Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Trong thực tế, ta thường gặp các đại lượng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau: khi một đại lượng thay đổi thì đại lượng kia cũng thay đổi theo. Chẳng hạn, một ô tô chạy với vận tốc không đổi, thời gian chạy càng lâu thì quãng đường đi được càng dài — thời gian tăng bao nhiêu lần thì quãng đường cũng tăng bấy nhiêu lần.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức:

$$y = ax \quad (a \neq 0, ; a \text{ là hằng số})$$

thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.

Chú ý quan trọng: Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì ngược lại, $x$ cũng tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{1}{a}$:

$$y = ax ;\Rightarrow; x = \dfrac{1}{a}.y$$

Khi đó ta nói $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ: Biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi $x = 3$ thì $y = -9$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = ax$. Viết công thức tính $y$ theo $x$.

b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 4$.

c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 1{,}5$.

Giải:

a) Ta có $a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-9}{3} = -3$. Do đó $y = -3x$.

b) Khi $x = 4$ thì $y = -3 \cdot 4 = -12$.

c) Từ $y = -3x$ suy ra $x = -\dfrac{1}{3}.y$. Do đó khi $y = 1{,}5$ thì $x = -\dfrac{1}{3} \cdot 1{,}5 = -0{,}5$.

Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, với $x_1,, x_2,, x_3, \ldots$ là các giá trị của $x$ và $y_1,, y_2,, y_3, \ldots$ là các giá trị tương ứng của $y$, thì:

Tính chất 1: Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ:

$$\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = \ldots = a$$

Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$$\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}, \qquad \dfrac{y_1}{y_3} = \dfrac{x_1}{x_3}, \qquad \dfrac{y_2}{y_3} = \dfrac{x_2}{x_3}, \quad \ldots$$

Ví dụ: Cho $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 4$.

a) Hoàn thành bảng sau:

b) Tính $\dfrac{y_1}{x_1};; \dfrac{y_2}{x_2};; \dfrac{y_3}{x_3}$ và so sánh với hệ số tỉ lệ $a$.

Giải:

a) Theo đề bài, $y = 4x$. Do đó:

b) Ta có: $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{4}{1} = 4;\quad \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{12}{3} = 4;\quad \dfrac{y_3}{x_3} = \dfrac{20}{5} = 4$.

Vậy $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = 4 = a$.

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Để giải bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ thuận trong bài toán. Từ đó lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ 1: Một nhà máy sản xuất có hai phân xưởng, phân xưởng A có 20 công nhân, phân xưởng B có 35 công nhân. Mỗi ngày phân xưởng B sản xuất nhiều hơn phân xưởng A là 30 sản phẩm. Hỏi mỗi ngày mỗi phân xưởng sản xuất được bao nhiêu sản phẩm (biết năng suất mỗi công nhân là như nhau)?

Giải:

Gọi số sản phẩm phân xưởng A và B sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,, y$ (sản phẩm).

Ta có: $y – x = 30$.

Vì năng suất mỗi công nhân là như nhau nên số sản phẩm tỉ lệ thuận với số công nhân:

$$\dfrac{x}{20} = \dfrac{y}{35}$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{20} = \dfrac{y}{35} = \dfrac{y – x}{35 – 20} = \dfrac{30}{15} = 2$$

Suy ra: $x = 2 \cdot 20 = 40$ và $y = 2 \cdot 35 = 70$.

Vậy mỗi ngày phân xưởng A sản xuất 40 sản phẩm, phân xưởng B sản xuất 70 sản phẩm.

Ví dụ 2: Trong một đợt quyên góp sách vở cho học sinh vùng khó khăn, có 480 quyển vở được chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với sĩ số mỗi lớp. Biết sĩ số ba lớp lần lượt là 32, 36 và 28 học sinh. Hỏi mỗi lớp được nhận bao nhiêu quyển vở?

Giải:

Gọi $x,, y,, z$ (quyển) lần lượt là số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được.

Ta có: $x + y + z = 480$ và $\dfrac{x}{32} = \dfrac{y}{36} = \dfrac{z}{28}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{32} = \dfrac{y}{36} = \dfrac{z}{28} = \dfrac{x + y + z}{32 + 36 + 28} = \dfrac{480}{96} = 5$$

Suy ra:

$$x = 5 \cdot 32 = 160 \qquad y = 5 \cdot 36 = 180 \qquad z = 5 \cdot 28 = 140$$

Vậy ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 160, 180 và 140 quyển vở.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hệ số tỉ lệ và biểu diễn đại lượng này theo đại lượng kia

Phương pháp giải:

• Hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$: $k = \dfrac{y}{x}$, khi đó $y = kx$.
• Hệ số tỉ lệ của $x$ đối với $y$: $k’ = \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{k}$, khi đó $x = k’y$.
• Để tìm giá trị tương ứng, thay vào công thức đã lập.

Bài mẫu 1: Cho hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau. Biết rằng khi $x = 7$ thì $y = 21$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ và biểu diễn $y$ theo $x$.

b) Tìm hệ số tỉ lệ của $x$ đối với $y$ và biểu diễn $x$ theo $y$.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ là:

$$k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{21}{7} = 3$$

Vậy $y = 3x$.

b) Hệ số tỉ lệ của $x$ đối với $y$ là:

$$k’ = \dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$$

Vậy $x = \dfrac{1}{3}.y$.

Bài mẫu 2: Cho hai đại lượng $a$ và $b$ tỉ lệ thuận với nhau. Biết rằng khi $a = 5$ thì $b = -10$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của $b$ đối với $a$ và biểu diễn $b$ theo $a$.

b) Tìm hệ số tỉ lệ của $a$ đối với $b$ và biểu diễn $a$ theo $b$.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ của $b$ đối với $a$:

$$k = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-10}{5} = -2$$

Vậy $b = -2a$.

b) Hệ số tỉ lệ của $a$ đối với $b$:

$$k’ = \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{-10} = -\dfrac{1}{2}$$

Vậy $a = -\dfrac{1}{2},b$.

Dạng 2: Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận và hoàn thành bảng giá trị

Phương pháp giải:

• Từ một cặp giá trị tương ứng đã biết, tìm hệ số tỉ lệ $k = \dfrac{y}{x}$.
• Nếu tỉ số $\dfrac{y}{x}$ luôn không đổi với mọi cặp giá trị → hai đại lượng tỉ lệ thuận.
• Nếu tỉ số $\dfrac{y}{x}$ thay đổi ở một cặp giá trị nào đó → hai đại lượng không tỉ lệ thuận.
• Để điền bảng, dùng công thức $y = kx$ hoặc $x = \dfrac{y}{k}$.

Bài mẫu 1: Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Thay mỗi dấu “?” bằng số thích hợp.

Viết công thức mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$.

Lời giải:

Từ cặp giá trị $x = 2,; y = -6$, ta tìm hệ số tỉ lệ:

$$k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-6}{2} = -3$$

Vậy công thức: $y = -3x$.

Từ đó ta điền bảng:

• $x = 4 \Rightarrow y = -3 \cdot 4 = -12$
• $x = 5 \Rightarrow y = -3 \cdot 5 = -15$
• $y = 9 \Rightarrow x = \dfrac{9}{-3} = -3$
• $y = 18 \Rightarrow x = \dfrac{18}{-3} = -6$
• $y = 1{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{1{,}5}{-3} = -0{,}5$

Bài mẫu 2: Theo bảng giá trị sau, hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận không?

a)

b)

Lời giải:

a) Tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ cho từng cặp:

$$\dfrac{15}{5} = 3;\quad \dfrac{27}{9} = 3;\quad \dfrac{45}{15} = 3;\quad \dfrac{72}{24} = 3$$

Tỉ số luôn bằng $3$ → $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ $k = 3$.

b) Tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ cho từng cặp:

$$\dfrac{8}{4} = 2;\quad \dfrac{16}{8} = 2;\quad \dfrac{30}{16} = 1{,}875;\quad \dfrac{50}{25} = 2$$

Tỉ số không luôn bằng nhau (cặp $x = 16,, y = 30$ cho tỉ số $1{,}875 \neq 2$) → $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận.

Dạng 3: Tính chất bắc cầu của đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp giải:

Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $a$ (tức $y = ax$) và $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số $b$ (tức $x = bz$), thì:

$$y = a \cdot (bz) = ab \cdot z$$

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số $ab$.

Bài mẫu: Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ có tỉ lệ thuận với $z$ không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: $y = ax$ và $x = bz$.

Thay $x = bz$ vào $y = ax$:

$$y = a \cdot (bz) = (ab) \cdot z$$

Vì $a \neq 0$ và $b \neq 0$ nên $ab \neq 0$. Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $ab$.

Dạng 4: Bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng tỉ lệ thuận trong bài toán.

Bước 2: Lập tỉ số bằng nhau (hoặc dãy tỉ số bằng nhau nếu có từ 3 đại lượng trở lên).

Bước 3: Kết hợp với điều kiện đề bài (tổng, hiệu…), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Bài mẫu 1: Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích tương ứng là $10\text{ cm}^3$ và $15\text{ cm}^3$. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng một thanh nặng hơn thanh kia $40\text{ g}$? (Khối lượng của vật đồng chất tỉ lệ thuận với thể tích.)

Lời giải:

Gọi khối lượng hai thanh kim loại lần lượt là $m_1,, m_2$ (g), với $m_1,, m_2 > 0$.

Vì khối lượng tỉ lệ thuận với thể tích nên:

$$\dfrac{m_1}{10} = \dfrac{m_2}{15}$$

Vì $10 < 15$ nên $m_1 < m_2$, tức thanh thứ hai nặng hơn:

$$m_2 – m_1 = 40$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{m_1}{10} = \dfrac{m_2}{15} = \dfrac{m_2 – m_1}{15 – 10} = \dfrac{40}{5} = 8$$

Suy ra:

$$m_1 = 8 \cdot 10 = 80\text{ (g)} \qquad m_2 = 8 \cdot 15 = 120\text{ (g)}$$

Vậy thanh thứ nhất nặng $80\text{ g}$, thanh thứ hai nặng $120\text{ g}$.

Bài mẫu 2: Để chuẩn bị cho học sinh làm thí nghiệm, cô Hương chia $1{,}5$ lít hoá chất thành ba phần tỉ lệ thuận với $4;, 5;, 6$ và đựng trong ba chiếc lọ. Hỏi mỗi chiếc lọ đựng bao nhiêu lít hoá chất?

Lời giải:

Gọi lượng hoá chất trong ba lọ lần lượt là $a,, b,, c$ (lít), với $a,, b,, c > 0$.

Ta có: $a + b + c = 1{,}5$ và $\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{6}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{6} = \dfrac{a + b + c}{4 + 5 + 6} = \dfrac{1{,}5}{15} = 0{,}1$$

Suy ra:

$$a = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4\text{ (lít)} \qquad b = 0{,}1 \cdot 5 = 0{,}5\text{ (lít)} \qquad c = 0{,}1 \cdot 6 = 0{,}6\text{ (lít)}$$

Vậy ba chiếc lọ đựng lần lượt $0{,}4$ lít, $0{,}5$ lít và $0{,}6$ lít hoá chất.

Bài mẫu 3: Hai bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tương ứng bằng nhau, nhưng chiều cao bể thứ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ chiều cao bể thứ hai. Để bơm đầy nước vào bể thứ nhất mất $4{,}5$ giờ. Hỏi phải mất bao nhiêu thời gian để bơm đầy bể thứ hai (dùng máy bơm có cùng công suất)?

Lời giải:

Gọi chiều cao bể thứ nhất và thứ hai lần lượt là $h_1$ và $h_2$.

Theo đề bài: $h_1 = \dfrac{3}{4},h_2$.

Vì chiều dài và chiều rộng bằng nhau, nên thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao:

$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{3}{4}$$

Vì máy bơm cùng công suất, thời gian bơm tỉ lệ thuận với thể tích:

$$\dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{3}{4}$$

Thay $t_1 = 4{,}5$ giờ:

$$\dfrac{4{,}5}{t_2} = \dfrac{3}{4} ;\Rightarrow; t_2 = \dfrac{4{,}5 \times 4}{3} = 6\text{ (giờ)}$$

Vậy cần $6$ giờ để bơm đầy bể thứ hai.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Xác định nhanh hệ số tỉ lệ: Hệ số tỉ lệ của “$y$ đối với $x$” luôn là $\dfrac{y}{x}$. Nhớ quy tắc: đại lượng đứng trước “đối với” nằm ở tử số.

Mẹo 2 – Bài toán chia tỉ lệ: Giá trị chung của dãy tỉ số bằng nhau chính là $\dfrac{\text{tổng (hoặc hiệu)}}{\text{tổng (hoặc hiệu) các hệ số tỉ lệ}}$. Tìm được giá trị chung rồi nhân với từng hệ số là ra ngay đáp án.

Mẹo 3 – Nhận biết nhanh tỉ lệ thuận qua bảng: Chia $y$ cho $x$ ở từng cặp. Nếu tất cả kết quả giống nhau → tỉ lệ thuận. Nếu có một kết quả khác → không tỉ lệ thuận. Bắt đầu kiểm tra từ cặp dễ tính nhất.

Tổng kết

Đại lượng tỉ lệ thuận:

$$y = ax \quad (a \neq 0)$$

trong đó $a$ là hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$.

Các tính chất cần nhớ:

• $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = \ldots = a$ (tỉ số tương ứng luôn không đổi).
• $\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}$ (tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia).
• Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $a$, thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số $\dfrac{1}{a}$.

Phương pháp giải bài toán: Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận → lập dãy tỉ số bằng nhau → kết hợp điều kiện đề bài → áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du