Bài toán mở đầu

Không sử dụng MTCT, có thể so sánh được hai số $a = 5\sqrt{2}$ và $b = 3\sqrt{5}$ hay không?

Hai số trên đều chứa căn, nhưng biểu thức dưới dấu căn khác nhau nên không thể so sánh trực tiếp. Bài học này sẽ trang bị cho ta bốn kỹ thuật biến đổi quan trọng — giúp đưa các biểu thức chứa căn về dạng thuận lợi để tính toán, so sánh và rút gọn.

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu $a$ là một số và $b$ là một số không âm thì:

$$\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$$

Phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn. Ý tưởng: tách phần “bình phương hoàn hảo” ra khỏi dấu căn, giữ lại phần còn lại bên trong.

Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{80}$

b) $\sqrt{192a}$ (với $a \geq 0$)

Giải:

a) Ta có $80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5$, nên $\sqrt{80} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

b) Ta có $192 = 64 \cdot 3 = 8^2 \cdot 3$, nên $\sqrt{192a} = \sqrt{8^2 \cdot 3a} = 8\sqrt{3a}$.

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Khi biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường nhân cả tử và mẫu để khử mẫu.

Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\dfrac{9}{11}}$.

Giải: Nhân cả tử và mẫu với 11 rồi đưa thừa số ra ngoài:

$$\sqrt{\dfrac{9}{11}} = \sqrt{\dfrac{9 \cdot 11}{11^2}} = \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{3}{11}\right)^2 \cdot 11 \cdot 11}{1}} = \dfrac{\sqrt{9 \cdot 11}}{11} = \dfrac{3\sqrt{11}}{11}$$

Tranh luận

Bạn Vuông nói: $\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = -2\sqrt{5}$.

Nhận xét: Vuông làm sai, vì $\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = |-2|\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ (dương, không phải $-2\sqrt{5}$). Nhớ: căn bậc hai số học luôn không âm.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Cách đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép biến đổi ngược lại:

• Nếu $a \geq 0$ và $b \geq 0$: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.
• Nếu $a < 0$ và $b \geq 0$: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}$.

Ví dụ 3. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $7\sqrt{3}$

b) $-3\sqrt{a}$ (với $a \geq 0$)

Giải:

a) $7\sqrt{3} = \sqrt{7^2 \cdot 3} = \sqrt{147}$.

b) Vì $-3 < 0$: $-3\sqrt{a} = -\sqrt{3^2 \cdot a} = -\sqrt{9a}$.

Ví dụ 4. Trả lời câu hỏi mở đầu: So sánh $a = 5\sqrt{2}$ và $b = 3\sqrt{5}$ (không dùng MTCT).

Giải: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

$$5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}; \qquad 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$$

Vì $\sqrt{45} < \sqrt{50}$ nên $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$.

3. Trục căn thức ở mẫu

Tính toán với biểu thức có chứa căn ở mẫu thường phức tạp. Ta thường trục căn thức ở mẫu — tức biến đổi sao cho mẫu không còn chứa căn.

Cách trục căn thức ở mẫu

Có ba dạng chính:

Dạng 1. Mẫu chỉ có $\sqrt{B}$: nhân tử và mẫu với $\sqrt{B}$.

$$\dfrac{A}{\sqrt{B}} = \dfrac{A\sqrt{B}}{B} \quad (B > 0)$$

Dạng 2. Mẫu có dạng $\sqrt{A} + B$ hoặc $\sqrt{A} – B$: nhân với biểu thức liên hợp.

$$\dfrac{C}{\sqrt{A} + B} = \dfrac{C(\sqrt{A} – B)}{A – B^2}; \qquad \dfrac{C}{\sqrt{A} – B} = \dfrac{C(\sqrt{A} + B)}{A – B^2}$$

Dạng 3. Mẫu có dạng $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ hoặc $\sqrt{A} – \sqrt{B}$: nhân với biểu thức liên hợp.

$$\dfrac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \dfrac{C(\sqrt{A} – \sqrt{B})}{A – B}; \qquad \dfrac{C}{\sqrt{A} – \sqrt{B}} = \dfrac{C(\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A – B}$$

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{3}{5\sqrt{2}}$

b) $\dfrac{b}{2 – \sqrt{3}}$

Giải:

a) Nhân tử và mẫu với $\sqrt{2}$:

$$\dfrac{3}{5\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5 \cdot (\sqrt{2})^2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{10}$$

b) Biểu thức liên hợp của $2 – \sqrt{3}$ là $2 + \sqrt{3}$. Nhân tử và mẫu:

$$\dfrac{b}{2 – \sqrt{3}} = \dfrac{b(2 + \sqrt{3})}{(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{b(2 + \sqrt{3})}{4 – 3} = b(2 + \sqrt{3})$$

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức chứa căn, ta phối hợp tất cả các kỹ thuật đã học: đưa thừa số ra ngoài/vào trong dấu căn, khử mẫu, trục căn thức ở mẫu, cùng các phép tính cộng – trừ – nhân – chia.

Ví dụ 6. Rút gọn $A = 3\sqrt{2} – \sqrt{50} + \sqrt{(1 – \sqrt{2})^2}$.

Giải:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Áp dụng hằng đẳng thức: $\sqrt{(1 – \sqrt{2})^2} = |1 – \sqrt{2}|$. Vì $\sqrt{2} > 1$ nên $1 – \sqrt{2} < 0$, suy ra $|1 – \sqrt{2}| = \sqrt{2} – 1$.

$$A = 3\sqrt{2} – 5\sqrt{2} + (\sqrt{2} – 1) = -\sqrt{2} – 1$$

Ví dụ 7.

a) Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{x^2 – 1}{\sqrt{x} – 1}$ và $\dfrac{x^2 – x}{\sqrt{x} + 1}$ (với $x \geq 0$, $x \neq 1$).

b) Rút gọn $P = \dfrac{x^2 – 1}{\sqrt{x} – 1} – \dfrac{x^2 – x}{\sqrt{x} + 1}$.

Giải:

a) Nhân tử và mẫu của biểu thức thứ nhất với $\sqrt{x} + 1$:

$$\dfrac{x^2 – 1}{\sqrt{x} – 1} = \dfrac{(x^2 – 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x} + 1)}{x – 1} = (x + 1)(\sqrt{x} + 1) = x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1$$

Nhân tử và mẫu của biểu thức thứ hai với $\sqrt{x} – 1$:

$$\dfrac{x^2 – x}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{(x^2 – x)(\sqrt{x} – 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1)} = \dfrac{x(x – 1)(\sqrt{x} – 1)}{x – 1} = x(\sqrt{x} – 1) = x\sqrt{x} – x$$

b) $P = (x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1) – (x\sqrt{x} – x) = 2x + \sqrt{x} + 1$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phương pháp giải:

• Bước 1: Phân tích số dưới dấu căn thành tích, trong đó có số chính phương lớn nhất có thể: $n = k^2 \cdot m$ (với $m$ không còn ước chính phương).
• Bước 2: Áp dụng $\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}$.
• Với biểu thức đại số: tách $\sqrt{a^2 \cdot B} = |a|\sqrt{B}$, xét dấu $a$ theo điều kiện.

Bài tập 1 (Luyện tập 1 – SGK). Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12}$ $\qquad$ b) $3\sqrt{27}$ $\qquad$ c) $5\sqrt{48}$

Lời giải:

a) $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

b) $3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

c) $5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.

Bài tập 2 (Luyện tập 2 – SGK). Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\dfrac{3}{5}}$.

Lời giải:

$$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}$$

Bài tập 3 (Bài 3.17 – SGK). Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{52}$ $\qquad$ b) $\sqrt{27a}$ ($a \geq 0$) $\qquad$ c) $\sqrt{50\sqrt{2} + 100}$ $\qquad$ d) $\sqrt{9\sqrt{5} – 18}$

Lời giải:

a) $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

b) $\sqrt{27a} = \sqrt{9 \cdot 3a} = 3\sqrt{3a}$.

c) $\sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{25(2\sqrt{2} + 4)} = 5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}$.

(Giải thích: $50\sqrt{2} + 100 = 25 \cdot 2\sqrt{2} + 25 \cdot 4 = 25(2\sqrt{2} + 4)$.)

d) $\sqrt{9\sqrt{5} – 18} = \sqrt{9(\sqrt{5} – 2)} = 3\sqrt{\sqrt{5} – 2}$.

(Nhận xét: $\sqrt{5} \approx 2{,}236 > 2$ nên $\sqrt{5} – 2 > 0$, biểu thức có nghĩa.)

Bài tập 4 (Trắc nghiệm). Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của $\sqrt{16a^3b^2}$ với $a \geq 0$ ta được:

A. $-4ab\sqrt{a}$ $\qquad$ B. $4ab\sqrt{a}$ $\qquad$ C. $4ab\sqrt{a}$ $\qquad$ D. $-4ab\sqrt{a}$

Lời giải:

$$\sqrt{16a^3b^2} = \sqrt{16a^2b^2 \cdot a} = 4|a| \cdot |b| \cdot \sqrt{a}$$

Vì $a \geq 0$: $|a| = a$. Với $b \geq 0$: $|b| = b$, kết quả $= 4ab\sqrt{a}$.

Đáp án: C.

Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh

Phương pháp giải:

• Nếu hệ số $a \geq 0$: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$.
• Nếu hệ số $a < 0$: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.
• Ứng dụng so sánh: Đưa cả hai số về dạng $\sqrt{\ldots}$ rồi so sánh biểu thức dưới dấu căn.

Bài tập 5 (Luyện tập 3 – SGK). Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5}$ $\qquad$ b) $-2\sqrt{7}$

Lời giải:

a) $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

b) $-2\sqrt{7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

Bài tập 6 (Bài 3.18 – SGK). Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt{3}$ $\qquad$ b) $-2\sqrt{7}$ $\qquad$ c) $4\sqrt{\dfrac{15}{2}}$ $\qquad$ d) $-5\sqrt{\dfrac{16}{5}}$

Lời giải:

a) $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

b) $-2\sqrt{7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

c) $4\sqrt{\dfrac{15}{2}} = \sqrt{16 \cdot \dfrac{15}{2}} = \sqrt{120}$.

d) $-5\sqrt{\dfrac{16}{5}} = -\sqrt{25 \cdot \dfrac{16}{5}} = -\sqrt{80}$.

Bài tập 7 (Trắc nghiệm). Đưa thừa số vào dấu căn: $(a – 2)\sqrt{a^2 – a}$ với $0 < a < 2$ ta được:

A. $\sqrt{a(a – 2)}$ $\qquad$ B. $\sqrt{a(2 – a)}$ $\qquad$ C. $-\sqrt{a(a – 2)}$ $\qquad$ D. $-\sqrt{a(2 – a)}$

Lời giải:

Vì $0 < a < 2$ nên $a – 2 < 0$. Do đó:

$(a – 2)\sqrt{a^2 – a} = -\sqrt{(a – 2)^2(a^2 – a)} = -\sqrt{(a – 2)^2 \cdot a(a – 1)}$

Tuy nhiên, cần kiểm tra $a^2 – a = a(a – 1)$: với $0 < a < 1$ thì $a – 1 < 0$ nên $a(a-1) < 0$, biểu thức không có nghĩa. Vậy ta cần $1 \leq a < 2$. Khi đó:

$(a – 2)\sqrt{a(a – 1)} = -\sqrt{(a – 2)^2 \cdot a(a – 1)}$

Đáp án: A.

Dạng 3: Khử mẫu trong dấu căn

Phương pháp giải:

• Nhân cả tử và mẫu bên trong dấu căn với mẫu, sao cho mẫu thành bình phương.
• Đưa mẫu (đã thành bình phương) ra ngoài dấu căn.

Bài tập 8 (Bài 3.19 – SGK). Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ $\qquad$ b) $-3x\sqrt{\dfrac{5}{x}}$ ($x > 0$) $\qquad$ c) $-\sqrt{\dfrac{3a}{b}}$ ($a \geq 0$, $b > 0$)

Lời giải:

a) $2a\sqrt{\dfrac{3}{5}} = 2a \cdot \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5^2}} = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{15}}{5} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$.

b) Với $x > 0$:

$$-3x\sqrt{\dfrac{5}{x}} = -3x \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} = -3 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{5} = -3\sqrt{x} \cdot \sqrt{5} = -3\sqrt{5x}$$

c) $-\sqrt{\dfrac{3a}{b}} = -\sqrt{\dfrac{3a \cdot b}{b^2}} = -\dfrac{\sqrt{3ab}}{b}$.

Bài tập 9 (Trắc nghiệm). Khử mẫu của biểu thức $\sqrt{\dfrac{15}{24}}$ ta được:

A. $\dfrac{1}{12}\sqrt{15}$ $\qquad$ B. $\dfrac{\sqrt{15}}{24}$ $\qquad$ C. $\dfrac{1}{8}\sqrt{5}$ $\qquad$ D. $\dfrac{1}{4}\sqrt{10}$

Lời giải:

$$\sqrt{\dfrac{15}{24}} = \sqrt{\dfrac{5}{8}} = \sqrt{\dfrac{5 \cdot 8}{8^2}} = \dfrac{\sqrt{40}}{8} = \dfrac{2\sqrt{10}}{8} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$$

Đáp án: D.

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp giải:

• Mẫu $\sqrt{B}$: nhân tử và mẫu với $\sqrt{B}$.
• Mẫu $\sqrt{A} \pm B$: nhân với biểu thức liên hợp $\sqrt{A} \mp B$, mẫu thành $A – B^2$.
• Mẫu $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$: nhân với $\sqrt{A} \mp \sqrt{B}$, mẫu thành $A – B$.

Bài tập 10 (Luyện tập 4 – SGK). Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1}}{2\sqrt{3}}$ $\qquad$ b) $\dfrac{a^2 – 2a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}$ ($a \geq 0$, $a \neq 2$)

Lời giải:

a) Nhân tử và mẫu với $\sqrt{3}$:

$$\dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{-5\sqrt{x^2 + 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-5\sqrt{3(x^2 + 1)}}{6}$$

b) Nhân tử và mẫu với $\sqrt{a} – \sqrt{2}$:

$$\dfrac{a^2 – 2a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \dfrac{(a^2 – 2a)(\sqrt{a} – \sqrt{2})}{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} – \sqrt{2})} = \dfrac{a(a – 2)(\sqrt{a} – \sqrt{2})}{a – 2} = a(\sqrt{a} – \sqrt{2})$$

(Giản ước $(a – 2)$ được vì $a \neq 2$.)

Bài tập 11 (Bài 3.20 – SGK). Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ $\qquad$ b) $\dfrac{1}{\sqrt{5} – 2}$ $\qquad$ c) $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}}$ $\qquad$ d) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Lời giải:

a) $\dfrac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{(4 + 3\sqrt{5})\sqrt{5}}{5} = \dfrac{4\sqrt{5} + 15}{5}$.

b) $\dfrac{1}{\sqrt{5} – 2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} – 2)(\sqrt{5} + 2)} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \sqrt{5} + 2$.

c) $\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} = \dfrac{(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 – \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \dfrac{3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{1 – 3} = \dfrac{6 + 4\sqrt{3}}{-2} = -3 – 2\sqrt{3}$.

d) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2})} = \dfrac{\sqrt{6} – 2}{3 – 2} = \sqrt{6} – 2$.

Bài tập 12 (Trắc nghiệm). Trục căn thức ở mẫu của $\dfrac{2}{\sqrt{7} – \sqrt{5}}$ ta được:

A. $\sqrt{2}(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ $\qquad$ B. $\dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ $\qquad$ C. $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ $\qquad$ D. $\sqrt{7} – \sqrt{5}$

Lời giải:

$$\dfrac{2}{\sqrt{7} – \sqrt{5}} = \dfrac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} – \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \dfrac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 – 5} = \dfrac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$$

Đáp án: C.

Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở tất cả các số hạng.
• Bước 2: Thu gọn các số hạng đồng dạng (cùng biểu thức dưới dấu căn).
• Bước 3: Trục căn thức ở mẫu (nếu có).
• Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ khi cần.

Bài tập 13 (Luyện tập 5 – SGK). Rút gọn:

$$\left(\dfrac{\sqrt{22} – \sqrt{11}}{1 – \sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{21} – \sqrt{7}}{1 – \sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7} – \sqrt{11}\right)$$

Lời giải:

Phân tích tử (không nhân liên hợp):

$$\sqrt{22} – \sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{2} – 1) \implies \dfrac{\sqrt{11}(\sqrt{2} – 1)}{1 – \sqrt{2}} = \dfrac{-\sqrt{11}(1 – \sqrt{2})}{1 – \sqrt{2}} = -\sqrt{11}$$

$$\sqrt{21} – \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3} – 1) \implies \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3} – 1)}{1 – \sqrt{3}} = \dfrac{-\sqrt{7}(1 – \sqrt{3})}{1 – \sqrt{3}} = -\sqrt{7}$$

Suy ra:

$$\left(-\sqrt{11} + (-\sqrt{7})\right)\left(\sqrt{7} – \sqrt{11}\right) = -(\sqrt{7} + \sqrt{11})(\sqrt{7} – \sqrt{11})$$

$$= -(7 – 11) = -(-4) = 4$$

Bài tập 14 (Bài 3.21 – SGK). Rút gọn:

a) $2\sqrt{\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

b) $\dfrac{5\sqrt{48} – 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

c) $\dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \dfrac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}}$

Lời giải:

a) Khử mẫu trong dấu căn:

$$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}; \qquad 4\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$

$$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3} – 2\sqrt{6} = \dfrac{2\sqrt{6} – 6\sqrt{6}}{3} = \dfrac{-4\sqrt{6}}{3}$$

b) Đưa thừa số ra ngoài: $5\sqrt{48} = 20\sqrt{3}$, $3\sqrt{27} = 9\sqrt{3}$, $2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$.

$$\dfrac{20\sqrt{3} – 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$$

c) Trục căn ở mẫu số thứ nhất:

$$\dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \dfrac{3 – 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 – 2\sqrt{2})} = \dfrac{3 – 2\sqrt{2}}{9 – 8} = 3 – 2\sqrt{2}$$

Rút gọn số hạng thứ hai:

$$\dfrac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}} = \dfrac{4(\sqrt{2} – 1)}{2 – \sqrt{2}} = \dfrac{4(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 2)… }{}$$

Cách nhanh hơn — nhân tử và mẫu với $(2 + \sqrt{2})$:

$$\dfrac{4(\sqrt{2} – 1)(2 + \sqrt{2})}{(2 – \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \dfrac{4(2\sqrt{2} + 2 – 2 – \sqrt{2})}{4 – 2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Vậy: $(3 – 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.

Dạng 6: Rút gọn biểu thức có chứa biến

Phương pháp giải:

• Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ).
• Quy đồng mẫu, trục căn, giản ước.
• Phân tích nhân tử: $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$, $(\sqrt{x})^2 = x$, $(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) = x – 1$…

Bài tập 15 (Bài 3.22 – SGK). Rút gọn $A = \sqrt{x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} – \dfrac{1}{3 – \sqrt{x}}\right)$ với $x \geq 0$, $x \neq 9$.

Lời giải:

Nhận xét: $\dfrac{-1}{3 – \sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x} – 3}$.

$$\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{1}{\sqrt{x} – 3} = \dfrac{(\sqrt{x} – 3) + (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} – 3)} = \dfrac{2\sqrt{x}}{x – 9}$$

Suy ra:

$$A = \sqrt{x} \cdot \dfrac{2\sqrt{x}}{x – 9} = \dfrac{2x}{x – 9}$$

Bài tập 16 (Trắc nghiệm). Tính $A = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} – \sqrt{2 – \sqrt{3}}}$.

A. $2$ $\qquad$ B. $2\sqrt{2}$ $\qquad$ C. $2\sqrt{2}$ $\qquad$ D. $-2$

Đáp án: A.

Dạng 7: Vận dụng thực tế

Bài tập 17 (Vận dụng – SGK). Trong thuyết tương đối, khối lượng $m$ (kg) khi vật chuyển động với vận tốc $v$ (m/s) được cho bởi:

$$m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

a) Viết lại công thức dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính $m$ theo $m_0$ khi $v = \dfrac{1}{10}c$.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\dfrac{c^2 – v^2}{c^2}} = \dfrac{\sqrt{c^2 – v^2}}{c}$$

Nên:

$$m = \dfrac{m_0}{\dfrac{\sqrt{c^2 – v^2}}{c}} = \dfrac{m_0 \cdot c}{\sqrt{c^2 – v^2}}$$

Trục căn ở mẫu:

$$m = \dfrac{m_0 \cdot c \cdot \sqrt{c^2 – v^2}}{c^2 – v^2}$$

b) Khi $v = \dfrac{c}{10}$:

$$1 – \dfrac{v^2}{c^2} = 1 – \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}$$

$$\sqrt{\dfrac{99}{100}} = \dfrac{\sqrt{99}}{10}$$

$$m = \dfrac{m_0}{\dfrac{\sqrt{99}}{10}} = \dfrac{10m_0}{\sqrt{99}} \approx 1{,}005 , m_0$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Tìm số chính phương lớn nhất: Khi đưa thừa số ra ngoài, chia cho các số chính phương từ lớn đến nhỏ: $\sqrt{180}$? Thử $180 : 36 = 5$ → $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.

Mẹo 2 — So sánh nhanh $a\sqrt{b}$ và $c\sqrt{d}$: Đưa vào trong căn: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$, $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$, rồi so sánh $a^2b$ với $c^2d$.

Mẹo 3 — Nhận dạng biểu thức liên hợp: $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ ↔ $\sqrt{A} – \sqrt{B}$; $\sqrt{A} + B$ ↔ $\sqrt{A} – B$. Tích liên hợp luôn cho kết quả không còn căn.

Mẹo 4 — Trước khi trục căn, thử phân tích tử: Đôi khi phân tích tử thành nhân tử rồi giản ước nhanh hơn. Ví dụ: $\dfrac{\sqrt{22} – \sqrt{11}}{1 – \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{11}(\sqrt{2} – 1)}{-({\sqrt{2} – 1})} = -\sqrt{11}$.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du