Tổng các góc trong một tam giác

Khi xếp các viên gạch hình tam giác giống hệt nhau cạnh nhau, ta nhận thấy ba góc tại mỗi đỉnh chung tạo thành một góc bẹt — tức tổng của chúng bằng $180°$. Đây chính là minh họa trực quan cho định lí quan trọng nhất của bài:

Định lí: Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$.

Chứng minh định lí

Chứng minh.

Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ song song với $BC$.

Vì $xy \parallel BC$:

• $\widehat{B} = \widehat{BAx}$ (so le trong).
• $\widehat{C} = \widehat{CAy}$ (so le trong).

Do đó:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{BAC} + \widehat{BAx} + \widehat{CAy} = \widehat{xAy} = 180°$$

Phân loại tam giác theo góc

Dựa vào số đo các góc, tam giác được phân thành ba loại:

• Tam giác nhọn: cả ba góc đều là góc nhọn (nhỏ hơn $90°$).
• Tam giác vuông: có một góc vuông (bằng $90°$). Hai cạnh tạo thành góc vuông gọi là cạnh góc vuông, cạnh đối diện góc vuông gọi là cạnh huyền.
• Tam giác tù: có một góc tù (lớn hơn $90°$).

Nhận xét: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng bằng $90°$ — tức là hai góc phụ nhau.

Ví dụ 1. Tính số đo góc $\widehat{A}$ trong tam giác $ABC$ biết $\widehat{B} = 45°$, $\widehat{C} = 65°$. Tam giác $ABC$ thuộc loại nào?

Giải.

$$\widehat{A} = 180° – \widehat{B} – \widehat{C} = 180° – 45° – 65° = 70°$$

Cả ba góc $70°$, $45°$, $65°$ đều nhọn nên tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

Góc ngoài của tam giác

Khi kéo dài một cạnh của tam giác, góc tạo bởi cạnh kéo dài và cạnh kề được gọi là góc ngoài của tam giác tại đỉnh đó.

Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.

Chứng minh: Cho tam giác $ABC$ và $Cx$ là tia đối của tia $CB$.

Vì $Cx$ là tia đối $CB$ nên $\widehat{BCx} = 180°$, tức:

$$\widehat{ACx} + \widehat{ACB} = 180° \Rightarrow \widehat{ACx} = 180° – \widehat{ACB} \quad (1)$$

Trong tam giác $ABC$: $\widehat{BAC} + \widehat{CBA} + \widehat{ACB} = 180°$

$$\Rightarrow \widehat{BAC} + \widehat{CBA} = 180° – \widehat{ACB} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\widehat{ACx} = \widehat{BAC} + \widehat{CBA}$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo góc trong tam giác

Phương pháp:

Áp dụng định lí tổng ba góc: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$.

Biết hai góc → tính góc còn lại: $\widehat{A} = 180° – \widehat{B} – \widehat{C}$.

Bài mẫu 1. Tính số đo các góc $\widehat{A}$, $\widehat{D}$, $\widehat{N}$ trong các tam giác H.4.3. Tam giác nào nhọn, vuông, tù?

Giải.

a) Tam giác $ABC$: $\widehat{A} + 35° + 45° = 180°$ → $\widehat{A} = 100°$.

Vì $100° > 90°$ nên tam giác $ABC$ là tam giác tù.

b) Tam giác $DEF$: $\widehat{D} + 70° + 50° = 180°$ → $\widehat{D} = 60°$.

Vì $50°, 60°, 70°$ đều nhọn nên tam giác $DEF$ là tam giác nhọn.

c) Tam giác $MNP$: $\widehat{N} + 40° + 50° = 180°$ → $\widehat{N} = 90°$.

Vì $\widehat{N} = 90°$ nên tam giác $MNP$ vuông tại $N$.

Bài mẫu 2. Trong các tam giác H.4.4, tam giác nào nhọn, vuông, tù?

Giải.

a) Tam giác $ABC$: $\widehat{B} = 180° – 50° – 40° = 90°$ → tam giác vuông tại $B$.

b) Tam giác $DEF$: $\widehat{D} = 180° – 55° – 65° = 60°$ → ba góc đều nhọn → tam giác nhọn.

c) Tam giác $MNP$: $\widehat{N} = 180° – 50° – 30° = 100°$ → $\widehat{N} > 90°$ → tam giác tù.

Dạng 2: Tính góc trong tam giác vuông

Phương pháp:

Trong tam giác vuông tại $A$: $\widehat{A} = 90°$, nên hai góc nhọn còn lại phụ nhau:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$$

Bài mẫu. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính tổng hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$.

Giải.

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$$

$$90° + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$$

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$$

Dạng 3: Tính góc bằng tính chất góc ngoài

Phương pháp:

Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó:

$$\widehat{\text{góc ngoài}} = \widehat{\text{góc trong}_1} + \widehat{\text{góc trong}_2}$$

Bài mẫu 1. Tìm $x$, $y$ trong Hình 4.5.

Giải.

Áp dụng tính chất góc ngoài:

$$100° = 50° + y \Rightarrow y = 50°$$

Theo tổng ba góc trong tam giác:

$$50° + x + y = 180° \Rightarrow 50° + x + 50° = 180° \Rightarrow x = 80°$$

Vậy $x = 80°$; $y = 50°$.

Bài mẫu 2. Tìm số đo các góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ trong Hình 4.6, biết $\widehat{A} = 105°$, góc ngoài tại $C$ bằng $8x$ và $\widehat{C} = x$.

Giải.

Áp dụng tính chất góc ngoài:

$$8x = 105° + x$$

$$7x = 105° \Rightarrow x = 15°$$

Vậy $\widehat{C} = 15°$.

Tổng ba góc: $105° + \widehat{B} + 15° = 180°$ → $\widehat{B} = 60°$.

Bài mẫu 3. Tìm số đo góc $x$ trong Hình 4.7, biết $\widehat{ACB}$ và $\widehat{aCb}$ đối đỉnh với $\widehat{aCb} = 60°$, $\widehat{A} = 80°$.

Giải.

Vì $\widehat{ACB}$ và $\widehat{aCb}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{ACB} = \widehat{aCb} = 60°$.

Vì $\widehat{ABa’}$ là góc ngoài của tam giác $ABC$ tại $B$:

$$\widehat{ABa’} = \widehat{ACB} + \widehat{A} = 60° + 80° = 140°$$

Vậy $x = 140°$.

Dạng 4: Tính góc khi biết quan hệ giữa các góc

Phương pháp:

1. Dùng tổng ba góc ($= 180°$) để lập phương trình.
2. Kết hợp điều kiện đề bài (gấp bao nhiêu lần, hiệu bằng bao nhiêu, …) để giải.

Bài mẫu 1. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 100°$, $\widehat{B} – \widehat{C} = 40°$. Tính $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$.

Giải.

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180° – 100° = 80°$$

$$\widehat{B} – \widehat{C} = 40°$$

Cộng vế: $2\widehat{B} = 120°$ → $\widehat{B} = 60°$.

Suy ra: $\widehat{C} = 80° – 60° = 20°$.

Bài mẫu 2. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 60°$, $\widehat{B} = \dfrac{1}{3}\widehat{C}$. Tính $\widehat{B}$.

Giải.

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180° – 60° = 120°$$

Vì $\widehat{B} = \dfrac{1}{3}\widehat{C}$, ta có: $\widehat{B} = \dfrac{120°}{1 + 3} \cdot 1 = 30°$.

Dạng 5: Bài toán có tia phân giác kết hợp góc ngoài

Phương pháp:

• Tia phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau.
• Kết hợp tính chất góc ngoài để tính.

Bài mẫu 1. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Biết $\widehat{ABC} = 60°$. Tính $\widehat{BDC}$.

Giải.

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{A} = 90°$.

Vì $BD$ là phân giác góc $\widehat{ABC}$:

$$\widehat{ABD} = \frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

$\widehat{BDC}$ là góc ngoài tại $D$ của $\triangle ABD$:

$$\widehat{BDC} = \widehat{ABD} + \widehat{A} = 30° + 90° = 120°$$

Bài mẫu 2. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 50°$, $\widehat{B} = 70°$. Tia phân giác góc $C$ cắt $AB$ tại $M$. Tính $\widehat{AMC}$ và $\widehat{BMC}$.

Giải.

Tổng ba góc: $\widehat{BCA} = 180° – 50° – 70° = 60°$.

Vì $CM$ là phân giác $\widehat{BCA}$:

$$\widehat{BCM} = \widehat{MCA} = \frac{60°}{2} = 30°$$

$\widehat{AMC}$ là góc ngoài tại $M$ của $\triangle MBC$:

$$\widehat{AMC} = \widehat{B} + \widehat{BCM} = 70° + 30° = 100°$$

Vì $\widehat{AMC} + \widehat{BMC} = 180°$ (kề bù):

$$\widehat{BMC} = 180° – 100° = 80°$$

Vậy $\widehat{AMC} = 100°$; $\widehat{BMC} = 80°$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

• Biết hai góc → tính ngay góc thứ ba: $\widehat{C} = 180° – \widehat{A} – \widehat{B}$. Đây là phép tính cơ bản nhất.
• Tam giác vuông → hai góc nhọn phụ nhau: Biết một góc nhọn, suy ra ngay góc kia bằng $90°$ trừ đi.
• Góc ngoài = tổng hai góc trong không kề: Dùng tính chất này để tính nhanh mà không cần tìm góc trong kề bù trước.
• Lập phương trình khi có ẩn: Gặp bài cho quan hệ giữa các góc (gấp, hiệu, tỉ lệ), dùng tổng $= 180°$ để lập phương trình.
• Phân loại nhanh: Tính xong ba góc, nhìn góc lớn nhất: $< 90°$ → nhọn, $= 90°$ → vuông, $> 90°$ → tù.

Tổng kết

1. Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$.
2. Tam giác nhọn: ba góc đều nhọn. Tam giác vuông: có một góc $= 90°$. Tam giác tù: có một góc $> 90°$.
3. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng $= 90°$).
4. Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
5. Kết hợp tổng ba góc, góc ngoài và tia phân giác để giải các bài toán phức hợp.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du