Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Ở bài trước, ta đã biết khi đại lượng này tăng thì đại lượng kia cũng tăng theo cùng tỉ lệ — đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Tuy nhiên trong thực tế, có rất nhiều trường hợp đại lượng này tăng thì đại lượng kia lại giảm. Chẳng hạn: càng nhiều công nhân cùng làm thì thời gian hoàn thành công việc càng ngắn.

Một đội thợ có 8 người sơn xong một ngôi nhà hết 6 ngày. Nếu muốn sơn xong nhanh hơn, cần tăng số thợ. Ngược lại, ít thợ hơn thì thời gian kéo dài hơn. Mối quan hệ này được gọi là tỉ lệ nghịch.

Định nghĩa

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức:

$$y = \dfrac{a}{x} \quad (a \text{ là hằng số khác } 0)$$

thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.

Công thức trên tương đương với: $x \cdot y = a$.

Chú ý: Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo cùng hệ số tỉ lệ $a$. Khi đó ta nói $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

$$y = \dfrac{a}{x} ;\Longrightarrow; x = \dfrac{a}{y}$$

So sánh với tỉ lệ thuận:

• Tỉ lệ thuận: $y = ax$ → tỉ số $\dfrac{y}{x}$ không đổi.
• Tỉ lệ nghịch: $xy = a$ → tích $x \cdot y$ không đổi.

Ví dụ: Biết rằng $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và $x = 4$ khi $y = -15$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$. Từ đó viết công thức tính $y$ theo $x$.

b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 6$.

c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 12$.

Giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $a = x \cdot y = 4 \cdot (-15) = -60$.

Do đó: $y = \dfrac{-60}{x}$.

b) Khi $x = 6$: $y = \dfrac{-60}{6} = -10$.

c) Khi $y = 12$: $x = \dfrac{-60}{12} = -5$.

Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ thì:

Tính chất 1: Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

$$x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = \ldots = a$$

Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$$\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}, \qquad \dfrac{x_2}{x_3} = \dfrac{y_3}{y_2}, \qquad \ldots$$

Ví dụ: Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ $a = 36$.

a) Điền các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Kiểm tra tính chất $x_1 y_1 = x_2 y_2$.

Giải:

a) Vì $x \cdot y = 36$ nên:

• Khi $x = 2$: $y = \dfrac{36}{2} = 18$
• Khi $x = 3$: $y = \dfrac{36}{3} = 12$
• Khi $x = 6$: $y = \dfrac{36}{6} = 6$
• Khi $x = 9$: $y = \dfrac{36}{9} = 4$

b) Ta có: $2 \times 18 = 3 \times 12 = 6 \times 6 = 9 \times 4 = 36 = a$. ✓

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hệ số tỉ lệ, lập công thức và tính giá trị

Phương pháp giải:

• Từ một cặp giá trị tương ứng $(x_0,, y_0)$, tìm hệ số tỉ lệ: $a = x_0 \cdot y_0$.
• Viết công thức: $y = \dfrac{a}{x}$.
• Thay giá trị đã biết để tìm giá trị còn lại.

Bài mẫu 1: Cho hai đại lượng $a$ và $b$ tỉ lệ nghịch với nhau và khi $a = 3$ thì $b = -10$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Biểu diễn $a$ theo $b$.

c) Tính giá trị của $a$ khi $b = 2$ và khi $b = 14$.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $k = a \cdot b = 3 \cdot (-10) = -30$.

b) Từ $a \cdot b = -30$, suy ra: $a = \dfrac{-30}{b}$.

c) Khi $b = 2$: $a = \dfrac{-30}{2} = -15$.

Khi $b = 14$: $a = \dfrac{-30}{14} = -\dfrac{15}{7}$.

Bài mẫu 2: Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Biết khi $x = -8$ thì $y = -5$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 5$; khi $x = 4$.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $a = x \cdot y = (-8) \cdot (-5) = 40$.

b) Khi $x = 5$: $y = \dfrac{40}{5} = 8$.

Khi $x = 4$: $y = \dfrac{40}{4} = 10$.

Dạng 2: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp giải:

Hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau khi và chỉ khi tích $x \cdot y$ luôn bằng một hằng số khác $0$ trong mọi trường hợp.

• Nếu đề cho bảng giá trị: kiểm tra $x_1 y_1 = x_2 y_2 = \ldots$
• Nếu đề cho tình huống thực tế: xác định xem tích hai đại lượng có không đổi không.

Bài mẫu 1: Cho biết $a$ (m) là chu vi của một bánh xe, $b$ là số vòng quay của bánh xe đó trên đoạn đường 200 m. Hỏi $a$ và $b$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Lời giải:

Quãng đường đi được bằng chu vi nhân số vòng quay:

$$a \cdot b = 200 \text{ (m)} = \text{hằng số}$$

Vì tích $a \cdot b$ không đổi nên $a$ và $b$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ bằng 200.

Bài mẫu 2: Lan muốn cắt một hình chữ nhật có diện tích $24\text{ cm}^2$. Gọi $n$ (cm) và $d$ (cm) là độ dài hai cạnh. Chứng tỏ $n$ và $d$ tỉ lệ nghịch với nhau.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai cạnh:

$$n \cdot d = 24 = \text{hằng số}$$

Vì tích $n \cdot d$ không đổi nên $n$ và $d$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ bằng 24.

Suy ra: $n = \dfrac{24}{d}$.

Dạng 3: Bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch (thường là: số người – thời gian, số máy – thời gian, vận tốc – thời gian…).

Bước 2: Tìm hệ số tỉ lệ $a = x_1 \cdot y_1$ từ dữ kiện đã cho.

Bước 3: Dùng công thức $x_2 \cdot y_2 = a$ để tìm giá trị cần tìm.

Bài mẫu 1: Có 20 công nhân với năng suất làm việc như nhau đóng xong một chiếc tàu trong 60 ngày. Hỏi nếu chỉ còn 12 công nhân thì đóng xong chiếc tàu đó trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Gọi $x$ (ngày) là thời gian 12 công nhân cần để đóng xong tàu, $x > 0$.

Số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (cùng khối lượng công việc, cùng năng suất), nên:

$$20 \cdot 60 = 12 \cdot x$$

$$1200 = 12x$$

$$x = \dfrac{1200}{12} = 100 \text{ (ngày)}$$

Vậy 12 công nhân đóng xong chiếc tàu trong 100 ngày.

Bài mẫu 2: Có 30 công nhân xây một ngôi nhà trong 4 tháng. Hỏi nếu chỉ còn 15 công nhân thì phải xây ngôi nhà đó trong bao nhiêu tháng? (Biết năng suất các công nhân như nhau.)

Lời giải:

Số công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Hệ số tỉ lệ: $a = 30 \times 4 = 120$.

Với 15 công nhân, thời gian cần là:

$$x = \dfrac{120}{15} = 8 \text{ (tháng)}$$

Vậy 15 công nhân xây xong ngôi nhà trong 8 tháng.

Bài mẫu 3: Bạn Giang đi xe đạp với vận tốc 3 km/h đến trường mất 10 phút. Hỏi nếu đi xe điện với vận tốc 5 km/h thì mất bao nhiêu phút?

Lời giải:

Vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (cùng quãng đường).

Đổi 10 phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ.

Hệ số tỉ lệ: $a = 3 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Gọi $t$ (giờ) là thời gian đi xe điện:

$$5 \cdot t = \dfrac{1}{2}$$

$$t = \dfrac{1}{10} \text{ (giờ)} = 6 \text{ (phút)}$$

Vậy đi xe điện mất 6 phút.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Nhận biết nhanh tỉ lệ nghịch: Nếu bài toán có các cụm từ “cùng khối lượng công việc”, “cùng quãng đường”, “cùng diện tích”… và hỏi về mối quan hệ giữa hai đại lượng còn lại → gần như chắc chắn là tỉ lệ nghịch.

Mẹo 2 – Công thức “chéo”: Với tỉ lệ nghịch, nếu biết $x_1,, y_1$ và $x_2$, thì:

$$y_2 = \dfrac{x_1 \cdot y_1}{x_2}$$

Chỉ cần nhân hai số đã biết rồi chia cho số còn lại.

Mẹo 3 – Phân biệt nhanh thuận/nghịch: Tự hỏi “nhiều hơn thì nhanh hơn hay chậm hơn?”. Nhiều công nhân hơn → xong nhanh hơn (thời gian giảm) → nghịch. Nhiều gạo hơn → gói nhiều bánh hơn (số bánh tăng) → thuận.

Tổng kết

Đại lượng tỉ lệ nghịch: $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ khi $y = \dfrac{a}{x}$, hay $x \cdot y = a$ ($a \neq 0$).

Tính chất quan trọng:

$$x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = \ldots = a$$

$$\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$$

Các bước giải bài toán:

1. Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch (tích không đổi).
2. Tìm hệ số tỉ lệ $a = x \cdot y$ từ dữ kiện ban đầu.
3. Dùng $a$ để tìm giá trị chưa biết: $y = \dfrac{a}{x}$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du