Phép Chia Đa Thức Một Biến
Chia đơn thức, chia đa thức cho đơn thức và đặt tính chia đa thức
Ở các bài trước, ta đã học phép cộng, trừ và nhân đa thức. Bài này sẽ hoàn thiện bộ bốn phép tính với phần cuối cùng — phép chia đa thức, bao gồm cả trường hợp chia hết và chia có dư.
$A = B \cdot Q$
thì ta có phép chia hết: $A : B = Q$ (hay $\dfrac{A}{B} = Q$).
Ba thành phần của phép chia:
Cho hai đơn thức $ax^m$ và $bx^n$ (với $m, n \in \mathbb{N}$; $a, b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$). Nếu $m \geq n$ thì phép chia $ax^m$ cho $bx^n$ là phép chia hết.
• Cùng dấu → kết quả dương.
• Khác dấu → kết quả âm.
Tính $(-8x^5 + 6x^4 - 4x^3) : 2x^3$.
Tính $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x)$.
Lưu ý: kết quả có thể là phân số nếu hệ số chia không chia hết cho hệ số bị chia.
Khi chia đa thức cho đa thức (bậc $\geq 2$), ta thực hiện đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên.
Quy trình 3 bước (lặp lại):
Bước 1: $6x^3 : 3x = 2x^2$
Trừ: $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) - 2x^2 \cdot (3x - 1)$
$= (6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) - (6x^3 - 2x^2) = -9x + 3$
Bước 2: $-9x : 3x = -3$
Trừ: $(-9x + 3) - (-3)(3x - 1) = (-9x + 3) - (-9x + 3) = 0$
| $6x^3$ | $- 2x^2$ | $- 9x$ | $+ 3$ | $3x - 1$ | |
| $6x^3$ | $- 2x^2$ | · | · | $2x^2 - 3$ | |
| · | · | $- 9x$ | $+ 3$ | ||
| · | · | $- 9x$ | $+ 3$ | ||
| · | · | · | $0$ |
Dư bằng $0$ → chia hết. Thương: $Q = 2x^2 - 3$.
Kiểm tra: $(3x - 1)(2x^2 - 3) = 6x^3 - 9x - 2x^2 + 3 = 6x^3 - 2x^2 - 9x + 3$ ✓
Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$, nếu dư cuối cùng $R \neq 0$ (nhưng bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$), ta có phép chia có dư.
Ý nghĩa: Trường hợp $R = 0$ chính là phép chia hết; trường hợp $R \neq 0$ là phép chia có dư.
Chia $D = 4x^3 - 2x^2 + 3x + 5$ cho $E = x^2 + 2$.
Viết $E = x^2 + 0x + 2$ cho dễ tính.
Thương: $Q = 4x - 2$. Dư: $R = -5x + 9$.
Kiểm tra: $E \cdot Q + R = (x^2 + 2)(4x - 2) + (-5x + 9)$
$= 4x^3 - 2x^2 + 8x - 4 - 5x + 9 = 4x^3 - 2x^2 + 3x + 5 = D$ ✓
Ví dụ: $(21x - 4) : 3x^2$: thương $= 0$, dư $= 21x - 4$.
• Chia đơn thức: $ax^m : bx^n = \dfrac{a}{b} \cdot x^{m-n}$ ($m \geq n$).
• Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử rồi cộng kết quả.
• Chia đa thức cho đa thức: đặt tính chia (Chia → Nhân → Trừ → Lặp).
• Phép chia có dư: $A = B \cdot Q + R$ với bậc $R$ < bậc $B$ (hoặc $R = 0$).
• Bậc thương = bậc bị chia $-$ bậc chia.
Luyện chia đa thức nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du