Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Ở bài trước, ta đã biết cách vẽ một đường thẳng $b$ đi qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$ sao cho $b$ song song với $a$. Câu hỏi đặt ra là: liệu có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng $b$ như vậy?

Câu trả lời nằm trong một tính chất quan trọng được thừa nhận, mang tên Tiên đề Euclid:

Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Nói cách khác, nếu điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$ thì đường thẳng $b$ đi qua $M$ và song song với $a$ là duy nhất.

Hệ quả quan trọng từ tiên đề Euclid:

Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Giải thích vì sao một đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $a$ thì cũng cắt đường thẳng $b$.

Giải.

Giả sử đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $M$.

Theo tiên đề Euclid, qua điểm $M$ chỉ có một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng $b$, đó là đường thẳng $a$. Do đó đường thẳng $c$ (cũng đi qua $M$) không thể song song với $b$.

Vậy đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $b$.

Tính chất của hai đường thẳng song song

Từ tiên đề Euclid, ta suy ra được tính chất quan trọng sau:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

• Hai góc so le trong bằng nhau.
• Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ngoài ra, ta còn có:

• Hai góc so le ngoài bằng nhau.
• Hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $180°$.

Ví dụ 2. Cho Hình 3.35, biết $xy \parallel x’y’$ và $\widehat{BAy} = 50°$. Tính số đo các góc $\widehat{ABx’}$ và $\widehat{y’Bz’}$.

Giải.

Ta có $xy \parallel x’y’$, suy ra:

• $\widehat{ABx’} = \widehat{BAy} = 50°$ (hai góc so le trong).
• $\widehat{y’Bz’} = \widehat{BAy} = 50°$ (hai góc đồng vị).

Các nhận xét quan trọng:

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

(Chèn ảnh: Hình 3.38 từ SGK – ba đường thẳng a, b, c song song)

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo góc khi biết hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Khi $a \parallel b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$, áp dụng:

• Hai góc so le trong bằng nhau.
• Hai góc đồng vị bằng nhau.
• Hai góc trong cùng phía có tổng bằng $180°$.
• Kết hợp góc kề bù ($180°$) và đối đỉnh (bằng nhau).

Bài mẫu 1. Cho Hình 16, biết $a \parallel b$ và $\widehat{B_2} = 40°$.

a) Chỉ ra góc ở vị trí so le trong, đồng vị với $\widehat{B_2}$.

b) Tính $\widehat{A_4}$, $\widehat{A_2}$, $\widehat{B_3}$.

c) Tính $\widehat{B_1}$, $\widehat{A_1}$.

Giải.

a) Góc so le trong với $\widehat{B_2}$ là $\widehat{A_4}$. Góc đồng vị với $\widehat{B_2}$ là $\widehat{A_2}$.

b) Vì $a \parallel b$:

• $\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 40°$ (so le trong).
• $\widehat{A_2} = \widehat{B_2} = 40°$ (đồng vị).

Ta có $\widehat{B_2} + \widehat{B_3} = 180°$ (kề bù): $\widehat{B_3} = 180° – 40° = 140°$.

c) $\widehat{B_1} + \widehat{B_2} = 180°$ (kề bù): $\widehat{B_1} = 140°$.

Vì $a \parallel b$: $\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 140°$ (đồng vị).

Bài mẫu 2. Cho Hình 17, biết $a \parallel b$, $a \perp CD$ và $\widehat{A_1} = 70°$. Tính $\widehat{B_1}$ và $\widehat{D_1}$.

Giải.

Vì $a \parallel b$ và $a \perp CD$ nên $b \perp CD$. Do đó $\widehat{D_1} = 90°$.

Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{B_2}$ (so le trong), suy ra $\widehat{B_2} = 70°$.

Ta có $\widehat{B_1} + \widehat{B_2} = 180°$ (kề bù):

$$\widehat{B_1} = 180° – 70° = 110°$$

Vậy $\widehat{B_1} = 110°$; $\widehat{D_1} = 90°$.

Bài mẫu 3. Cho Hình 30, biết $m \parallel n$ và $\widehat{A_1} = 80°$. Tìm $\widehat{B_1}$, $\widehat{B_2}$, $\widehat{B_3}$, $\widehat{B_4}$.

Giải.

Vì $m \parallel n$:

• $\widehat{B_4} = \widehat{A_1} = 80°$ (so le trong).
• $\widehat{B_2} = \widehat{A_1} = 80°$ (đồng vị).
• $\widehat{B_1} + \widehat{A_1} = 180°$ (trong cùng phía) → $\widehat{B_1} = 100°$.
• $\widehat{B_3} = \widehat{B_1} = 100°$ (đối đỉnh).

Vậy $\widehat{B_1} = \widehat{B_3} = 100°$, $\widehat{B_2} = \widehat{B_4} = 80°$.

Dạng 2: Chứng minh song song rồi tính góc

Phương pháp:

1. Chứng minh hai đường thẳng song song (dùng dấu hiệu: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba).
2. Áp dụng tính chất song song để tính góc cần tìm.

Bài mẫu 1. Cho Hình 18, biết $\widehat{B_1} = 40°$, $\widehat{C_2} = 40°$.

a) $a$ có song song với $b$ không?

b) $b$ có song song với $c$ không?

c) $a$ có song song với $c$ không?

Giải.

a) Vì $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $AB$ nên $a \parallel b$.

b) Vì $\widehat{B_1} = \widehat{C_2} = 40°$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $b \parallel c$ (dấu hiệu nhận biết).

c) Vì $a \parallel b$ và $b \parallel c$ nên $a \parallel c$ (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

Bài mẫu 2. Quan sát Hình 45. Biết $\widehat{A_1} = 117°$, $\widehat{D_1} = 63°$, $\widehat{B_1} = 55°$.

a) Vì sao $a \parallel b$?

b) Tính $\widehat{BCD}$.

Giải.

a) Vì $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180°$ (kề bù) nên $\widehat{A_2} = 180° – 117° = 63°$.

Vì $\widehat{A_2} = \widehat{D_1} = 63°$ mà hai góc ở vị trí đồng vị.

$\Rightarrow a \parallel b$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{B_1} = \widehat{BCD}$ (so le trong). Mà $\widehat{B_1} = 55°$.

Vậy $\widehat{BCD} = 55°$.

Dạng 3: Vận dụng tiên đề Euclid

Phương pháp:

• Tiên đề Euclid khẳng định tính duy nhất của đường thẳng song song qua một điểm.
• Dùng để giải thích vì sao chỉ vẽ được đúng một đường thẳng song song, hoặc để suy ra đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng kia.

Bài mẫu 1. Cho tam giác $ABC$. Vẽ đường thẳng $a$ đi qua $A$ song song với $BC$, đường thẳng $b$ đi qua $B$ song song với $AC$. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng $a$, bao nhiêu đường thẳng $b$?

Giải.

Cách vẽ đường thẳng $a$: Vẽ đường thẳng $xy$ đi qua $A$ sao cho $\widehat{xAB} = \widehat{ABC}$. Vì hai góc này ở vị trí so le trong nên $xy \parallel BC$.

Cách vẽ đường thẳng $b$: Vẽ đường thẳng $zt$ đi qua $B$ sao cho $\widehat{tBC} = \widehat{BCA}$. Vì hai góc này ở vị trí so le trong nên $zt \parallel AC$.

Theo tiên đề Euclid, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Vậy ta chỉ vẽ được một đường thẳng $a$ và một đường thẳng $b$.

Dạng 4: Tính góc trong hình có nhiều đường thẳng song song

Phương pháp:

1. Xác định các cặp đường thẳng song song.
2. Áp dụng tính chất song song (so le trong, đồng vị, trong cùng phía) kết hợp kề bù, đối đỉnh.
3. Nếu cần, vẽ thêm tia phụ hoặc dùng tính chất bắc cầu ($a \parallel b$, $b \parallel c$ → $a \parallel c$).

Bài mẫu 1. Cho Hình 13, biết $m \perp CD$ và $n \perp CD$, $\widehat{CAB} = 120°$. Tính $x = \widehat{ABD}$.

Giải.

Vì $m \perp CD$ và $n \perp CD$ nên $m \parallel n$ (cùng vuông góc với $CD$).

Đặt $\widehat{B_1}$ là góc đồng vị với $\widehat{CAB}$. Vì $m \parallel n$:

$$\widehat{B_1} = \widehat{CAB} = 120° \text{ (đồng vị)}$$

Lại có $\widehat{ABD}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{ABD} = 180° – 120° = 60°$$

Vậy $x = 60°$.

Bài mẫu 2. Tìm số đo góc $\widehat{BCD}$ trong Hình 33, biết $\widehat{BAD} = 110°$, $\widehat{ABC} = 70°$, $\widehat{ADC} = 90°$.

Giải.

Vẽ tia $Ax$ là tia đối của tia $AD$. Khi đó $\widehat{xAB}$ và $\widehat{BAD}$ kề bù:

$$\widehat{xAB} = 180° – \widehat{BAD} = 180° – 110° = 70°$$

Do đó $\widehat{xAB} = \widehat{ABC}$ (cùng bằng $70°$). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $Dx \parallel Cy$.

Suy ra $\widehat{BCD} + \widehat{ADC} = 180°$ (trong cùng phía):

$$\widehat{BCD} = 180° – 90° = 90°$$

Vậy $\widehat{BCD} = 90°$.

Bài mẫu 3. Quan sát Hình 35, biết $xx’ \parallel yy’ \parallel zz’$. Chứng tỏ $\widehat{ACB} = \widehat{CAx’} + \widehat{CBy’}$.

Giải.

Vì $xx’ \parallel zz’$ nên $\widehat{CAx’} = \widehat{ACz}$ (so le trong).

Vì $yy’ \parallel zz’$ nên $\widehat{zCB} = \widehat{CBy’}$ (so le trong).

Mặt khác, $\widehat{ACz}$ và $\widehat{zCB}$ là hai góc kề nhau nên:

$$\widehat{ACz} + \widehat{zCB} = \widehat{ACB}$$

Do đó:

$$\widehat{ACB} = \widehat{CAx’} + \widehat{CBy’}$$

(đpcm)

Dạng 5: Bài toán thực tế và suy luận

Phương pháp:

Nhận diện các đường thẳng song song trong thực tế hoặc hình vẽ, sau đó áp dụng tính chất song song và tiên đề Euclid để giải quyết.

Bài mẫu 1. Trong Hình 46 (lan can cầu thang), $\widehat{xOy} = 144°$. Tính góc nhọn tạo bởi thanh sườn với thanh trụ.

Giải.

Ta có: $\widehat{xOa} + \widehat{aOy} = \widehat{xOy}$, mà $\widehat{xOa} = 90°$ (thanh trụ vuông góc bậc thang):

$$\widehat{aOy} = 144° – 90° = 54°$$

Vì $AB \parallel Oy$ nên $\widehat{aOy} = \widehat{A_2} = 54°$ (đồng vị).

Vì $a \parallel b$ nên $\widehat{B_1} = \widehat{A_2} = 54°$ (đồng vị).

Vậy góc nhọn tạo bởi thanh sườn với thanh trụ là $54°$.

Bài mẫu 2. Bạn Khôi vẽ hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại một điểm ngoài phạm vi tờ giấy. Nêu cách đo góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó.

Giải.

Giả sử đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $M$ nằm ngoài tờ giấy. Góc nhọn cần đo là $\widehat{aMb}$.

Trên đường thẳng $b$, lấy điểm $N$, kẻ $Nc \parallel a$ sao cho $\widehat{bNc}$ là góc nhọn.

Vì $Nc \parallel a$ nên $\widehat{bNc} = \widehat{aMb}$ (đồng vị).

Do đó ta chỉ cần đo góc $\widehat{bNc}$ sẽ suy ra số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Biết 1 tính 7: Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng thứ ba, chỉ cần biết 1 góc là tính được tất cả 7 góc còn lại.
• Vuông góc + song song = vuông góc: Nếu đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. Dùng mẹo này để nhanh chóng tìm góc vuông.
• Vẽ thêm tia phụ: Khi hình vẽ phức tạp, vẽ thêm tia đối hoặc đường thẳng song song phụ để tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị dễ tính.
• Phân biệt dấu hiệu và tính chất: Dấu hiệu dùng để chứng minh song song (từ góc → song song). Tính chất dùng để tính góc khi đã biết song song (từ song song → góc).

Tổng kết

1. Tiên đề Euclid: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
2. Hệ quả: Đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại.
3. Tính chất hai đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng thứ ba: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, so le ngoài bằng nhau, trong cùng phía có tổng $180°$.
4. Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song → vuông góc với đường thẳng kia.
5. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba → song song với nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du