Cộng hai đa thức một biến

Ở bài trước, ta đã biết cách thu gọn và sắp xếp đa thức. Bây giờ, ta sẽ học cách thực hiện phép cộng và phép trừ hai đa thức — hai phép tính cơ bản và quan trọng nhất khi làm việc với đa thức.

Tổng của hai đa thức

Cho hai đa thức:

$$P = 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x \quad \text{và} \quad Q = -x^3 + 2x^2 – 4x + 3$$

Ta có thể tính tổng $P + Q$ theo hai cách:

Cách 1 – Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc:

$$P + Q = (2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x) + (-x^3 + 2x^2 – 4x + 3)$$

$$= 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x – x^3 + 2x^2 – 4x + 3 \quad \text{(bỏ dấu ngoặc)}$$

$$= 2x^4 + (x^3 – x^3) + (-3x^2 + 2x^2) + (5x – 4x) + 3 \quad \text{(nhóm cùng bậc)}$$

$$= 2x^4 – x^2 + x + 3$$

Cách 2 – Đặt tính cộng theo cột:

Viết hai đa thức sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột, rồi cộng theo từng cột:

$$\begin{array}{r} 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x \\ + \qquad\quad -x^3 + 2x^2 – 4x + 3 \\ \hline 2x^4 \qquad\;\; – x^2 + x + 3 \end{array}$$

Lưu ý: Nếu đa thức khuyết hạng tử bậc nào đó, hãy để khoảng trống tương ứng khi đặt tính cộng theo cột.

Tính chất của phép cộng đa thức

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất tương tự phép cộng số thực:

• Giao hoán: $A + B = B + A$
• Kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$
• Cộng với đa thức không: $A + 0 = 0 + A = A$

Ví dụ: Tính tổng hai đa thức $M = x^3 – 4x + 5$ và $N = 2x^3 – x^2 + 3x – 7$.

$$M + N = (x^3 – 4x + 5) + (2x^3 – x^2 + 3x – 7)$$

$$= (x^3 + 2x^3) – x^2 + (-4x + 3x) + (5 – 7)$$

$$= 3x^3 – x^2 – x – 2$$

Trừ hai đa thức một biến

Hiệu của hai đa thức

Phép trừ hai đa thức cũng thực hiện tương tự phép cộng, nhưng cần chú ý đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ khi bỏ ngoặc.

Cho hai đa thức:

$$P = 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x \quad \text{và} \quad Q = -x^3 + 2x^2 – 4x + 3$$

Cách 1 – Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu đa thức bị trừ) rồi nhóm:

$$P – Q = (2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x) – (-x^3 + 2x^2 – 4x + 3)$$

$$= 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x + x^3 – 2x^2 + 4x – 3 \quad \text{(đổi dấu và bỏ ngoặc)}$$

$$= 2x^4 + (x^3 + x^3) + (-3x^2 – 2x^2) + (5x + 4x) – 3$$

$$= 2x^4 + 2x^3 – 5x^2 + 9x – 3$$

Cách 2 – Đặt tính trừ theo cột:

$$\begin{array}{r} 2x^4 + x^3 – 3x^2 + 5x \\ – \qquad\quad -x^3 + 2x^2 – 4x + 3 \\ \hline 2x^4 + 2x^3 – 5x^2 + 9x – 3 \end{array}$$

Chú ý: Tương tự như số, nếu $Q + R = P$ thì $R = P – Q$. Ngược lại, nếu $R = P – Q$ thì $Q + R = P$. Tính chất này dùng để tìm đa thức chưa biết trong phép cộng hoặc phép trừ.

Ví dụ: Tính hiệu $M – N$ với $M = x^3 – 4x + 5$ và $N = 2x^3 – x^2 + 3x – 7$.

$$M – N = (x^3 – 4x + 5) – (2x^3 – x^2 + 3x – 7)$$

$$= x^3 – 4x + 5 – 2x^3 + x^2 – 3x + 7$$

$$= (x^3 – 2x^3) + x^2 + (-4x – 3x) + (5 + 7)$$

$$= -x^3 + x^2 – 7x + 12$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính tổng và hiệu hai đa thức

Phương pháp giải:

Cách 1 (theo hàng ngang): Viết phép tính → bỏ dấu ngoặc (chú ý đổi dấu nếu là phép trừ) → nhóm các hạng tử cùng bậc → cộng/trừ hệ số.

Cách 2 (đặt tính theo cột): Viết hai đa thức theo cột, hạng tử cùng bậc thẳng hàng → cộng/trừ từng cột.

Bài mẫu 1: Tìm tổng hai đa thức $x^2 – 3x + 2$ và $4x^3 – x^2 + x – 1$ bằng cách nhóm hạng tử cùng bậc.

Lời giải:

$$(x^2 – 3x + 2) + (4x^3 – x^2 + x – 1)$$

$$= 4x^3 + (x^2 – x^2) + (-3x + x) + (2 – 1)$$

$$= 4x^3 – 2x + 1$$

Bài mẫu 2: Tìm hiệu $(-x^3 – 5x + 2) – (3x + 8)$ theo cách đặt tính trừ.

Lời giải:

$$\begin{array}{r} -x^3 \quad\;\; – 5x + 2 \\ – \qquad\qquad\;\;\; 3x + 8 \\ \hline -x^3 \quad\;\; – 8x – 6 \end{array}$$

Vậy $(-x^3 – 5x + 2) – (3x + 8) = -x^3 – 8x – 6$.

Bài mẫu 3: Cho $A = 6x^4 – 4x^3 + x – \dfrac{1}{3}$ và $B = -3x^4 – 2x^3 – 5x^2 + x + \dfrac{2}{3}$.

Tính $A + B$ và $A – B$.

Lời giải:

Tính $A + B$:

$$A + B = (6x^4 – 4x^3 + x – \tfrac{1}{3}) + (-3x^4 – 2x^3 – 5x^2 + x + \tfrac{2}{3})$$

$$= (6x^4 – 3x^4) + (-4x^3 – 2x^3) – 5x^2 + (x + x) + (-\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3})$$

$$= 3x^4 – 6x^3 – 5x^2 + 2x + \dfrac{1}{3}$$

Tính $A – B$:

$$A – B = (6x^4 – 4x^3 + x – \tfrac{1}{3}) – (-3x^4 – 2x^3 – 5x^2 + x + \tfrac{2}{3})$$

$$= 6x^4 – 4x^3 + x – \tfrac{1}{3} + 3x^4 + 2x^3 + 5x^2 – x – \tfrac{2}{3}$$

$$= (6x^4 + 3x^4) + (-4x^3 + 2x^3) + 5x^2 + (x – x) + (-\tfrac{1}{3} – \tfrac{2}{3})$$

$$= 9x^4 – 2x^3 + 5x^2 – 1$$

Dạng 2: Tính tổng, hiệu ba đa thức trở lên

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất kết hợp, ta bỏ tất cả dấu ngoặc (chú ý đổi dấu khi trừ), nhóm hạng tử cùng bậc rồi thu gọn. Hoặc đặt tính cộng/trừ theo cột cho cả ba đa thức cùng lúc.

Bài mẫu: Cho ba đa thức:

$$A = 3x^4 – 2x^3 – x + 1, \quad B = -2x^3 + 4x^2 + 5x, \quad C = -3x^4 + 2x^2 + 5$$

Tính $A + B + C$ và $A – B – C$.

Lời giải:

Tính $A + B + C$:

$$= 3x^4 – 2x^3 – x + 1 – 2x^3 + 4x^2 + 5x – 3x^4 + 2x^2 + 5$$

$$= (3x^4 – 3x^4) + (-2x^3 – 2x^3) + (4x^2 + 2x^2) + (-x + 5x) + (1 + 5)$$

$$= -4x^3 + 6x^2 + 4x + 6$$

Tính $A – B – C$:

$$= 3x^4 – 2x^3 – x + 1 – (-2x^3 + 4x^2 + 5x) – (-3x^4 + 2x^2 + 5)$$

$$= 3x^4 – 2x^3 – x + 1 + 2x^3 – 4x^2 – 5x + 3x^4 – 2x^2 – 5$$

$$= (3x^4 + 3x^4) + (-2x^3 + 2x^3) + (-4x^2 – 2x^2) + (-x – 5x) + (1 – 5)$$

$$= 6x^4 – 6x^2 – 6x – 4$$

Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất:

• Nếu $A + B = C$ thì $B = C – A$.
• Nếu $A – B = C$ thì $B = A – C$.
• Nếu $B – A = C$ thì $B = A + C$.

Sau đó thực hiện phép trừ (hoặc cộng) đa thức để tìm đa thức chưa biết.

Bài mẫu 1: Cho $M(x) = 7x^3 – 2x^2 + 8x + 4$. Tìm $N(x)$ sao cho $M(x) + N(x) = 3x^2 – 2x$.

Lời giải:

$$N(x) = (3x^2 – 2x) – M(x)$$

$$= (3x^2 – 2x) – (7x^3 – 2x^2 + 8x + 4)$$

$$= 3x^2 – 2x – 7x^3 + 2x^2 – 8x – 4$$

$$= -7x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (-2x – 8x) – 4$$

$$= -7x^3 + 5x^2 – 10x – 4$$

Bài mẫu 2: Cho $A(y) = -5y^4 – 4y^2 + 2y + 7$. Tìm $B(y)$ sao cho $B(y) – A(y) = 2y^3 – 9y^2 + 4y$.

Lời giải:

$$B(y) = A(y) + (2y^3 – 9y^2 + 4y)$$

$$= (-5y^4 – 4y^2 + 2y + 7) + (2y^3 – 9y^2 + 4y)$$

$$= -5y^4 + 2y^3 + (-4y^2 – 9y^2) + (2y + 4y) + 7$$

$$= -5y^4 + 2y^3 – 13y^2 + 6y + 7$$

Dạng 4: Bài toán thực tế — viết đa thức biểu thị diện tích, chu vi

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết biểu thức đại số cho từng phần (diện tích, chu vi từng hình).

Bước 2: Cộng hoặc trừ các biểu thức theo yêu cầu đề bài.

Bước 3: Thu gọn kết quả.

Bài mẫu 1: Bạn Nam mua $x$ cuốn sách khoa học (21 500 đ/cuốn), $x + 8$ cuốn sách tham khảo (12 500 đ/cuốn) và $x + 5$ cuốn truyện tranh (15 000 đ/cuốn).

a) Viết đa thức biểu thị số tiền trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền.

Lời giải:

a) Tiền sách khoa học: $21\,500x$ (đồng).

Tiền sách tham khảo: $12\,500(x + 8) = 12\,500x + 100\,000$ (đồng).

Tiền truyện tranh: $15\,000(x + 5) = 15\,000x + 75\,000$ (đồng).

b) Tổng số tiền:

$$21\,500x + 12\,500x + 100\,000 + 15\,000x + 75\,000$$

$$= (21\,500 + 12\,500 + 15\,000)x + (100\,000 + 75\,000)$$

$$= 49\,000x + 175\,000 \text{ (đồng)}$$

Bài mẫu 2: Cho hình vuông cạnh $2x$ cm, bên trong có hình chữ nhật cạnh $x$ cm và $3$ cm. Tìm đa thức biểu thị diện tích phần bên ngoài hình chữ nhật.

Lời giải:

Diện tích hình vuông: $(2x)^2 = 4x^2$ (cm²).

Diện tích hình chữ nhật: $x \cdot 3 = 3x$ (cm²).

Diện tích phần cần tìm:

$$4x^2 – 3x \text{ (cm²)}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Kiểm tra nhanh bằng thay số: Sau khi tính $P + Q$ hoặc $P – Q$, thử thay $x = 1$ vào cả ba đa thức ($P$, $Q$ và kết quả) để kiểm tra. Nếu đúng thì kết quả rất có khả năng chính xác.

Mẹo 2 – Ưu tiên cách phù hợp: Đa thức ngắn (2–3 hạng tử) → dùng cách 1 (hàng ngang). Đa thức dài hoặc nhiều bậc → dùng cách 2 (đặt tính cột) để tránh nhầm.

Mẹo 3 – Đổi dấu an toàn: Khi trừ đa thức, hãy viết riêng đa thức đối trước (đổi dấu tất cả hạng tử), rồi mới cộng. Cách này giảm sai sót đáng kể.

Tổng kết

Cộng hai đa thức: Bỏ dấu ngoặc → nhóm hạng tử cùng bậc → cộng hệ số.

Trừ hai đa thức: Đổi dấu tất cả hạng tử của đa thức bị trừ → nhóm hạng tử cùng bậc → cộng hệ số.

Hai cách trình bày: Theo hàng ngang (bỏ ngoặc, nhóm) hoặc đặt tính theo cột (thẳng hàng cùng bậc).

Tính chất phép cộng: Giao hoán, kết hợp, cộng với đa thức không.

Tìm đa thức chưa biết: Dùng mối liên hệ $A + B = C \Leftrightarrow B = C – A$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du