Menu Học Tập

Bài tập toán 7 Bài 20: Tỉ lệ thức (25 bài tập)

Lớp 7 · Toán Bài 20

Tỉ Lệ Thức

Định nghĩa, tính chất tích chéo và cách tìm thành phần chưa biết

1
Tỉ lệ thức là gì?
▼

Trong đời sống, ta thường gặp những tình huống mà hai tỉ số có giá trị bằng nhau. Chẳng hạn, dù lá quốc kỳ Việt Nam có kích thước lớn hay nhỏ, tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài luôn bằng $\dfrac{2}{3}$.

chiều dài: 3 rộng: 2
💡Định nghĩa: Khi hai tỉ số bằng nhau, ta viết chúng thành một đẳng thức và gọi đẳng thức đó là tỉ lệ thức.
Công thức tổng quát
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$   (với $b \neq 0$, $d \neq 0$)
Còn được viết: $a : b = c : d$

Tên gọi các thành phần:

$a : b = c : d$
$a, d$ — ngoại tỉ (ngoài)
$b, c$ — trung tỉ (trong)
Ví dụ — Kiểm tra tỉ lệ thức

Hai tỉ số $8 : 12$ và $\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}$ có lập thành tỉ lệ thức không?

•$8 : 12 = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$
•$\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$
Hai tỉ số bằng nhau → là tỉ lệ thức
⟹$8 : 12 = \dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}$ ✓
📌Lưu ý: Tỉ lệ thức không chỉ là đẳng thức giữa hai phân số. Nó là đẳng thức giữa hai tỉ số bất kỳ, mà tỉ số có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau (phân số, thập phân, số nguyên...).
2
Tính chất tích chéo
▼

Đây là tính chất quan trọng nhất của tỉ lệ thức, dùng rất nhiều trong việc giải toán.

Tính chất 1
Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$

Nói cách khác: trong một tỉ lệ thức, tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ.

$\dfrac{a}{b}$
✕
$\dfrac{c}{d}$
⟹
$a \cdot d = b \cdot c$
Ví dụ — Kiểm tra bằng tích chéo

Xét tỉ lệ thức $\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{15}$.

•Tích hai ngoại tỉ: $8 \times 15 = 120$
•Tích hai trung tỉ: $12 \times 10 = 120$
Hai tích chéo bằng nhau → đúng tỉ lệ thức ✓
⚡Mẹo nhanh: Thay vì rút gọn cả hai tỉ số rồi so sánh, chỉ cần nhân chéo. Nếu hai tích bằng nhau thì có tỉ lệ thức.
3
Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức tích
▼

Tính chất tích chéo có chiều ngược lại: từ một đẳng thức tích, ta lập được 4 tỉ lệ thức.

Tính chất 2
Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ (với $a, b, c, d \neq 0$)
thì ta lập được 4 tỉ lệ thức:
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$
$\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$
$\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$
$\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$
🔑Cách nhớ: Hai số nằm cùng một vế trong đẳng thức tích sẽ nằm cùng hàng (cùng tử hoặc cùng mẫu) trong tỉ lệ thức.
Ví dụ — Lập 4 tỉ lệ thức

Từ đẳng thức $3 \times 30 = 5 \times 18$, ta lập được:

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{30}$
$\dfrac{3}{18} = \dfrac{5}{30}$
$\dfrac{30}{5} = \dfrac{18}{3}$
$\dfrac{30}{18} = \dfrac{5}{3}$

Kiểm tra ngược: ở tỉ lệ thức $\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{30}$, tích chéo $3 \cdot 30 = 5 \cdot 18 = 90$ ✓

🔄 Đổi chỗ thành phần (theo SGK — Em có biết):

Áp dụng tính chất, ta có thể đổi chỗ các thành phần $a$ với $d$, $b$ với $c$ để tạo ra tỉ lệ thức mới.

Đổi $a ↔ d$
a b = c d
$\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$
Đổi $b ↔ c$
a b = c d
$\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$
Đổi cả hai
a b = c d
$\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$
4
Tìm thành phần chưa biết
▼

Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, áp dụng tính chất tích chéo, ta có thể tìm bất kỳ thành phần nào nếu biết 3 thành phần còn lại.

Công thức tìm thành phần
$a = \dfrac{b \cdot c}{d}$    $b = \dfrac{a \cdot d}{c}$
$c = \dfrac{a \cdot d}{b}$    $d = \dfrac{b \cdot c}{a}$
🎯Quy tắc nhanh:
• Tìm ngoại tỉ = (tích hai trung tỉ) ÷ ngoại tỉ còn lại.
• Tìm trung tỉ = (tích hai ngoại tỉ) ÷ trung tỉ còn lại.

Các bước giải:

1
Đặt điều kiện cho biến (mẫu khác 0).
2
Áp dụng tính chất tích chéo: $a \cdot d = b \cdot c$.
3
Giải tìm $x$, kiểm tra điều kiện rồi kết luận.
Ví dụ 1 — Tìm $x$ ở vị trí tử

Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{8} = \dfrac{7}{4}$.

⟹$x \cdot 4 = 8 \cdot 7$   (tích chéo)
⟹$4x = 56$
⟹$x = \dfrac{56}{4} = 14$
Ví dụ 2 — Tìm $x$ ở vị trí mẫu

Tìm $x$, biết $\dfrac{15}{x} = \dfrac{10}{4}$   (điều kiện $x \neq 0$).

⟹$15 \cdot 4 = x \cdot 10$
⟹$60 = 10x$
⟹$x = 6$ (thoả mãn)
Ví dụ 3 — $x$ trong biểu thức

Tìm $x$, biết $\dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

⟹$(x - 1) \cdot 2 = 4 \cdot 1$
⟹$2x - 2 = 4$
⟹$2x = 6 \Rightarrow x = 3$
Ví dụ 4 — Dạng $x^2 = k$

Tìm $x$, biết $\dfrac{x}{5} = \dfrac{20}{x}$   (điều kiện $x \neq 0$).

⟹$x \cdot x = 5 \cdot 20$
⟹$x^2 = 100$
⟹$x = 10$   hoặc   $x = -10$
(vì $10^2 = 100$ và $(-10)^2 = 100$)
⚠️Cẩn thận: Với dạng $x^2 = k$ ($k > 0$) luôn có hai nghiệm $x = \pm\sqrt{k}$. Đừng quên nghiệm âm!
5
Áp dụng giải bài toán thực tế
▼

Tỉ lệ thức được dùng nhiều trong các bài toán thực tế: chia phần, đổi đơn vị, công việc, sản xuất…

Hai trường hợp thường gặp:

↗ Tỉ lệ thuận
📈 📈
Đại lượng này tăng → đại lượng kia cũng tăng
(2 tỉ số cùng chiều)
↘ Tỉ lệ nghịch
📈 📉
Đại lượng này tăng → đại lượng kia giảm
(2 tỉ số ngược chiều)

Các bước giải:

1
Đọc kỹ đề, xác định mối quan hệ (thuận hay nghịch).
2
Gọi đại lượng cần tìm là $x$, lập tỉ lệ thức phù hợp.
3
Áp dụng tích chéo để giải tìm $x$.
4
Kết luận, ghi đầy đủ đơn vị.
Ví dụ 1 — Pha nước muối (tỉ lệ thuận)

Cứ 3 lít nước tinh khiết pha với 27 g muối. Hỏi nếu có 45 g muối thì cần bao nhiêu lít nước?

💧
Nước
3 lít
+
🧂
Muối
27 g
⟶
💧
Nước
$x$ lít
+
🧂
Muối
45 g

Muối nhiều thì cần nước nhiều → tỉ lệ thuận:

⟹$\dfrac{3}{x} = \dfrac{27}{45}$
⟹$3 \cdot 45 = x \cdot 27$
⟹$x = \dfrac{135}{27} = 5$ (lít)

Vậy cần 5 lít nước tinh khiết.

Ví dụ 2 — Cày ruộng (tỉ lệ nghịch)

Để cày hết một cánh đồng trong 14 ngày cần 18 máy cày. Hỏi muốn cày trong 12 ngày cần bao nhiêu máy?

Số ngày giảm thì số máy phải tăng → tỉ lệ nghịch:

Lập tỉ lệ (đảo chiều):
⟹$\dfrac{14}{12} = \dfrac{x}{18}$
⟹$14 \cdot 18 = 12 \cdot x$
⟹$x = \dfrac{252}{12} = 21$ (máy)

Vậy cần 21 máy cày.

🎁Tổng kết Bài 20:
• Tỉ lệ thức: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ với $b, d \neq 0$.
• Tích chéo: $a \cdot d = b \cdot c$ — chìa khóa giải mọi bài tỉ lệ thức.
• Từ một đẳng thức tích → lập được 4 tỉ lệ thức.
• Tìm $x$: dùng tích chéo rồi giải phương trình.
1
—
Điểm: 0/25
⚖️

Luyện tỉ lệ thức nào!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập toán 7 Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (20 bài tập) ( 28/04 )