Khái niệm số thực và trục số thực

Số thực là gì?

Qua các bài học trước, ta đã biết:

• Số hữu tỉ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
• Số vô tỉ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Gộp cả hai loại số này lại, ta có:

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp các số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$.

Như vậy, mọi số đã học (số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ) đều là số thực. Mối quan hệ giữa các tập hợp số:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R};\qquad \mathbb{I} \subset \mathbb{R}$$

Chú ý:

• Mỗi số thực $a$ đều có một số đối, kí hiệu $-a$.
• Trong tập số thực cũng có đầy đủ các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) với các tính chất giống như trong tập số hữu tỉ.

Ví dụ 1. Cách viết nào sau đây đúng: $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$; $\quad \pi \in \mathbb{I}$; $\quad 12 \in \mathbb{R}$?

Giải.

• $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$: Sai, vì $\sqrt{3}$ là số vô tỉ, không thuộc $\mathbb{Q}$.
• $\pi \in \mathbb{I}$: Đúng, vì $\pi = 3{,}14159265\ldots$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn → số vô tỉ.
• $12 \in \mathbb{R}$: Đúng, vì $12$ là số tự nhiên, thuộc $\mathbb{R}$.

Ví dụ 2. Tìm số đối của: $3{,}07(188)$ và $-\sqrt{7}$.

Giải.

• Số đối của $3{,}07(188)$ là $-3{,}07(188)$.
• Số đối của $-\sqrt{7}$ là $\sqrt{7}$.

Trục số thực

Ta đã biết mọi số hữu tỉ đều biểu diễn được trên trục số. Các số vô tỉ cũng biểu diễn được trên trục số.

Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vì vậy, các số thực lấp đầy trục số. Người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

Thứ tự trong tập hợp các số thực

Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân, nên ta so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số thập phân: so sánh từng chữ số từ trái sang phải.

Với hai số thực $a$ và $b$ bất kì, luôn xảy ra đúng một trong ba trường hợp:

$$a = b \qquad \text{hoặc} \qquad a < b \qquad \text{hoặc} \qquad a > b$$

Tính chất bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

Trên trục số: Nếu $a < b$ thì điểm $a$ nằm trước (bên trái) điểm $b$. Các điểm bên trái gốc $O$ biểu diễn số âm, các điểm bên phải gốc $O$ biểu diễn số dương.

Tính chất quan trọng: Nếu $0 < a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Tính chất này giúp so sánh căn bậc hai số học với nhau hoặc với một số hữu tỉ.

Ví dụ 3. So sánh $\sqrt{7}$ và $3$.

Giải. Vì $3^2 = 9$ và $(\sqrt{7})^2 = 7$. Ta có $7 < 9$ nên $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$.

Vậy $\sqrt{7} < 3$.

Ví dụ 4. So sánh $1{,}414233\ldots$ và $1{,}(42)$.

Giải.

• $1{,}414233\ldots$
• $1{,}(42) = 1{,}424242\ldots$

Phần nguyên bằng nhau ($1$). Chữ số phần mười bằng nhau ($4$). Chữ số phần trăm: $1 < 2$.

Vậy $1{,}414233\ldots < 1{,}(42)$.

Giá trị tuyệt đối của một số thực

Khái niệm

Giá trị tuyệt đối của số thực $a$, kí hiệu $|a|$, là khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc $O$ trên trục số.

Từ định nghĩa, ta có:

$$|a| = \begin{cases} a & \text{khi } a > 0 \\ 0 & \text{khi } a = 0 \\ -a & \text{khi } a < 0 \end{cases}$$

Nhận xét:

• Giá trị tuyệt đối của $0$ là $0$.
• Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó: $|5| = 5$; $\left|\dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{3}{4}$.
• Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó: $|-3| = 3$; $|-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
• Giá trị tuyệt đối luôn không âm: $|a| \geq 0$ với mọi $a$.
• Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau: $|a| = |-a|$.

Ví dụ 5. Tính: a) $|-4{,}7|$; $\quad$ b) $\left|\dfrac{3}{8}\right|$; $\quad$ c) $|0|$; $\quad$ d) $|-\sqrt{5}|$

Giải.

a) $|-4{,}7| = 4{,}7$ (vì $-4{,}7 < 0$).

b) $\left|\dfrac{3}{8}\right| = \dfrac{3}{8}$ (vì $\dfrac{3}{8} > 0$).

c) $|0| = 0$.

d) $|-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$ (vì $-\sqrt{5} < 0$).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số thực, phân loại số hữu tỉ và vô tỉ

Phương pháp:

• Số hữu tỉ: viết được dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$), bao gồm: số nguyên, phân số, số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn. Lưu ý: $\sqrt{n}$ với $n$ là số chính phương → hữu tỉ (ví dụ $\sqrt{81} = 9$).
• Số vô tỉ: số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Bao gồm: $\sqrt{n}$ với $n$ không chính phương, $\pi$, …
• Mọi số hữu tỉ và vô tỉ đều là số thực ($\in \mathbb{R}$).

Bài mẫu 1. Xét tập hợp $A = \left\{7{,}1;\; -2{,}(61);\; 0;\; 5{,}14;\; \dfrac{4}{7};\; \sqrt{15};\; -\sqrt{81}\right\}$. Viết tập hợp $B$. Viết tập hợp $B$ gồm các số hữu tỉ và tập hợp $C$ gồm các số vô tỉ thuộc $A$.

Giải.

• $-\sqrt{81} = -9$ (số nguyên → hữu tỉ).
• $\sqrt{15}$: $15$ không phải số chính phương → vô tỉ.

$$B = \left\{7{,}1;\; -2{,}(61);\; 0;\; 5{,}14;\; \frac{4}{7};\; -9\right\}$$

$$C = \left\{\sqrt{15}\right\}$$

Bài mẫu 2. Gọi $A’$ là tập hợp các số đối của các số thuộc tập $A$ ở bài trên. Liệt kê phần tử của $A’$.

Giải.

$$A’ = \left\{-7{,}1;\; 2{,}(61);\; 0;\; -5{,}14;\; -\frac{4}{7};\; -\sqrt{15};\; 9\right\}$$

Dạng 2: So sánh hai số thực

Phương pháp:

• So sánh hai số thập phân: viết khai triển rồi so sánh từng chữ số từ trái sang phải.
• So sánh căn bậc hai: dùng tính chất $0 < a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$. Muốn so sánh $\sqrt{a}$ với $b$ ($b > 0$), ta so sánh $a$ với $b^2$.
• So sánh số âm: nếu $a < b$ (cả hai dương) thì $-a > -b$.

Bài mẫu 1. So sánh $\sqrt{5}$ và $2$.

Giải.

$2^2 = 4$ và $(\sqrt{5})^2 = 5$. Vì $5 > 4$ nên $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$.

Vậy $\sqrt{5} > 2$.

Bài mẫu 2. So sánh $-5$ và $-\sqrt{24}$.

Giải.

$(-5)^2 = 25$ và $(\sqrt{24})^2 = 24$. Vì $25 > 24$ nên $5 > \sqrt{24}$.

Đổi dấu: $-5 < -\sqrt{24}$.

Bài mẫu 3. So sánh $1{,}313233\ldots$ và $1{,}(32)$.

Giải.

• $1{,}313233\ldots$
• $1{,}(32) = 1{,}323232\ldots$

Phần nguyên bằng nhau. Chữ số phần mười bằng nhau ($3$). Chữ số phần trăm: $1 < 2$.

Vậy $1{,}313233\ldots < 1{,}(32)$.

Dạng 3: Tính giá trị tuyệt đối và thực hiện phép tính

Phương pháp:

1. Xác định dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
2. Áp dụng: $|a| = a$ nếu $a \geq 0$; $|a| = -a$ nếu $a < 0$.
3. Thực hiện phép tính theo thứ tự.

Bài mẫu 1. Tính: a) $|-3{,}5|$; $\quad$ b) $\left|-\dfrac{4}{9}\right|$; $\quad$ c) $|0|$; $\quad$ d) $|2{,}0(3)|$

Giải.

a) $|-3{,}5| = 3{,}5$.

b) $\left|-\dfrac{4}{9}\right| = \dfrac{4}{9}$.

c) $|0| = 0$.

d) $|2{,}0(3)| = 2{,}0(3)$ (vì $2{,}0(3) > 0$).

Bài mẫu 2. Tính: $\sqrt{36} – 3\sqrt{\dfrac{1}{4}} + \left|-\dfrac{3}{2}\right|$

Giải.

$$= 6 – 3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$$

$$= 6 – \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 6$$

Bài mẫu 3. Tính: $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 – \left|-\dfrac{13}{15}\right| + \sqrt{\dfrac{25}{9}}$

Giải.

$$= \frac{4}{9} – \frac{13}{15} + \frac{5}{3}$$

Quy đồng mẫu (mẫu chung = $45$):

$$= \frac{20}{45} – \frac{39}{45} + \frac{75}{45} = \frac{20 – 39 + 75}{45} = \frac{56}{45}$$

Dạng 4: Tìm $x$ biết (phương trình chứa giá trị tuyệt đối)

Phương pháp:

$|A| = b$ (với $b \geq 0$) có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: $A = b$
• Trường hợp 2: $A = -b$

Nếu $b < 0$ thì phương trình vô nghiệm (vì $|A| \geq 0$ luôn).

Bài mẫu 1. Tìm $x$, biết: $|x| = 2{,}5$

Giải.

• TH1: $x = 2{,}5$.
• TH2: $x = -2{,}5$.

Vậy $x = 2{,}5$ hoặc $x = -2{,}5$.

Bài mẫu 2. Tìm $x$, biết: $\left|x + \dfrac{1}{3}\right| = 0$

Giải.

$|A| = 0 \Leftrightarrow A = 0$, nên:

$$x + \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$$

Bài mẫu 3. Tìm $x$, biết: $\left|x – \dfrac{2}{5}\right| = \dfrac{1}{4}$

Giải.

TH1: $x – \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{4}$ → $x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}$.

TH2: $x – \dfrac{2}{5} = -\dfrac{1}{4}$ → $x = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = -\dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{3}{20}$.

Vậy $x = \dfrac{13}{20}$ hoặc $x = \dfrac{3}{20}$.

Bài mẫu 4. Tìm $x$, biết: $\left|x + \dfrac{3}{4}\right| – \dfrac{1}{3} = 0$

Giải.

$$\left|x + \frac{3}{4}\right| = \frac{1}{3}$$

TH1: $x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}$ → $x = \dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{12} – \dfrac{9}{12} = -\dfrac{5}{12}$.

TH2: $x + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{3}$ → $x = -\dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{4} = -\dfrac{4}{12} – \dfrac{9}{12} = -\dfrac{13}{12}$.

Vậy $x = -\dfrac{5}{12}$ hoặc $x = -\dfrac{13}{12}$.

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp:

• Tính chất cốt lõi: $|A| \geq 0$ với mọi $A$, và $|A| = 0 \Leftrightarrow A = 0$.
• Tìm GTNN của $A = |f(x)| + c$: Vì $|f(x)| \geq 0$ nên $A \geq c$. Dấu bằng xảy ra khi $f(x) = 0$.
• Tìm GTLN của $A = c – |f(x)|$: Vì $|f(x)| \geq 0$ nên $-|f(x)| \leq 0$, suy ra $A \leq c$. Dấu bằng xảy ra khi $f(x) = 0$.

Bài mẫu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = \left|\dfrac{3}{5} – x\right| + \dfrac{1}{9}$.

Giải.

Vì $\left|\dfrac{3}{5} – x\right| \geq 0$ nên $A \geq 0 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{9}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{3}{5} – x = 0$, tức $x = \dfrac{3}{5}$.

Vậy $A_{\min} = \dfrac{1}{9}$ khi $x = \dfrac{3}{5}$.

Bài mẫu 2. Tìm giá trị lớn nhất của $A = 9 – \left|x – \dfrac{1}{10}\right|$.

Giải.

Vì $\left|x – \dfrac{1}{10}\right| \geq 0$ nên $-\left|x – \dfrac{1}{10}\right| \leq 0$, suy ra $A \leq 9$.

Dấu bằng xảy ra khi $x – \dfrac{1}{10} = 0$, tức $x = \dfrac{1}{10}$.

Vậy $A_{\max} = 9$ khi $x = \dfrac{1}{10}$.

Bài mẫu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $B = |4x – 3| + \left|5y + \dfrac{15}{2}\right| + 12$.

Giải.

Vì $|4x – 3| \geq 0$ và $\left|5y + \dfrac{15}{2}\right| \geq 0$ nên $B \geq 0 + 0 + 12 = 12$.

Dấu bằng xảy ra khi đồng thời:

$$4x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$$

$$5y + \frac{15}{2} = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$$

Vậy $B_{\min} = 12$ khi $x = \dfrac{3}{4}$ và $y = -\dfrac{3}{2}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• So sánh căn bậc hai – bình phương lên: Muốn so sánh $\sqrt{a}$ với $b$ (cả hai dương), ta so sánh $a$ với $b^2$. Nhanh hơn nhiều so với tính giá trị thập phân.
• Giá trị tuyệt đối – nhìn dấu trước: Chỉ cần xác định biểu thức bên trong dương hay âm. Dương → giữ nguyên. Âm → bỏ dấu trừ.
• Phương trình $|A| = b$: Luôn nhớ xét hai trường hợp ($A = b$ và $A = -b$). Nếu $b < 0$ → vô nghiệm. Nếu $b = 0$ → chỉ có một nghiệm.
• GTNN/GTLN: $|A| \geq 0$ → biểu thức dạng $|A| + c$ có GTNN là $c$; dạng $c – |A|$ có GTLN là $c$. Dấu bằng khi $A = 0$.
• Phân loại nhanh: Thấy $\sqrt{n}$ → kiểm tra $n$ có phải số chính phương không. Nếu có → hữu tỉ. Nếu không → vô tỉ.

Tổng kết

1. Số thực = số hữu tỉ + số vô tỉ. Tập hợp kí hiệu $\mathbb{R}$. Quan hệ: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ và $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$.
2. Mỗi số thực biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại. Trục số còn gọi là trục số thực.
3. So sánh: viết dạng thập phân rồi so sánh từng chữ số, hoặc dùng tính chất $0 < a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
4. Giá trị tuyệt đối: $|a|$ là khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc $O$. $|a| \geq 0$ luôn. $|a| = a$ nếu $a \geq 0$; $|a| = -a$ nếu $a < 0$.
5. Phương trình $|A| = b$ ($b \geq 0$): $A = b$ hoặc $A = -b$.
6. GTNN của $|f(x)| + c$ là $c$; GTLN của $c – |f(x)|$ là $c$. Dấu bằng khi $f(x) = 0$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du