq 5$ → $6{,}6 \approx 7$.

b) $14{,}3$: chữ số sau hàng đơn vị là $3 < 5$ → $14{,}3 \approx 14$.

c) $-7{,}505$: xét phần dương $7{,}505$, chữ số sau hàng đơn vị là $5 \geq 5$ → $7{,}505 \approx 8$, nên $-7{,}505 \approx -8$.

Bài mẫu 2. Làm tròn các số sau đến hàng phần mười:

a) $1{,}4545$; $\quad$ b) $-6{,}3838$

Giải.

a) Chữ số hàng phần trăm là $5 \geq 5$ → $1{,}4545 \approx 1{,}5$.

b) Xét $6{,}3838$: chữ số hàng phần trăm là $8 \geq 5$ → $6{,}3838 \approx 6{,}4$, nên $-6{,}3838 \approx -6{,}4$.

Bài mẫu 3. Làm tròn $2{,}(4)$ đến hàng phần trăm.

Giải.

$2{,}(4) = 2{,}4444\ldots$

Chữ số hàng phần nghìn là $4 < 5$ → giữ nguyên.

$$2{,}(4) \approx 2{,}44$$

Bài mẫu 4. Ước lượng kết quả phép tính $31{,}(81) \cdot 4{,}9$ bằng cách làm tròn hai thừa số đến hàng đơn vị.

Giải.

$$31{,}(81) \approx 32;\qquad 4{,}9 \approx 5$$

$$32 \cdot 5 = 160$$

Vậy kết quả ước lượng khoảng $160$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Nhận dạng chu kì nhanh: Khi chia, nếu thấy phần dư bắt đầu lặp lại → nhóm chữ số tương ứng trong thương chính là chu kì.
• Phân số quen thuộc nên nhớ:
  • $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$; $\quad \dfrac{2}{3} = 0{,}(6)$; $\quad \dfrac{1}{9} = 0{,}(1)$; $\quad \dfrac{1}{11} = 0{,}(09)$
  • $\dfrac{1}{6} = 0{,}1(6)$; $\quad \dfrac{1}{7} = 0{,}(142857)$
• Xác định hàng làm tròn từ độ chính xác: Độ chính xác = một nửa đơn vị hàng làm tròn. Vậy nếu đề cho độ chính xác → nhân đôi lên sẽ ra đơn vị hàng cần làm tròn. Ví dụ: $0{,}005 \times 2 = 0{,}01$ → hàng phần trăm.
• So sánh bằng khai triển: Khi so sánh hai số thập phân vô hạn tuần hoàn, hãy viết ra đủ chữ số (khoảng 5–6 chữ số thập phân) rồi so sánh từ trái sang phải tại vị trí chữ số đầu tiên khác nhau.

Tổng kết

1. Số thập phân hữu hạn: phần thập phân kết thúc sau hữu hạn chữ số. Ví dụ: $0{,}8;; 1{,}25$.
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn: phần thập phân có nhóm chữ số (chu kì) lặp lại mãi mãi. Viết gọn bằng cách đặt chu kì trong ngoặc. Ví dụ: $0{,}2(7);; -1{,}(54)$.
3. Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
4. Làm tròn số: nhìn chữ số sau hàng làm tròn: $< 5$ → giữ nguyên; $\geq 5$ → tăng thêm 1.
5. Độ chính xác bằng một nửa đơn vị của hàng làm tròn.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du