Menu Học Tập

Bài tập toán 7 Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (25 bài tập)

Lớp 7 · Toán Bài 21

Tính Chất Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

Công thức và cách giải các bài toán chia theo tỉ lệ

1
Tính chất của hai tỉ số bằng nhau
▼

Ở Bài 20, ta đã biết tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Vậy khi có một tỉ lệ thức, liệu ta có thể tạo ra thêm các tỉ số mới bằng nhau với chúng không?

🔍 Khám phá

Xét tỉ lệ thức $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$. Ta thử tính:

•$\dfrac{3 + 9}{5 + 15} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ ✓
•$\dfrac{3 - 9}{5 - 15} = \dfrac{-6}{-10} = \dfrac{3}{5}$ ✓
Hai tỉ số mới đều bằng các tỉ số ban đầu!
⭐ Tính chất quan trọng
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a-c}{b-d}$
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa, tức các mẫu đều khác $0$)

Hai cách kết hợp tử và mẫu:

➕
$\dfrac{a + c}{b + d}$
Cộng cả tử và mẫu
➖
$\dfrac{a - c}{b - d}$
Trừ cả tử và mẫu
⚠️Quan trọng: Phép toán ở tử phải cùng dạng với phép toán ở mẫu. Nếu tử là $a + c$ thì mẫu phải là $b + d$ (không thể là $b - d$).
Ví dụ — Áp dụng tính chất

Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{9}$ và $x + y = 39$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
⟹$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{9} = \dfrac{x+y}{4+9} = \dfrac{39}{13} = 3$
⟹$x = 3 \cdot 4 = 12$; $\;\,y = 3 \cdot 9 = 27$
$x = 12$
$y = 27$
2
Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau
▼

Tính chất trên không chỉ đúng với hai tỉ số, mà còn mở rộng được cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau.

⭐ Mở rộng cho 3 tỉ số
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$

$= \dfrac{a + c + e}{b + d + f} = \dfrac{a - c + e}{b - d + f}$
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
💡Cách viết khác: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$, ta nói các số $a, c, e$ tỉ lệ với các số $b, d, f$. Khi đó viết:
$\,\,a : c : e = b : d : f$

Quy tắc chung khi tổ hợp tử:

!
Tử cộng/trừ thế nào → mẫu cộng/trừ y hệt vậy.
!
Hệ số ở tử bao nhiêu → hệ số ở mẫu bấy nhiêu.
Ví dụ — Ba đội quyên góp

Ba đội tình nguyện quyên góp được tổng cộng 300 triệu đồng để xây trường vùng cao. Số tiền ba đội tỉ lệ với $2; 3; 5$. Tính số tiền mỗi đội.

Gọi số tiền 3 đội lần lượt là $x, y, z$ (triệu đồng). Ta có:

•$x + y + z = 300$ và $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
⟹$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x+y+z}{2+3+5} = \dfrac{300}{10} = 30$
⟹$x = 60; \,y = 90; \,z = 150$
Đội 1: 60 triệu
Đội 2: 90 triệu
Đội 3: 150 triệu
3
Tìm 2 số biết tỉ số và tổng (hoặc hiệu)
▼

Đây là dạng cơ bản nhất sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Các bước giải:

1
Viết điều kiện về dạng $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$.
2
Áp dụng tính chất với tổng (nếu biết $x + y$) hoặc hiệu (nếu biết $x - y$).
3
Tính giá trị chung của dãy, rồi nhân ngược lại tìm $x, y$.
Ví dụ 1 — Biết tổng

Tìm $x, y$ biết $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11}$ và $x + y = 40$.

⟹$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11} = \dfrac{x+y}{9+11} = \dfrac{40}{20} = 2$
⟹$x = 2 \cdot 9 = 18$; $\;\,y = 2 \cdot 11 = 22$
$x = 18$
$y = 22$
Ví dụ 2 — Biết hiệu

Tìm $x, y$ biết $\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21}$ và $x - y = 8$.

⟹$\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21} = \dfrac{x-y}{17-21} = \dfrac{8}{-4} = -2$
⟹$x = (-2) \cdot 17 = -34$; $\;\,y = (-2) \cdot 21 = -42$
$x = -34$
$y = -42$

Lưu ý: kết quả âm là hợp lệ. Khi mẫu ở dãy là $a - b$ ra số âm, ta cứ giữ nguyên dấu và nhân bình thường.

🔑Đặc biệt: Nếu đề cho đẳng thức tích dạng $ma = nb$, hãy chuyển về tỉ số trước:
Chia cả 2 vế cho $mn$, ta được $\dfrac{a}{n} = \dfrac{b}{m}$ (hệ số đổi chéo).
$2a = 5b$
⟹
$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2}$
Ví dụ 3 — Đẳng thức tích + tổ hợp có hệ số

Tìm $a, b$ biết $2a = 5b$ và $3a + 4b = 46$.

Bước 1: Chuyển đẳng thức tích thành tỉ số (đổi chéo hệ số):
⟹$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2}$
Bước 2: Áp dụng tính chất với tổ hợp $3a + 4b$:
⟹$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{3a+4b}{3 \cdot 5 + 4 \cdot 2} = \dfrac{46}{23} = 2$
⟹$a = 10$; $\;\,b = 4$

Lưu ý: Mẫu ở vế phải phải nhân cùng hệ số như tử (3 và 4).

4
Tìm 3 số (hoặc nhiều hơn)
▼

Khi đề cho 3 số trở lên với điều kiện ràng buộc, cách giải tương tự nhưng dùng dãy 3 tỉ số.

Quy trình:

1
Đọc đề: $a : b : c = m : n : p$ thì viết $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$.
2
Xác định điều kiện ràng buộc (tổng $a+b+c$, hoặc tổ hợp như $a + b - c$).
3
Áp dụng tính chất, tính giá trị chung $k$.
4
Nhân $k$ với từng mẫu để ra $a, b, c$.
Ví dụ 1 — Trồng cây phủ xanh

Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tổng 120 cây, tỉ lệ với $7; 8; 9$. Tính số cây mỗi lớp.

🌱
Lớp 7A
tỉ lệ 7
🌱
Lớp 7B
tỉ lệ 8
🌱
Lớp 7C
tỉ lệ 9

Gọi số cây 3 lớp lần lượt là $a, b, c$ (cây), $a, b, c > 0$.

•$a + b + c = 120$ và $\dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{8} = \dfrac{c}{9}$
⟹$\dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{8} = \dfrac{c}{9} = \dfrac{a+b+c}{7+8+9} = \dfrac{120}{24} = 5$
⟹$a = 35; \;b = 40; \;c = 45$
7A: 35 cây
7B: 40 cây
7C: 45 cây
Ví dụ 2 — Tổ hợp có dấu trừ

Công ty có 3 chi nhánh A, B, C. A và B lãi, C lỗ. Tiền lãi/lỗ tỉ lệ với $3; 4; 2$. Tổng tháng đó công ty lãi 500 triệu. Tìm tiền lãi/lỗ mỗi chi nhánh.

Gọi tiền lãi A, B là $A, B$ và tiền lỗ C là $C$ (triệu, đều dương).

A, B lãi nhưng C lỗ → tổng lãi công ty:
•$A + B - C = 500$
•$\dfrac{A}{3} = \dfrac{B}{4} = \dfrac{C}{2}$
⟹$\dfrac{A}{3} = \dfrac{B}{4} = \dfrac{C}{2} = \dfrac{A+B-C}{3+4-2} = \dfrac{500}{5} = 100$
⟹$A = 300; \,B = 400; \,C = 200$
A: lãi 300 triệu
B: lãi 400 triệu
C: lỗ 200 triệu
⚡Mẹo: Dấu cộng/trừ ở mẫu phải đúng theo tử. Ví dụ: $\dfrac{A+B-C}{3+4-2}$, không thể viết $\dfrac{A+B-C}{3+4+2}$ hay $\dfrac{A+B+C}{3+4-2}$.
5
Áp dụng giải bài toán thực tế
▼

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là công cụ rất mạnh để giải các bài toán chia theo tỉ lệ trong đời sống.

Các bước giải bài toán thực tế:

1
Đặt ẩn cho từng đại lượng cần tìm, kèm đơn vị.
2
Chuyển dữ kiện đề bài thành dãy tỉ số: $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$.
3
Xác định điều kiện ràng buộc (tổng, hiệu, tổ hợp...).
4
Áp dụng tính chất, tính giá trị chung rồi nhân ngược lại.
5
Trả lời đầy đủ với đơn vị và kiểm tra điều kiện.
Ví dụ 1 — Tỉ số là số thập phân

Tỉ số sản phẩm của hai công nhân là $0{,}95$. Người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người.

Gọi số sản phẩm 2 người là $a, b$ (sản phẩm), $a, b > 0$.

Đổi tỉ số sang phân số tối giản:
•$\dfrac{a}{b} = 0{,}95 = \dfrac{19}{20}$ ⟹ $\dfrac{a}{19} = \dfrac{b}{20}$
Vì $19 < 20$ → $a < b$, nên $b - a = 10$:
⟹$\dfrac{a}{19} = \dfrac{b}{20} = \dfrac{b-a}{20-19} = \dfrac{10}{1} = 10$
⟹$a = 190; \;b = 200$
Người 1: 190 sp
Người 2: 200 sp
Ví dụ 2 — Hình chữ nhật

Một hình chữ nhật có chu vi 28 cm, hai cạnh tỉ lệ với $3; 4$. Tính diện tích.

chiều dài: $b$ rộng: $a$ a:b = 3:4
Nửa chu vi:
•$a + b = 28 : 2 = 14$
Hai cạnh tỉ lệ với 3, 4:
•$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4}$
⟹$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{a+b}{3+4} = \dfrac{14}{7} = 2$
⟹$a = 6; \,b = 8$
Diện tích:
⟹$S = 6 \cdot 8 = 48 \,\text{cm}^2$
🎁Tổng kết Bài 21:
• Tính chất hai tỉ số: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a-c}{b-d}$
• Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số: tử cộng/trừ thế nào → mẫu cộng/trừ y hệt vậy.
• Đẳng thức tích $ma = nb$ → đổi chéo: $\dfrac{a}{n} = \dfrac{b}{m}$.
• Tổ hợp có hệ số: $\dfrac{px+qy}{pa+qb}$ phải nhân hệ số khớp tử và mẫu.
1
—
Điểm: 0/25
🔗

Luyện dãy tỉ số bằng nhau!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập toán 7 Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương (20 bài tập) ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác ( 28/04 )

Bài tập toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (20 bài tập) ( 28/04 )