Đơn thức một biến

Trước khi tìm hiểu đa thức, ta bắt đầu với thành phần đơn giản nhất cấu tạo nên đa thức — đó là đơn thức.

Định nghĩa đơn thức

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến. Trong đó:

• Số thực được gọi là hệ số.
• Số mũ của luỹ thừa của biến được gọi là bậc của đơn thức.

Chẳng hạn, biểu thức $5x^4$ là một đơn thức có hệ số bằng $5$ và bậc bằng $4$.

Một vài trường hợp đặc biệt:

• Đơn thức $-0{,}7x$ có hệ số là $-0{,}7$ và bậc là $1$ (vì $x = x^1$).
• Một số khác $0$ là đơn thức bậc $0$. Chẳng hạn, số $3$ là đơn thức bậc $0$ vì $3 = 3x^0$.
• Số $0$ cũng được coi là đơn thức, nhưng đơn thức này không có bậc.

Ví dụ: Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:

a) $3x^5$: hệ số là $3$, bậc là $5$.

b) $-x^3$: hệ số là $-1$, bậc là $3$.

c) $-6$: hệ số là $-6$, bậc là $0$.

d) $2^3x = 8x$: hệ số là $8$, bậc là $1$.

Phép tính với đơn thức

Cộng (trừ) hai đơn thức cùng bậc: Cộng (trừ) các hệ số, giữ nguyên luỹ thừa của biến.

$$-4x^3 + x^3 = (-4 + 1)x^3 = -3x^3$$

$$5{,}2x^2 – 1{,}7x^2 = (5{,}2 – 1{,}7)x^2 = 3{,}5x^2$$

Nhân hai đơn thức: Nhân hai hệ số với nhau, nhân hai luỹ thừa của biến với nhau.

$$(0{,}4x)(5x^3) = (0{,}4 \cdot 5)(x \cdot x^3) = 2x^4$$

$$(-3x^2)\left(\dfrac{1}{3}x^4\right) = \left[(-3) \cdot \dfrac{1}{3}\right](x^2 \cdot x^4) = -x^6$$

Lưu ý: Khi nhân đơn thức bậc $m$ với đơn thức bậc $n$, ta được đơn thức bậc $m + n$.

Khái niệm đa thức một biến

Các biểu thức như $A = 5x^3 – 2x^2 – 3x^3 + 4$ và $B = 3x^4 – x^2 + 2x + 6$ có chung một đặc điểm: chúng đều là tổng của những đơn thức với cùng một biến $x$. Đó là những ví dụ về đa thức một biến.

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Số $0$ cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Ta thường ký hiệu đa thức bằng chữ cái in hoa, đôi khi viết thêm ký hiệu biến trong ngoặc đơn. Chẳng hạn: $P = P(x) = 3x^4 – x^2 + 2x + 6$.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng là một đa thức. Mỗi số thực cũng là một đa thức (đa thức bậc $0$ nếu khác $0$).

Ví dụ: Đa thức $3x^3 – 4x^2 + 1$ có ba hạng tử là $3x^3$, $-4x^2$ và $1$.

Đa thức thu gọn

Xét hai đa thức:

• $A = 5x^3 – 2x^2 – 3x^3 + 4$ → có hai đơn thức cùng bậc 3: $5x^3$ và $-3x^3$.
• $B = 3x^4 – x^2 + 2x + 6$ → không có hai đơn thức nào cùng bậc.

Đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc được gọi là đa thức thu gọn.

Nếu đa thức chưa thu gọn, ta cần cộng các đơn thức cùng bậc lại với nhau để đưa về dạng thu gọn.

Ví dụ: Thu gọn đa thức $A = 5x^3 – 2x^2 – 3x^3 + 4$.

$$A = 5x^3 – 3x^3 – 2x^2 + 4 \quad \text{(đổi chỗ hai đơn thức)}$$

$$= (5 – 3)x^3 – 2x^2 + 4 \quad \text{(cộng hai đơn thức bậc 3)}$$

$$= 2x^3 – 2x^2 + 4$$

Sắp xếp đa thức một biến

Để thuận lợi cho tính toán, người ta thường viết đa thức dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử theo luỹ thừa giảm của biến.

Ví dụ: Sắp xếp $P = 4x^2 – 3x + 2 – 5x^3$ theo luỹ thừa giảm:

$$P = -5x^3 + 4x^2 – 3x + 2$$

Nếu đa thức khuyết một bậc nào đó, khi cần ta có thể viết thêm hạng tử với hệ số $0$. Chẳng hạn, đa thức $P$ ở trên khuyết đơn thức bậc 4, ta có thể viết: $P = 0x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2$.

Chú ý: Ta cũng có thể sắp xếp theo luỹ thừa tăng của biến: $P = 2 – 3x + 4x^2 – 5x^3$.

Bậc và các hệ số của đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:

• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc $0$ (hạng tử không chứa biến).

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.
• Muốn tìm bậc của đa thức chưa thu gọn, phải thu gọn trước.
• Một số khác $0$ là đa thức bậc $0$.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $P = -2x^3 – 3x^2 + 2x^3 + 5x + 8$.

Giải:

Thu gọn: $P = (-2x^3 + 2x^3) – 3x^2 + 5x + 8 = -3x^2 + 5x + 8$.

Hạng tử có bậc cao nhất là $-3x^2$, nên:

• Bậc của $P$ là $2$.
• Hệ số cao nhất là $-3$.
• Hạng tử bậc $0$ là $8$, nên hệ số tự do là $8$.

Nghiệm của đa thức một biến

Giá trị của đa thức

Giá trị của đa thức $F(x)$ tại $x = a$ được ký hiệu là $F(a)$, tính bằng cách thay $x = a$ vào đa thức rồi thực hiện phép tính.

Chẳng hạn, với $G(x) = x^2 – 9$, ta có: $G(4) = 4^2 – 9 = 16 – 9 = 7$.

Định nghĩa nghiệm

Nếu tại $x = a$, đa thức $F(x)$ có giá trị bằng $0$, tức $F(a) = 0$, thì ta gọi $a$ (hoặc $x = a$) là một nghiệm của đa thức $F(x)$.

Ví dụ:

a) $x = 0$ và $x = -4$ là hai nghiệm của đa thức $A(x) = 3x^2 + 12x$ vì:

$$A(0) = 3 \cdot 0^2 + 12 \cdot 0 = 0$$

$$A(-4) = 3 \cdot (-4)^2 + 12 \cdot (-4) = 48 – 48 = 0$$

b) Đa thức $B(x) = x^2 + 4$ không có nghiệm vì với mọi $x$, ta luôn có $x^2 \geq 0$ nên $B(x) = x^2 + 4 \geq 4 > 0$.

Nhận xét: Nếu đa thức có hệ số tự do bằng $0$ thì $x = 0$ là một nghiệm của đa thức đó. Chẳng hạn $A(x) = 3x^2 + 12x$ có hệ số tự do bằng $0$ nên $x = 0$ là nghiệm.

Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Thu gọn, sắp xếp đa thức và xác định bậc, hệ số

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhóm các đơn thức cùng bậc lại, cộng (trừ) hệ số để thu gọn.

Bước 2: Sắp xếp các hạng tử theo luỹ thừa giảm (hoặc tăng) của biến.

Bước 3: Xác định bậc (bậc cao nhất), hệ số cao nhất (hệ số của hạng tử bậc cao nhất), hệ số tự do (hạng tử không chứa biến).

Bài mẫu 1: Cho đa thức $P(x) = 7 + 4x^2 + 3x^3 – 6x + 4x^3 – 5x^2$.

a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do.

Lời giải:

a) Thu gọn:

$$P(x) = (3x^3 + 4x^3) + (4x^2 – 5x^2) – 6x + 7$$

$$P(x) = 7x^3 – x^2 – 6x + 7$$

b) Hạng tử bậc cao nhất là $7x^3$, nên:

• Bậc của $P(x)$ là $3$.
• Hệ số cao nhất là $7$.
• Hệ số tự do là $7$.

Bài mẫu 2: Cho hai đa thức:

$$A(x) = x^3 + \dfrac{3}{2}x – 7x^4 + \dfrac{1}{2}x – 4x^2 + 9$$

$$B(x) = x^5 – 3x^2 + 8x^4 – 5x^2 – x^5 + x – 7$$

Thu gọn, sắp xếp theo luỹ thừa giảm rồi tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do.

Lời giải:

Thu gọn $A(x)$:

$$A(x) = -7x^4 + x^3 – 4x^2 + \left(\dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}x\right) + 9$$

$$A(x) = -7x^4 + x^3 – 4x^2 + 2x + 9$$

Bậc: $4$. Hệ số cao nhất: $-7$. Hệ số tự do: $9$.

Thu gọn $B(x)$:

$$B(x) = (x^5 – x^5) + 8x^4 + (-3x^2 – 5x^2) + x – 7$$

$$B(x) = 8x^4 – 8x^2 + x – 7$$

Bậc: $4$. Hệ số cao nhất: $8$. Hệ số tự do: $-7$.

Dạng 2: Tính giá trị của đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn và sắp xếp đa thức (nếu chưa thu gọn).

Bước 2: Thay giá trị của biến vào đa thức.

Bước 3: Thực hiện phép tính theo thứ tự: luỹ thừa → nhân/chia → cộng/trừ.

Bài mẫu 1: Tính giá trị đa thức $M(t) = -5t^3 + 6t^2 + 2t + 1$ khi $t = -2$.

Lời giải:

Thay $t = -2$:

$$M(-2) = -5 \cdot (-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1$$

$$= -5 \cdot (-8) + 6 \cdot 4 + (-4) + 1$$

$$= 40 + 24 – 4 + 1 = 61$$

Vậy $M(-2) = 61$.

Bài mẫu 2: Cho hai đa thức:

$$P(x) = 5x^3 + 2x^4 – x^2 + 3x^2 – x^3 – 2x^4 – 4x^3$$

$$Q(x) = 3x – 4x^3 + 8x^2 – 5x + 4x^3 + 5$$

a) Thu gọn và sắp xếp. b) Tính $P(1)$, $P(0)$, $Q(-1)$, $Q(0)$.

Lời giải:

a) Thu gọn $P(x)$:

$$P(x) = (2x^4 – 2x^4) + (5x^3 – x^3 – 4x^3) + (-x^2 + 3x^2)$$

$$P(x) = 0 + 0 + 2x^2 = 2x^2$$

Thu gọn $Q(x)$:

$$Q(x) = (-4x^3 + 4x^3) + 8x^2 + (3x – 5x) + 5$$

$$Q(x) = 8x^2 – 2x + 5$$

b) Tính giá trị:

$P(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$

$P(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$

$Q(-1) = 8 \cdot (-1)^2 – 2 \cdot (-1) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15$

$Q(0) = 8 \cdot 0^2 – 2 \cdot 0 + 5 = 5$

Dạng 3: Tìm nghiệm của đa thức

Phương pháp giải:

Cách 1 – Thay thử: Thay lần lượt các giá trị vào đa thức, nếu kết quả bằng $0$ thì đó là nghiệm.

Cách 2 – Giải trực tiếp: Cho $F(x) = 0$ rồi giải tìm $x$.

• Đa thức bậc nhất $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}$.
• Đa thức có hệ số tự do bằng $0$ → $x = 0$ luôn là nghiệm.
• Đa thức dạng $x^2 + c$ với $c > 0$ → không có nghiệm (vì $x^2 + c > 0$ với mọi $x$).

Bài mẫu 1: Kiểm tra xem $x = -\dfrac{1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x) = 4x + \dfrac{1}{2}$ không.

Lời giải:

Thay $x = -\dfrac{1}{8}$:

$$P!\left(-\dfrac{1}{8}\right) = 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{8}\right) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$$

Vì $P!\left(-\dfrac{1}{8}\right) = 0$ nên $x = -\dfrac{1}{8}$ là nghiệm của $P(x)$.

Bài mẫu 2: Trong ba số $1;, -1;, 2$, số nào là nghiệm của đa thức $Q(x) = x^2 + x – 2$?

Lời giải:

$Q(1) = 1^2 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0$ ✓

$Q(-1) = (-1)^2 + (-1) – 2 = 1 – 1 – 2 = -2 \neq 0$ ✗

$Q(2) = 2^2 + 2 – 2 = 4 + 2 – 2 = 4 \neq 0$ ✗

Vậy chỉ có $x = 1$ là nghiệm của $Q(x)$.

Bài mẫu 3: Cho $P(x) = x^2 – 3x + 2$. Tính $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$. Từ đó tìm nghiệm của $P(x)$.

Lời giải:

$P(1) = 1 – 3 + 2 = 0$ ✓

$P(2) = 4 – 6 + 2 = 0$ ✓

$P(3) = 9 – 9 + 2 = 2 \neq 0$ ✗

Vậy $x = 1$ và $x = 2$ là hai nghiệm của $P(x)$.

Dạng 4: Bài toán thực tế và viết đa thức theo điều kiện

Phương pháp giải:

• Đọc kỹ đề, xác định biến và mối quan hệ.
• Viết đa thức biểu thị đại lượng cần tìm.
• Xác định bậc, hệ số hoặc tìm nghiệm theo yêu cầu.

Bài mẫu 1: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào bể. Máy thứ nhất mỗi giờ bơm 22 m³, máy thứ hai mỗi giờ bơm 16 m³. Sau khi cả hai máy chạy $x$ giờ, tắt máy thứ nhất, máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ thì bể đầy. Trước khi bơm, trong bể có 1,5 m³ nước.

Viết đa thức biểu thị dung tích bể. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do.

Lời giải:

Lượng nước hai máy bơm trong $x$ giờ: $(22 + 16)x = 38x$ (m³).

Lượng nước máy hai bơm thêm 0,5 giờ: $16 \cdot 0{,}5 = 8$ (m³).

Nước có sẵn: $1{,}5$ m³.

Dung tích bể: $V(x) = 38x + 8 + 1{,}5 = 38x + 9{,}5$ (m³).

Hệ số cao nhất: $38$. Hệ số tự do: $9{,}5$.

Bài mẫu 2: Viết đa thức $F(x)$ thoả mãn đồng thời: bậc bằng $3$; hệ số của $x^2$ bằng hệ số của $x$ và bằng $2$; hệ số cao nhất bằng $-6$; hệ số tự do bằng $3$.

Lời giải:

Đa thức bậc 3 có dạng: $F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Theo đề bài:

• Hệ số cao nhất (hệ số của $x^3$): $a = -6$.
• Hệ số của $x^2$: $b = 2$.
• Hệ số của $x$: $c = 2$.
• Hệ số tự do: $d = 3$.

Vậy: $F(x) = -6x^3 + 2x^2 + 2x + 3$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Thu gọn nhanh: Gạch chân hoặc khoanh tròn các đơn thức cùng bậc trước khi cộng. Tránh cộng nhầm đơn thức khác bậc.

Mẹo 2 – Nhận biết nhanh “không có nghiệm”: Nếu đa thức có dạng $x^{2k} + c$ với $c > 0$ (luỹ thừa chẵn cộng số dương), thì đa thức luôn dương → không có nghiệm.

Mẹo 3 – Tìm nghiệm đa thức bậc nhất: Với $ax + b$, nghiệm luôn là $x = -\dfrac{b}{a}$. Không cần thử, chỉ cần áp dụng công thức.

Mẹo 4 – Kiểm tra nhanh: Nếu hệ số tự do bằng $0$ → thử $x = 0$ trước. Nếu tổng tất cả hệ số bằng $0$ → thử $x = 1$.

Tổng kết

Đơn thức một biến có dạng: $ax^n$ ($a$ là hệ số, $n$ là bậc).

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức cùng biến. Các khái niệm quan trọng:

• Thu gọn: Cộng các đơn thức cùng bậc.
• Sắp xếp: Theo luỹ thừa giảm (hoặc tăng) của biến.
• Bậc: Bậc của hạng tử có bậc cao nhất (sau khi thu gọn).
• Hệ số cao nhất: Hệ số của hạng tử bậc cao nhất.
• Hệ số tự do: Hệ số của hạng tử bậc $0$.

Nghiệm của đa thức $F(x)$: là giá trị $x = a$ sao cho $F(a) = 0$.

• Đa thức bậc nhất $ax + b$ luôn có đúng một nghiệm: $x = -\dfrac{b}{a}$.
• Đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du