Cộng và trừ hai số hữu tỉ

Để thực hiện phép cộng hoặc trừ hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số đã học.

Cụ thể, với hai số hữu tỉ $x = \dfrac{a}{m}$ và $y = \dfrac{b}{m}$ (cùng mẫu dương $m$), ta có:

$$x + y = \frac{a + b}{m};\qquad x – y = \frac{a – b}{m}$$

Phép cộng số hữu tỉ có đầy đủ các tính chất giống phép cộng phân số:

• Giao hoán: $a + b = b + a$
• Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Cộng với số 0: $a + 0 = a$
• Cộng với số đối: $a + (-a) = 0$

Lưu ý: Nếu hai số hữu tỉ đều ở dạng số thập phân, ta có thể cộng hoặc trừ trực tiếp theo quy tắc cộng, trừ số thập phân mà không cần đổi sang phân số.

Ví dụ 1. Tính: $\dfrac{3}{-5} + 1{,}5 + \dfrac{2}{5} + 1\dfrac{1}{2}$

Giải.

$$= \frac{-3}{5} + \frac{3}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{2} \quad \text{(viết dưới dạng phân số có mẫu dương)}$$

$$= \frac{-3}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \quad \text{(tính chất giao hoán)}$$

$$= \left(\frac{-3}{5} + \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right) \quad \text{(tính chất kết hợp)}$$

$$= \frac{-1}{5} + 3 = \frac{14}{5}$$

Ví dụ 2. Tính: $-0{,}75 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}$

Giải.

$$= \frac{-3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \quad \text{(viết dưới dạng phân số)}$$

$$= \left(\frac{-3}{4} + \frac{3}{4}\right) + \frac{1}{3} \quad \text{(tính chất giao hoán, kết hợp)}$$

$$= 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \quad \text{(cộng với số 0)}$$

Ví dụ 3. Tính: $(-7{,}23) + 5{,}14$

Giải.

$$(-7{,}23) + 5{,}14 = -(7{,}23 – 5{,}14) = -2{,}09$$

Quy tắc dấu ngoặc trong $\mathbb{Q}$

Trong tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, quy tắc dấu ngoặc hoạt động tương tự như trong tập số nguyên $\mathbb{Z}$:

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “$+$” đằng trước: giữ nguyên dấu các số hạng bên trong.
• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “$-$” đằng trước: đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.

Ngoài ra, ta có thể tự do đổi chỗ các số hạng và đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách thuận tiện cho việc tính toán.

Ví dụ 4. Tính: $\dfrac{5}{7} – \left[\dfrac{3}{4} – \left(\dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{7}\right)\right]$

Giải.

$$= \frac{5}{7} – \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{4} – \frac{3}{7}\right) \quad \text{(bỏ ngoặc vuông có dấu “$-$” đằng trước)}$$

$$= \frac{5}{7} – \frac{3}{4} + \frac{1}{4} – \frac{3}{7} \quad \text{(bỏ ngoặc tròn có dấu “$+$” đằng trước)}$$

$$= \left(\frac{5}{7} – \frac{3}{7}\right) – \left(\frac{3}{4} – \frac{1}{4}\right) \quad \text{(nhóm các số hạng)}$$

$$= \frac{2}{7} – \frac{2}{4} = \frac{2}{7} – \frac{1}{2} = \frac{4}{14} – \frac{7}{14} = \frac{-3}{14}$$

Nhân và chia hai số hữu tỉ

Tương tự phép cộng và trừ, để nhân hoặc chia hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Với hai số hữu tỉ $x = \dfrac{a}{b}$ và $y = \dfrac{c}{d}$ ($b, d \neq 0$):

$$x \cdot y = \frac{a \cdot c}{b \cdot d};\qquad x : y = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \quad (y \neq 0)$$

Phép nhân số hữu tỉ cũng có đầy đủ các tính chất của phép nhân phân số:

• Giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a$
• Kết hợp: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• Nhân với số 1: $a \cdot 1 = a$
• Phân phối đối với phép cộng: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Lưu ý: Nếu hai số hữu tỉ đều ở dạng số thập phân, ta có thể nhân hoặc chia trực tiếp theo quy tắc nhân, chia số thập phân.

Ví dụ 5. Tính: a) $\dfrac{4}{9} \cdot 0{,}75$; $\quad$ b) $-3{,}6 : \dfrac{4}{5}$

Giải.

a) $\dfrac{4}{9} \cdot 0{,}75 = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{75}{100} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$

b) $-3{,}6 : \dfrac{4}{5} = \dfrac{-36}{10} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{-36}{10} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{-180}{40} = \dfrac{-9}{2} = -4{,}5$

Ví dụ 6. Tính: $1{,}25 \cdot (-3{,}8)$ và $6{,}5 : (-0{,}13)$

Giải.

$$1{,}25 \cdot (-3{,}8) = -(1{,}25 \cdot 3{,}8) = -4{,}75$$

$$6{,}5 : (-0{,}13) = -(6{,}5 : 0{,}13) = -50$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Phương pháp:

1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
2. Quy đồng mẫu số.
3. Cộng hoặc trừ các tử số, giữ nguyên mẫu.
4. Rút gọn kết quả (nếu cần).

Nếu cả hai số đều ở dạng thập phân → cộng/trừ trực tiếp.

Bài mẫu 1. Tính: $\dfrac{-6}{18} + \dfrac{18}{27}$

Giải.

Bước 1: Rút gọn các phân số.

$$\frac{-6}{18} = \frac{-1}{3};\quad \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$

Bước 2: Hai phân số đã cùng mẫu, ta cộng tử:

$$\frac{-1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-1 + 2}{3} = \frac{1}{3}$$

Bài mẫu 2. Tính: $(-7) – \left(-\dfrac{5}{8}\right)$

Giải.

Bước 1: Trừ một số bằng cộng với số đối:

$$(-7) – \left(-\frac{5}{8}\right) = (-7) + \frac{5}{8}$$

Bước 2: Quy đồng mẫu:

$$= \frac{-56}{8} + \frac{5}{8} = \frac{-56 + 5}{8} = \frac{-51}{8}$$

Bài mẫu 3. Tính: $-21{,}25 + 13{,}3$

Giải.

Cả hai số đều ở dạng thập phân, ta tính trực tiếp:

$$-21{,}25 + 13{,}3 = -(21{,}25 – 13{,}3) = -7{,}95$$

Dạng 2: Bỏ dấu ngoặc rồi tính

Phương pháp:

1. Áp dụng quy tắc dấu ngoặc: bỏ ngoặc có dấu “$+$” → giữ nguyên dấu; bỏ ngoặc có dấu “$-$” → đổi dấu tất cả.
2. Nhóm các số hạng thuận tiện (cùng mẫu, số đối nhau, …).
3. Tính từng nhóm rồi tổng hợp kết quả.

Bài mẫu 1. Tính: $\dfrac{9}{10} – \left(\dfrac{6}{5} – \dfrac{7}{4}\right)$

Giải.

Bước 1: Bỏ ngoặc có dấu “$-$” đằng trước → đổi dấu các số hạng:

$$= \frac{9}{10} – \frac{6}{5} + \frac{7}{4}$$

Bước 2: Quy đồng mẫu (mẫu chung = 20):

$$= \frac{18}{20} – \frac{24}{20} + \frac{35}{20}$$

Bước 3: Tính:

$$= \frac{18 – 24 + 35}{20} = \frac{29}{20}$$

Bài mẫu 2. Tính: $6{,}5 + \left[0{,}75 – (8{,}25 – 1{,}75)\right]$

Giải.

Bước 1: Tính trong ngoặc tròn trước:

$$8{,}25 – 1{,}75 = 6{,}5$$

Bước 2: Tính trong ngoặc vuông:

$$0{,}75 – 6{,}5 = -5{,}75$$

Bước 3: Tính kết quả:

$$6{,}5 + (-5{,}75) = 0{,}75$$

Dạng 3: Nhân, chia hai số hữu tỉ

Phương pháp:

1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số.
2. Áp dụng quy tắc nhân phân số (nhân tử với tử, mẫu với mẫu) hoặc quy tắc chia phân số (nhân với nghịch đảo).
3. Xác định dấu kết quả: cùng dấu → dương; khác dấu → âm.
4. Rút gọn.

Nếu cả hai số đều ở dạng thập phân → nhân/chia trực tiếp.

Bài mẫu 1. Tính: $2{,}5 – \left(-\dfrac{6}{9}\right)$

Giải.

$$2{,}5 – \left(-\frac{6}{9}\right) = 2{,}5 + \frac{6}{9} = \frac{5}{2} + \frac{2}{3} = \frac{15}{6} + \frac{4}{6} = \frac{19}{6}$$

Bài mẫu 2. Tính: $-0{,}32 \cdot (-0{,}875)$

Giải.

Hai số cùng âm, tích sẽ dương:

$$-0{,}32 \cdot (-0{,}875) = +(0{,}32 \cdot 0{,}875) = 0{,}28$$

Bài mẫu 3. Tính: $(-5) : 2\dfrac{1}{5}$

Giải.

Bước 1: Đổi hỗn số: $2\dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{5}$.

Bước 2: Chia bằng nhân với nghịch đảo:

$$(-5) : \frac{11}{5} = (-5) \cdot \frac{5}{11} = \frac{-25}{11}$$

Dạng 4: Tính hợp lí (áp dụng tính chất các phép toán)

Phương pháp:

Quan sát biểu thức để nhận ra cách áp dụng các tính chất:

• Giao hoán + kết hợp: đổi chỗ và nhóm các số hạng có mẫu giống nhau, hoặc có tổng “đẹp” (tổng bằng 0, bằng 1, …).
• Phân phối: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Ngược lại, nếu thấy hai tích có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài.
• Nhân với 1, cộng với 0: đơn giản hóa biểu thức.

Bài mẫu 1. Tính hợp lí: $\dfrac{-3}{10} + 0{,}125 + \left(-\dfrac{7}{10}\right) + 0{,}875 + \dfrac{4}{5}$

Giải.

Bước 1: Nhóm các phân số cùng mẫu và các số thập phân lại:

$$= \left[\frac{-3}{10} + \left(-\frac{7}{10}\right)\right] + (0{,}125 + 0{,}875) + \frac{4}{5}$$

Bước 2: Tính từng nhóm:

$$= \frac{-10}{10} + 1 + \frac{4}{5} = -1 + 1 + \frac{4}{5}$$

Bước 3:

$$= 0 + \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$$

Bài mẫu 2. Tính hợp lí: $\dfrac{7}{6} \cdot 3\dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{6} \cdot (-0{,}25)$

Giải.

Bước 1: Nhận thấy hai tích có thừa số chung $\dfrac{7}{6}$, áp dụng tính chất phân phối:

$$= \frac{7}{6} \cdot \left[3\frac{1}{4} + (-0{,}25)\right]$$

Bước 2: Tính trong ngoặc:

$$3\frac{1}{4} + (-0{,}25) = \frac{13}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{12}{4} = 3$$

Bước 3:

$$= \frac{7}{6} \cdot 3 = \frac{7}{2}$$

Bài mẫu 3. Tính hợp lí:

$$0{,}65 \cdot 78 + 2\frac{1}{5} \cdot 2020 + 0{,}35 \cdot 78 – 2{,}2 \cdot 2020$$

Giải.

Bước 1: Nhóm các tích có thừa số chung:

$$= (0{,}65 \cdot 78 + 0{,}35 \cdot 78) + (2\frac{1}{5} \cdot 2020 – 2{,}2 \cdot 2020)$$

Bước 2: Đặt thừa số chung:

$$= 78 \cdot (0{,}65 + 0{,}35) + 2020 \cdot \left(2\frac{1}{5} – 2{,}2\right)$$

Bước 3: Tính:

• $0{,}65 + 0{,}35 = 1$
• $2\dfrac{1}{5} = 2{,}2$, nên $2{,}2 – 2{,}2 = 0$

$$= 78 \cdot 1 + 2020 \cdot 0 = 78 + 0 = 78$$

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức phức hợp

Phương pháp:

1. Thực hiện theo thứ tự phép tính: ngoặc tròn → ngoặc vuông → nhân, chia → cộng, trừ.
2. Áp dụng quy tắc dấu ngoặc khi cần.
3. Kết hợp tính chất các phép toán để tính hợp lí (nếu có thể).

Bài mẫu 1. Tính: $\left(8 + 2\dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{5}\right) – (5 + 0{,}4) – \left(3\dfrac{1}{3} – 2\right)$

Giải.

Bước 1: Bỏ các dấu ngoặc:

$$= 8 + 2\frac{1}{3} – \frac{3}{5} – 5 – 0{,}4 – 3\frac{1}{3} + 2$$

Bước 2: Nhóm hợp lí:

$$= (8 – 5 + 2) + \left(2\frac{1}{3} – 3\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{3}{5} – 0{,}4\right)$$

Bước 3: Tính từng nhóm:

• $8 – 5 + 2 = 5$
• $2\dfrac{1}{3} – 3\dfrac{1}{3} = -1$
• $-\dfrac{3}{5} – 0{,}4 = -0{,}6 – 0{,}4 = -1$

Bước 4: Tổng hợp:

$$= 5 + (-1) + (-1) = 3$$

Bài mẫu 2. Tính: $\left(7 – \dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{4}\right) : \left(5 – \dfrac{1}{4} – \dfrac{5}{8}\right)$

Giải.

Bước 1: Tính tử (biểu thức bên trái dấu chia):

$$7 – \frac{1}{2} – \frac{3}{4} = \frac{28}{4} – \frac{2}{4} – \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$$

Bước 2: Tính mẫu (biểu thức bên phải dấu chia):

$$5 – \frac{1}{4} – \frac{5}{8} = \frac{40}{8} – \frac{2}{8} – \frac{5}{8} = \frac{33}{8}$$

Bước 3: Thực hiện phép chia:

$$\frac{23}{4} : \frac{33}{8} = \frac{23}{4} \cdot \frac{8}{33} = \frac{23 \cdot 8}{4 \cdot 33} = \frac{184}{132} = \frac{46}{33}$$

Dạng 6: Bài toán thực tế

Phương pháp:

1. Đọc kỹ đề, xác định các đại lượng và phép tính cần thực hiện.
2. Lập phép tính dựa trên dữ kiện (thường là nhân, chia, cộng, trừ số hữu tỉ).
3. Tính toán và trả lời đúng đơn vị.

Bài mẫu 1. Trong 100 gam khoai tây khô có 11 gam nước; 6,6 gam protein; 0,3 gam chất béo; 75,1 gam glucid và các chất khác. Tính khối lượng các chất khác.

Giải.

Tổng khối lượng các chất đã biết:

$$11 + 6{,}6 + 0{,}3 + 75{,}1 = 93 \text{ (gam)}$$

Khối lượng các chất khác:

$$100 – 93 = 7 \text{ (gam)}$$

Vậy trong 100 gam khoai tây khô có 7 gam các chất khác.

Bài mẫu 2. Ngăn sách của một giá sách dài 120 cm. Người ta xếp các cuốn sách dày khoảng 2,4 cm vào ngăn. Hỏi ngăn sách có thể chứa nhiều nhất bao nhiêu cuốn?

Giải.

Số cuốn sách tối đa:

$$120 : 2{,}4 = 50 \text{ (cuốn)}$$

Vậy ngăn sách có thể chứa nhiều nhất 50 cuốn sách.

Bài mẫu 3. Một khinh khí cầu bay lên từ mặt đất theo chiều thẳng đứng với vận tốc $0{,}8$ m/s trong 50 giây. Sau đó nó giảm dần độ cao với vận tốc $\dfrac{5}{9}$ m/s. Hỏi sau 27 giây kể từ khi hạ độ cao, khinh khí cầu cách mặt đất bao nhiêu mét?

Giải.

Bước 1: Trong 50 giây đầu, khinh khí cầu bay lên:

$$0{,}8 \times 50 = 40 \text{ (m)}$$

Bước 2: Sau 27 giây hạ độ cao, khinh khí cầu giảm:

$$\frac{5}{9} \times 27 = 15 \text{ (m)}$$

Bước 3: Khinh khí cầu cách mặt đất:

$$40 – 15 = 25 \text{ (m)}$$

Vậy sau 27 giây kể từ khi hạ độ cao, khinh khí cầu cách mặt đất 25 m.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Tìm cặp “đẹp” trước khi tính: Trong tổng nhiều số hạng, hãy nhìn xem có cặp nào có tổng bằng $0$ (hai số đối nhau) hoặc bằng $1$, bằng số nguyên. Tính các cặp đó trước sẽ nhanh hơn nhiều.
• Thừa số chung → phân phối: Khi thấy hai tích có chung một thừa số, hãy đặt thừa số chung ra ngoài. Ví dụ: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
• Thập phân hay phân số? Nếu tất cả các số đều ở dạng thập phân → tính trực tiếp cho nhanh. Nếu có cả phân số lẫn thập phân → đổi hết về phân số rồi tính.
• Quy tắc dấu khi nhân/chia: Cùng dấu → dương, khác dấu → âm. Xác định dấu kết quả trước, sau đó tính giá trị tuyệt đối.

Tổng kết

1. Cộng, trừ số hữu tỉ: Viết dưới dạng phân số cùng mẫu dương rồi cộng/trừ tử số. Nếu cả hai ở dạng thập phân → tính trực tiếp.
2. Nhân, chia số hữu tỉ: Viết dưới dạng phân số rồi nhân tử với tử, mẫu với mẫu (nhân) hoặc nhân với nghịch đảo (chia). Nếu cả hai ở dạng thập phân → tính trực tiếp.
3. Quy tắc dấu ngoặc: Bỏ ngoặc có dấu “$+$” → giữ dấu; bỏ ngoặc có dấu “$-$” → đổi dấu.
4. Tính hợp lí: Tận dụng tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối để nhóm các số hạng hoặc đặt thừa số chung, giúp tính toán nhanh và chính xác hơn.
5. Quy tắc dấu khi nhân/chia: Cùng dấu → kết quả dương; khác dấu → kết quả âm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du