Số vô tỉ

Ở các bài trước, ta đã biết mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Tuy nhiên, có những số không thể viết dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ (với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$), và khi biểu diễn dưới dạng thập phân, chúng là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Những số đó gọi là số vô tỉ.

Chẳng hạn, nếu một hình vuông có diện tích bằng $2 \text{ dm}^2$, gọi độ dài cạnh là $x$ (dm), thì $x^2 = 2$. Đã được chứng minh rằng không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng $2$. Giá trị của $x$ là:

$$x = 1{,}41421356237309504880\ldots$$

Đây không phải số thập phân hữu hạn, cũng không phải vô hạn tuần hoàn. Đây là một số vô tỉ.

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là $\mathbb{I}$.

Ví dụ 1. Tỉ số giữa chu vi và đường kính của bất kì đường tròn nào luôn bằng $3{,}14159265358\ldots$ Đây là một số vô tỉ, kí hiệu là $\pi$ (đọc là “pi”).

Ví dụ 2. Số $0{,}20200200020000\ldots$ (sau dấu phẩy viết liên tiếp các số $20$; $200$; $2000$; …) là số vô tỉ, vì phần thập phân không lặp lại theo chu kì cố định.

Chú ý. Ta cũng làm tròn số thập phân vô hạn không tuần hoàn theo cách làm tròn thông thường. Chẳng hạn: $0{,}1010010001\ldots \approx 0{,}101$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Căn bậc hai số học

Bài toán tìm độ dài cạnh $x$ của hình vuông có diện tích $a$ chính là tìm số $x > 0$ sao cho $x^2 = a$. Số $x$ đó gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm, kí hiệu $\sqrt{a}$, là số $x$ không âm sao cho $x^2 = a$.

Một số tính chất:

• $\sqrt{0} = 0$
• Với $a > 0$: $\sqrt{a} > 0$
• $\sqrt{a^2} = |a| = a$ nếu $a \geq 0$
• Không tồn tại căn bậc hai số học của số âm

Ví dụ 3. Tính: a) $\sqrt{64}$; $\quad$ b) $\sqrt{225}$; $\quad$ c) $\sqrt{15{,}5^2}$

Giải.

a) Vì $8^2 = 64$ và $8 > 0$ nên $\sqrt{64} = 8$.

b) Vì $15^2 = 225$ và $15 > 0$ nên $\sqrt{225} = 15$.

c) Vì $15{,}5 > 0$ nên $\sqrt{15{,}5^2} = 15{,}5$.

Ví dụ 4. Tính: a) $\sqrt{16}$; $\quad$ b) $\sqrt{81}$; $\quad$ c) $\sqrt{2021^2}$

Giải.

a) $\sqrt{16} = 4$ (vì $4^2 = 16$).

b) $\sqrt{81} = 9$ (vì $9^2 = 81$).

c) $\sqrt{2021^2} = 2021$ (vì $2021 > 0$).

Nhận xét: Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương (như $2, 3, 5, 7, \ldots$) luôn là một số vô tỉ.

Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Với các số không phải số chính phương, ta dùng máy tính cầm tay để tính căn bậc hai số học. Ấn phím $\sqrt{\phantom{x}}$ rồi nhập số, nhấn $=$.

Cần lưu ý: màn hình máy tính chỉ hiển thị hữu hạn chữ số, nên kết quả là số vô tỉ sẽ được làm tròn tự động.

Ví dụ 5. Dùng máy tính cầm tay, tính $\sqrt{75}$ rồi làm tròn:

a) Đến chữ số thập phân thứ tư; $\quad$ b) Với độ chính xác $0{,}05$.

Giải.

Ấn phím: $\sqrt{\phantom{x}}$ $7$ $5$ $=$ → kết quả: $8{,}660254038$.

a) Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư: $\sqrt{75} \approx 8{,}6603$.

b) Độ chính xác $0{,}05$ → làm tròn đến hàng phần mười: $\sqrt{75} \approx 8{,}7$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính căn bậc hai số học

Phương pháp:

1. Nếu số dưới dấu căn là số chính phương ($0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$): tìm số không âm mà bình phương bằng nó.
2. Nếu dưới dấu căn có dạng $a^2$ → $\sqrt{a^2} = |a|$ (bằng $a$ nếu $a \geq 0$).
3. Nếu dưới dấu căn là phân số: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
4. Nếu dưới dấu căn là số thập phân: đổi về phân số hoặc nhận dạng số chính phương.

Bài mẫu 1. Tính: a) $\sqrt{36}$; $\quad$ b) $-\sqrt{144}$; $\quad$ c) $\sqrt{0{,}09}$

Giải.

a) $\sqrt{36} = 6$ (vì $6^2 = 36$).

b) $-\sqrt{144} = -12$ (vì $\sqrt{144} = 12$).

c) $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ (vì $0{,}3^2 = 0{,}09$).

Bài mẫu 2. Tính: a) $\sqrt{(-7)^2}$; $\quad$ b) $-\sqrt{(-9)^2}$

Giải.

a) $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$.

b) $-\sqrt{(-9)^2} = -|-9| = -9$.

Bài mẫu 3. Tính: a) $\sqrt{\dfrac{25}{49}}$; $\quad$ b) $\sqrt{\dfrac{64}{81}}$

Giải.

a) $\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \dfrac{5}{7}$.

b) $\sqrt{\dfrac{64}{81}} = \dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{81}} = \dfrac{8}{9}$.

Dạng 2: Tìm $x$ trong biểu thức có căn bậc hai

Phương pháp:

1. Cô lập $\sqrt{x}$ (hoặc biểu thức chứa $\sqrt{x}$) về một vế bằng cách chuyển vế.
2. Nếu $\sqrt{x} = a$ (với $a \geq 0$) → bình phương hai vế: $x = a^2$.
3. Kiểm tra điều kiện: biểu thức dưới dấu căn phải $\geq 0$.

Bài mẫu 1. Tìm $x$, biết: $3 – 2\sqrt{x} = -1$

Giải.

Bước 1: Chuyển vế:

$$-2\sqrt{x} = -1 – 3 = -4$$

$$\sqrt{x} = 2$$

Bước 2: Bình phương hai vế:

$$x = 2^2 = 4$$

Bước 3: Thử lại: $3 – 2\sqrt{4} = 3 – 4 = -1$ ✓

Vậy $x = 4$.

Bài mẫu 2. Tìm $x$, biết: $\sqrt{x + 5} = 9$

Giải.

Bình phương hai vế:

$$x + 5 = 81$$

$$x = 81 – 5 = 76$$

Thử lại: $\sqrt{76 + 5} = \sqrt{81} = 9$ ✓

Vậy $x = 76$.

Bài mẫu 3. Tìm $x$, biết: $\dfrac{2}{5} – \sqrt{x} = \dfrac{1}{4}$

Giải.

$$-\sqrt{x} = \frac{1}{4} – \frac{2}{5} = \frac{5}{20} – \frac{8}{20} = -\frac{3}{20}$$

$$\sqrt{x} = \frac{3}{20}$$

$$x = \left(\frac{3}{20}\right)^2 = \frac{9}{400}$$

Vậy $x = \dfrac{9}{400}$.

Dạng 3: Tính căn bậc hai số học bằng cách phân tích thừa số nguyên tố

Phương pháp:

1. Phân tích số dưới dấu căn ra tích các thừa số nguyên tố.
2. Ghép thành các cặp thừa số giống nhau (dạng bình phương).
3. Lấy căn bậc hai.

Bài mẫu 1. Cho biết $153^2 = 23\,409$. Tính $\sqrt{23\,409}$.

Giải.

Vì $153^2 = 23\,409$ và $153 > 0$ nên $\sqrt{23\,409} = 153$.

Bài mẫu 2. Tính $\sqrt{129\,600}$.

Giải.

Phân tích: $129\,600 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 = (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)^2 \cdot 2 \cdot …$

Tính lại cẩn thận:

$$129\,600 = 1296 \times 100 = 6^4 \times 10^2 = (6^2)^2 \times 10^2 = 36^2 \times 10^2 = (36 \times 10)^2 = 360^2$$

Vậy $\sqrt{129\,600} = 360$.

Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đến căn bậc hai

Phương pháp:

1. Xác định đại lượng cần tìm (thường là cạnh hình vuông, đường chéo, …).
2. Thiết lập phương trình dạng $x^2 = a$ hoặc dùng công thức diện tích, chu vi.
3. Tính $x = \sqrt{a}$, làm tròn nếu đề yêu cầu.

Bài mẫu 1. Sàn thi đấu cử tạ có dạng hình vuông, diện tích $144 \text{ m}^2$. Tính chu vi sàn.

Giải.

Cạnh hình vuông: $\sqrt{144} = 12$ (m).

Chu vi: $4 \times 12 = 48$ (m).

Vậy chu vi sàn thi đấu là 48 m.

Bài mẫu 2. Tính độ dài cạnh của hình vuông có diện tích: a) $81 \text{ dm}^2$; $\quad$ b) $3\,600 \text{ m}^2$; $\quad$ c) $1$ ha.

Giải.

a) Cạnh $= \sqrt{81} = 9$ (dm).

b) Cạnh $= \sqrt{3\,600} = 60$ (m).

c) $1$ ha $= 10\,000 \text{ m}^2$. Cạnh $= \sqrt{10\,000} = 100$ (m).

Bài mẫu 3. Một hình chữ nhật có chiều dài $8$ dm, chiều rộng $5$ dm. Tính độ dài đường chéo (làm tròn đến hàng phần mười).

Giải.

Bình phương đường chéo bằng tổng bình phương hai cạnh:

$$d^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$$

$$d = \sqrt{89} \approx 9{,}4 \text{ (dm)}$$

Vậy đường chéo dài khoảng 9,4 dm.

Bài mẫu 4. Để lát mảnh sân hình vuông diện tích $100 \text{ m}^2$, cần bao nhiêu viên gạch hình vuông cạnh $50$ cm?

Giải.

Cạnh sân: $\sqrt{100} = 10$ (m).

Diện tích $1$ viên gạch: $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ (m²).

Số viên gạch: $100 : 0{,}25 = 400$ (viên).

Vậy cần 400 viên gạch.

Dạng 5: Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả)

Phương pháp:

1. Dùng phím $\sqrt{\phantom{x}}$ trên máy tính cầm tay.
2. Đọc kết quả trên màn hình.
3. Làm tròn theo yêu cầu đề bài (đến chữ số thập phân thứ mấy, hoặc với độ chính xác cho trước).

Bài mẫu 1. Dùng máy tính tính các căn bậc hai số học sau, làm tròn với độ chính xác $0{,}005$:

a) $\sqrt{3}$; $\quad$ b) $\sqrt{41}$; $\quad$ c) $\sqrt{2\,021}$

Giải.

Độ chính xác $0{,}005$ → làm tròn đến hàng phần trăm.

a) $\sqrt{3} = 1{,}732050808\ldots \approx 1{,}73$.

b) $\sqrt{41} = 6{,}403124237\ldots \approx 6{,}40$.

c) $\sqrt{2\,021} = 44{,}95553698\ldots \approx 44{,}96$.

Bài mẫu 2. Tính $\sqrt{2{,}56}$ và $\sqrt{17\,256}$, làm tròn với độ chính xác $0{,}005$ nếu cần.

Giải.

$\sqrt{2{,}56} = 1{,}6$ (chính xác, vì $1{,}6^2 = 2{,}56$). Không cần làm tròn.

$\sqrt{17\,256} = 131{,}3620\ldots \approx 131{,}36$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Nhớ bình phương các số từ 1 đến 20: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400$. Điều này giúp tính căn bậc hai nhanh mà không cần máy tính.
• Phân tích thừa số nguyên tố: Khi gặp số lớn dưới dấu căn, hãy phân tích ra thừa số nguyên tố rồi ghép cặp. Ví dụ: $324 = 2^2 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3^2)^2 = 18^2$ → $\sqrt{324} = 18$.
• Căn của phân số: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Tính căn tử và căn mẫu riêng.
• Phân biệt $\sqrt{a^2}$ và $(\sqrt{a})^2$: $\sqrt{a^2} = |a|$ (luôn không âm); $(\sqrt{a})^2 = a$ (với $a \geq 0$). Hai biểu thức này cho cùng kết quả khi $a \geq 0$.

Tổng kết

1. Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp kí hiệu $\mathbb{I}$.
2. Căn bậc hai số học của $a \geq 0$, kí hiệu $\sqrt{a}$, là số $x \geq 0$ sao cho $x^2 = a$.
3. $\sqrt{a^2} = |a|$; $\quad \sqrt{0} = 0$; $\quad$ không tồn tại $\sqrt{a}$ khi $a < 0$.
4. Căn bậc hai số học của số tự nhiên không chính phương luôn là số vô tỉ.
5. Dùng máy tính cầm tay để tính căn bậc hai số học, kết quả thường cần làm tròn theo yêu cầu.
6. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — đây là lỗi rất phổ biến cần tránh.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du