Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng $90°$. Nhờ đặc điểm này, việc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau trở nên đơn giản hơn so với tam giác thường, vì ta đã biết trước một cặp góc bằng nhau (cùng bằng $90°$).

Từ các trường hợp bằng nhau của tam giác thường (c.g.c, g.c.g, c.c.c), khi áp dụng vào tam giác vuông, ta có ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Giải thích: Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle A’B’C’$ vuông tại $A’$ có $AB = A’B’$, $AC = A’C’$. Vì $\widehat{A} = \widehat{A’} = 90°$ nên theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c), ta có $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$.

Trường hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Giải thích: Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle A’B’C’$ vuông tại $A’$ có $AB = A’B’$, $\widehat{B} = \widehat{B’}$. Vì $\widehat{A} = \widehat{A’} = 90°$ nên theo trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g), ta có $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$.

Trường hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Giải thích: Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle A’B’C’$ vuông tại $A’$ có $BC = B’C’$, $\widehat{B} = \widehat{B’}$.

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ nên:

$$\widehat{C} = 180° – 90° – \widehat{B} = 180° – 90° – \widehat{B’} = \widehat{C’}$$

Do đó theo trường hợp g.c.g, ta có $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$.

Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Ngoài ba trường hợp trên (suy ra từ tam giác thường), tam giác vuông còn có một trường hợp bằng nhau đặc biệt mà tam giác thường không có:

Trường hợp 4: Cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Đây là định lí được thừa nhận (không chứng minh ở chương trình lớp 7).

Ví dụ. Cho $\triangle ABC$ vuông tại đỉnh $B$ và $\triangle ADC$ vuông tại đỉnh $D$, biết $AB = AD$.

Chứng minh $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Giải.

Xét hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $B$) và $ADC$ (vuông tại $D$) có:

• $AB = AD$ (theo giả thiết);
• $AC$ là cạnh chung (cạnh huyền).

Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Tổng hợp bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Phương pháp:

1. Xác định hai tam giác vuông cần xét (vuông tại đỉnh nào?).
2. Liệt kê các yếu tố bằng nhau đã biết (cạnh, góc).
3. Đối chiếu với bốn trường hợp để kết luận.

Lưu ý: Phải phân biệt rõ cạnh góc vuông (hai cạnh tạo thành góc vuông) và cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông). Đồng thời, với trường hợp “cạnh góc vuông – góc nhọn kề”, góc nhọn phải kề với cạnh góc vuông đó, không phải góc nhọn bất kì.

Bài mẫu 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và tam giác $MNP$ vuông tại $N$, có $AB = MN$. Cần thêm điều kiện gì để $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông?

Giải.

$\triangle ABC$ vuông tại $B$ nên $AB$, $BC$ là hai cạnh góc vuông.

$\triangle MNP$ vuông tại $N$ nên $MN$, $NP$ là hai cạnh góc vuông.

Đã có $AB = MN$ (một cặp cạnh góc vuông). Để theo trường hợp hai cạnh góc vuông, cần thêm: $BC = NP$.

Bài mẫu 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $DEF$ vuông tại $D$, có $AB = DE$. Cần thêm điều kiện gì để $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?

Giải.

$AB = DE$ là một cặp cạnh góc vuông. Góc nhọn kề với cạnh $AB$ là $\widehat{B}$; góc nhọn kề với cạnh $DE$ là $\widehat{E}$.

Vậy cần thêm: $\widehat{B} = \widehat{E}$.

Bài mẫu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và tam giác $DEF$ vuông tại $F$, có $\widehat{B} = \widehat{E}$. Cần thêm điều kiện gì để $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn?

Giải.

$\triangle ABC$ vuông tại $C$ nên $AB$ là cạnh huyền. $\triangle DEF$ vuông tại $F$ nên $DE$ là cạnh huyền.

Đã có $\widehat{B} = \widehat{E}$ (góc nhọn). Để theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, cần thêm: $AB = DE$.

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Phương pháp:

1. Xác định hai tam giác vuông (nêu rõ vuông tại đỉnh nào).
2. Chỉ ra các yếu tố bằng nhau (từ giả thiết, tính chất hình, góc đối đỉnh, cạnh chung, …).
3. Kết luận theo một trong bốn trường hợp.

Bài mẫu 1. Cho Hình 4.49. Biết $AB \perp BC$, $AD \perp CD$, $AC$ cắt $BD$ tại $E$ và $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$. Chứng minh $\triangle BAC = \triangle DAC$.

Giải.

Xét hai tam giác vuông $BAC$ (vuông tại $B$) và $DAC$ (vuông tại $D$) có:

• $AC$ là cạnh chung (cạnh huyền);
• $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ (theo giả thiết).

Vậy $\triangle BAC = \triangle DAC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Bài mẫu 2. Cho $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$. Lấy điểm $M$ trên tia $Oz$ và hai điểm $A$, $B$ lần lượt trên các tia $Ox$, $Oy$ sao cho $MA \perp Ox$, $MB \perp Oy$. Chứng minh $MA = MB$.

Giải.

Vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOz} = \widehat{yOz}$.

Mà $M \in Oz$, $A \in Ox$, $B \in Oy$ nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.

Vì $MA \perp OA$ và $MB \perp OB$ nên $\triangle OAM$ vuông tại $A$, $\triangle OBM$ vuông tại $B$.

Xét hai tam giác vuông $OAM$ (vuông tại $A$) và $OBM$ (vuông tại $B$) có:

• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (chứng minh trên);
• $OM$ là cạnh chung (cạnh huyền).

Vậy $\triangle OAM = \triangle OBM$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng).

Bài mẫu 3. Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ như hình vẽ. Biết $E$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\triangle ABE = \triangle DCE$.

Giải.

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$ có:

• $BE = CE$ (vì $E$ là trung điểm của $BC$);
• $\widehat{ABE} = \widehat{DCE} = 90°$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Vậy $\triangle ABE = \triangle DCE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Dạng 3: Chứng minh các yếu tố bằng nhau hoặc vuông góc thông qua tam giác vuông bằng nhau

Phương pháp:

1. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau (theo Dạng 2).
2. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau hoặc các góc tương ứng bằng nhau.
3. Sử dụng kết quả suy ra để chứng minh tiếp (vuông góc, cạnh bằng nhau, …).

Bài mẫu 1. (Tiếp theo Bài mẫu 1 Dạng 2) Chứng minh $AC \perp BD$ tại $E$.

Giải.

Từ Dạng 2, ta đã có $\triangle BAC = \triangle DAC$, suy ra $AB = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác $BAE$ và $DAE$ có:

• $AE$ là cạnh chung;
• $\widehat{BAE} = \widehat{DAE}$ (theo giả thiết);
• $AB = AD$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle BAE = \triangle DAE$ (c.g.c), suy ra $\widehat{BEA} = \widehat{DEA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BEA} + \widehat{DEA} = 180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{BEA} = \widehat{DEA} = 90°$.

Vậy $AC \perp BD$ tại $E$.

Bài mẫu 2. Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ như hình vẽ. Biết $AC \perp BD$, $EA = EB$ và $EC = ED$. Chứng minh: a) $\triangle AED = \triangle BEC$; b) $\triangle ABC = \triangle BAD$.

Giải.

a) Xét $\triangle AED$ và $\triangle BEC$ có:

• $AE = BE$ (giả thiết);
• $\widehat{AED} = \widehat{BEC} = 90°$ (vì $AC \perp BD$);
• $ED = EC$ (giả thiết).

Vậy $\triangle AED = \triangle BEC$ (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có: $AC = AE + EC$ và $BD = BE + ED$.

Mà $AE = BE$, $EC = ED$ nên $AC = BD$.

Từ $\triangle AED = \triangle BEC$ suy ra $AD = BC$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle BAD$ có:

• $BC = AD$ (chứng minh trên);
• $AB$ chung;
• $AC = BD$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ABC = \triangle BAD$ (c.c.c).

Bài mẫu 3. Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Chứng minh $BN = CM$ và $BN \perp CM$.

Giải.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và $\widehat{A} = \widehat{B} = 90°$.

$N$ là trung điểm của $AD$ nên $AN = \dfrac{AD}{2}$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $BM = \dfrac{AB}{2}$.

Mà $AB = AD$ nên $AN = BM$.

Xét $\triangle ANB$ (vuông tại $A$) và $\triangle BMC$ (vuông tại $B$) có:

• $AN = BM$ (chứng minh trên);
• $\widehat{NAB} = \widehat{MBC} = 90°$;
• $AB = BC$ (cạnh hình vuông).

Vậy $\triangle ANB = \triangle BMC$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Gọi $E$ là giao điểm của $BN$ và $CM$.

Từ $\triangle ANB = \triangle BMC$ suy ra $\widehat{ABN} = \widehat{BCM}$.

Xét $\triangle BME$ có:

$$\widehat{BEM} = 180° – \widehat{EMB} – \widehat{MBE} = 180° – \widehat{BCM} – \widehat{MBE}$$

Mà $\widehat{BCM} = \widehat{ABN}$ nên:

$$\widehat{BEM} = 180° – \widehat{ABN} – \widehat{MBE} = 180° – (\widehat{ABN} + \widehat{MBE}) = 180° – \widehat{ABC} = 180° – 90° = 90°$$

Vậy $BN \perp CM$ tại $E$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Liệt kê trước, chọn sau: Khi gặp bài chứng minh, hãy liệt kê tất cả các yếu tố bằng nhau có thể tìm được (cạnh chung, góc đối đỉnh, giả thiết, …), rồi mới đối chiếu với 4 trường hợp để chọn cách chứng minh phù hợp nhất.
• Cạnh chung thường là chìa khóa: Trong rất nhiều bài, hai tam giác vuông có cạnh chung (thường là cạnh huyền hoặc một cạnh góc vuông). Hãy tìm cạnh chung trước.
• Từ bằng nhau → suy ra tiếp: Sau khi chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, nhớ khai thác tất cả các cạnh và góc tương ứng bằng nhau để phục vụ các phần tiếp theo.
• Góc kề bù → vuông góc: Nếu cần chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hãy chứng minh hai góc kề bù bằng nhau. Hai góc kề bù mà bằng nhau thì mỗi góc bằng $90°$.

Tổng kết

1. Tam giác vuông có bốn trường hợp bằng nhau: hai cạnh góc vuông, cạnh góc vuông – góc nhọn kề, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.
2. Ba trường hợp đầu suy ra từ các trường hợp bằng nhau c.g.c và g.c.g của tam giác thường. Trường hợp thứ tư (cạnh huyền – cạnh góc vuông) là đặc biệt, chỉ có ở tam giác vuông.
3. Khi chứng minh, luôn nêu rõ hai tam giác vuông tại đỉnh nào, liệt kê đủ yếu tố bằng nhau, rồi kết luận theo trường hợp phù hợp.
4. Từ hai tam giác vuông bằng nhau, ta suy ra các cạnh và góc tương ứng bằng nhau để chứng minh tiếp các yêu cầu khác.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du