Bài toán mở đầu

Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ đường tròn là gì, tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn có tính chất gì — đây chính là nội dung bài học hôm nay.

1. Đường tròn

Định nghĩa

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ($R > 0$), kí hiệu $(O; R)$, là hình gồm tất cả các điểm cách điểm $O$ một khoảng bằng $R$.

Khi không cần chỉ rõ bán kính, ta kí hiệu đường tròn tâm $O$ là $(O)$.

Nếu $A$ là một điểm của đường tròn $(O)$ thì ta viết $A \in (O)$. Khi đó ta nói đường tròn $(O)$ đi qua điểm $A$, hay điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$.

Vị trí của điểm đối với đường tròn

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $M$ bất kì:

• Điểm $M$ nằm trên đường tròn nếu $OM = R$.
• Điểm $M$ nằm trong đường tròn nếu $OM < R$.
• Điểm $M$ nằm ngoài đường tròn nếu $OM > R$.

Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn $(O; R)$.

Ví dụ minh hoạ

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Chứng minh rằng đường tròn $(I; IM)$ đi qua $N$.

Giải:

Vì $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ nên $IN = IM$.

Do đó $N \in (I; IM)$, nói cách khác, đường tròn $(I; IM)$ đi qua $N$.

Chú ý. Đoạn $MN$ trong ví dụ trên chính là một đường kính của đường tròn $(I)$. Do đó $(I)$ còn gọi là đường tròn đường kính $MN$.

2. Tính đối xứng của đường tròn

Đối xứng tâm

Hai điểm $M$ và $M’$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $I$ (hay qua tâm $I$) nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM’$.

Ví dụ: Nếu $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ thì $OA = OC$ nên $A$ và $C$ đối xứng nhau qua $O$. Tương tự, $B$ và $D$ đối xứng nhau qua $O$.

Đối xứng trục

Hai điểm $M$ và $M’$ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ (hay qua trục $d$) nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM’$.

Ví dụ: Nếu $AH$ là đường cao trong tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $AH$ cũng là đường trung trực của $BC$, nên $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $AH$.

Tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn

Chứng minh: Nếu một điểm thuộc đường tròn $(O)$ thì:

a) Điểm đối xứng với nó qua tâm $O$ cũng thuộc $(O)$.

Gọi $A$ là điểm bất kì thuộc $(O)$ và $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Khi đó $O$ là trung điểm $AA’$, nên $OA’ = OA = R$, suy ra $A’ \in (O)$.

b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng $d$ tuỳ ý đi qua $O$ cũng thuộc $(O)$.

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $(O)$ và $M’$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$. Khi đó $d$ là đường trung trực của $MM’$. Mà $O \in d$, nên $OM’ = OM = R$, suy ra $M’ \in (O)$.

Từ đó ta có kết luận:

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.
• Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.
• Đường tròn có một tâm đối xứng, nhưng có vô số trục đối xứng.

Ví dụ minh hoạ

Cho điểm $M$ nằm trên đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Sử dụng tính đối xứng của $(O)$, hãy nêu cách tìm:

a) Điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$.

b) Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $AB$.

Giải:

a) Vì $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ nên điểm $N$ đối xứng với $M$ qua tâm $O$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng $OM$. Vậy $N$ là giao điểm (khác $M$) của $(O)$ với đường thẳng $OM$.

b) Vì $AB$ là trục đối xứng của $(O)$ nên điểm $P$ đối xứng với $M$ qua $AB$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$. Vậy $P$ là giao điểm (khác $M$) của $(O)$ với đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định vị trí của điểm đối với đường tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài cho đường tròn $(O; R)$ và một số điểm, yêu cầu xác định mỗi điểm nằm trên, nằm trong hay nằm ngoài đường tròn.

Phương pháp giải:

• Tính khoảng cách $OM$ từ điểm $M$ đến tâm $O$.
• So sánh $OM$ với $R$:
  • $OM = R$ → $M$ nằm trên đường tròn.
  • $OM < R$ → $M$ nằm trong đường tròn.
  • $OM > R$ → $M$ nằm ngoài đường tròn.
• Nếu bài cho toạ độ: $OM = \sqrt{(x_M – x_O)^2 + (y_M – y_O)^2}$.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $A(3; 0)$, $B(-2; 0)$, $C(0; 4)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn $(O; 3)$?

Lời giải chi tiết:

Ta có tâm $O$ là gốc toạ độ $(0; 0)$, bán kính $R = 3$.

$OA = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 = R$ → Điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O; 3)$.

$OB = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 < R = 3$ → Điểm $B$ nằm trong đường tròn $(O; 3)$.

$OC = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 > R = 3$ → Điểm $C$ nằm ngoài đường tròn $(O; 3)$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho các điểm $M(0; 2)$, $N(0; -3)$ và $P(2; -1)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Ta có tâm $O$ là gốc toạ độ, bán kính $R = \sqrt{5}$.

$OM = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$. Mà $R = \sqrt{5} \approx 2{,}236$. Vì $2 < \sqrt{5}$ nên điểm $M$ nằm trong đường tròn $(O; \sqrt{5})$.

$ON = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 > \sqrt{5}$ nên điểm $N$ nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$.

$OP = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} = R$ nên điểm $P$ nằm trên đường tròn $(O; \sqrt{5})$.

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1. Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và một điểm $M$, biết rằng $OM = 5$ cm. Vậy vị trí của điểm $M$ đối với đường tròn là:

A. $M$ nằm trong $(O)$ B. $M$ nằm ngoài $(O)$ C. $M$ nằm trên $(O)$ D. Không thể xác định được

Đáp án: C. Vì $OM = 5 = R$ nên $M$ nằm trên đường tròn.

Câu 2. Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm là $O$. Hỏi điểm $A$ có vị trí tương đối nào với đường tròn $(O; OB)$?

A. Không xác định được B. $A$ nằm trong $(O; OB)$ C. $A$ nằm ngoài $(O; OB)$ D. $A$ nằm trên $(O; OB)$

Đáp án: D. Vì $O$ là trung điểm $AB$ nên $OA = OB = R$, suy ra $A \in (O; OB)$.

Dạng 2: Chứng minh điểm thuộc đường tròn — Các điểm cùng thuộc một đường tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài yêu cầu chứng minh một điểm (hoặc nhiều điểm) cùng nằm trên một đường tròn.

Phương pháp giải:

• Cách 1: Chứng minh điểm đó cách tâm $O$ một khoảng bằng $R$ (tức $OM = R$).
• Cách 2: Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Nhờ đó, đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn đường kính là cạnh huyền.
• Cách 3: Chứng minh nhiều điểm cách đều một điểm cố định (tức cùng cách một điểm $O$ một khoảng bằng nhau).

Tính chất quan trọng: Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ (vì trung tuyến $AO$ ứng với cạnh huyền $BC$ bằng $\dfrac{BC}{2}$).

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$$

Vì $OA = OB = OC$ nên ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ có bán kính $\dfrac{BC}{2}$.

Mà $O$ là trung điểm $BC$ nên $(O)$ chính là đường tròn đường kính $BC$.

Vậy điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$. $\square$

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Chứng minh rằng các điểm $A$, $B$, $C$ thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$$OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$$

Vì $O$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$ nên ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. $\square$

Theo định lí Pythagore:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ (cm)}$$

Bán kính đường tròn:

$$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \text{ (cm)}$$

Dạng 3: Tính đối xứng của đường tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề bài liên quan đến đối xứng tâm, đối xứng trục trên đường tròn. Thường yêu cầu chứng minh điểm thuộc đường tròn bằng tính đối xứng, chứng minh trục đối xứng, hoặc xác định tâm/trục đối xứng.

Phương pháp giải:

• Tâm đối xứng: Nếu $A \in (O)$ và $A’$ đối xứng với $A$ qua $O$ thì $A’ \in (O)$ (vì $OA’ = OA = R$).
• Trục đối xứng: Nếu đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ thì $d$ là trục đối xứng của $(O)$. Ngược lại, muốn chứng minh đường thẳng $d$ là trục đối xứng của $(O)$, ta chứng minh $d$ đi qua tâm $O$.
• Ứng dụng: Kết hợp với tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông để chứng minh các điểm thuộc đường tròn.

Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A$, $B$ thuộc $(O)$. Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AB$. Chứng minh rằng $d$ là một trục đối xứng của $(O)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $A, B \in (O)$ nên $OA = OB = R$.

Do $OA = OB$ nên $O$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$, tức $O \in d$.

Mà $d$ là đường thẳng đi qua tâm $O$ nên $d$ là trục đối xứng của $(O)$. $\square$

Ví dụ 6. Cho đường tròn $(O)$, đường thẳng $d$ đi qua $O$ và điểm $A$ thuộc $(O)$ nhưng không thuộc $d$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$; $C$ và $D$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua $O$.

a) Ba điểm $B$, $C$ và $D$ có thuộc $(O)$ không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $d$ là đường thẳng đi qua tâm $O$ nên $d$ là một trục đối xứng của $(O)$. Mà $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ và $A \in (O)$, nên $B \in (O)$.

Vì $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ và $C$ đối xứng với $A$ qua $O$, mà $A \in (O)$, nên $C \in (O)$.

Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ và $B \in (O)$, nên $D \in (O)$.

Vậy cả ba điểm $B$, $C$, $D$ đều thuộc $(O)$. $\square$

b) $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $AC$.

$D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $BD$.

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường, nên $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có $OA = OB$ (vì cùng bằng $R$) nên $AC = BD$ (đường chéo bằng nhau).

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. $\square$

c) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật (câu b) nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$.

Mà $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $d$ là đường trung trực của $AB$.

Vì $CD \parallel AB$ và $CD = AB$, đồng thời $d$ đi qua trung điểm $O$ của cả $AC$ và $BD$, nên $d$ cũng là đường trung trực của $CD$.

Suy ra $C$ và $D$ đối xứng nhau qua $d$. $\square$

Ví dụ 7. Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm $A$, $B$, $C$ và $D$. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường:

$$EA = EC = EB = ED = \dfrac{AC}{2}$$

Vì $E$ cách đều bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn $(E; EA)$. $\square$

Tâm đối xứng: $E$ (tâm đường tròn).

Hai đường chéo $AC$ và $BD$ đều đi qua tâm $E$ nên $AC$ và $BD$ là hai trục đối xứng của đường tròn.

b) $\triangle ABC$ vuông cân tại $B$ (vì $ABCD$ là hình vuông) nên $AB = BC = 3$ cm.

Theo định lí Pythagore:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}$$

Bán kính đường tròn:

$$R = EA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \text{ (cm)}$$

Ví dụ 8 (Bài toán mở đầu). Bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy giải thích cách làm.

Lời giải:

Khi gấp đôi mảnh giấy hình tròn sao cho hai nửa trùng khít, nếp gấp chính là một đường kính (tức một trục đối xứng đi qua tâm).

Thực hiện gấp đôi lần thứ hai theo cách khác, ta được nếp gấp thứ hai cũng là một đường kính.

Hai đường kính giao nhau tại tâm của hình tròn. Vậy giao điểm của hai nếp gấp chính là tâm cần tìm.

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 3. Tâm đối xứng của đường tròn là:

A. Tâm của đường tròn B. Điểm bất kì bên trong đường tròn C. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn D. Điểm bất kì trên đường tròn

Đáp án: A.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn?

A. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau B. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính C. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính D. Đường tròn không có trục đối xứng

Đáp án: B. Mỗi đường thẳng đi qua tâm (tức mỗi đường kính) đều là một trục đối xứng, mà có vô số đường thẳng như vậy.

Câu 5. Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ là:

A. Trung điểm cạnh $AB$ B. Trung điểm cạnh $CB$ C. Giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ D. Trung điểm cạnh $AD$

Đáp án: C. Giao điểm hai đường chéo cách đều bốn đỉnh, nên nó là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Tam giác vuông ra đường tròn đường kính cạnh huyền: Bất cứ khi nào gặp tam giác vuông, đỉnh góc vuông luôn nằm trên đường tròn nhận cạnh huyền làm đường kính. Đây là tính chất được dùng rất nhiều trong chương đường tròn.

Mẹo 2 — So sánh nhanh không cần lấy căn: Thay vì tính $OM = \sqrt{…}$ rồi so sánh với $R$, ta so sánh $OM^2$ với $R^2$ cho nhanh. Ví dụ: $OM^2 = 5$, $R^2 = 5$ thì $OM = R$ và điểm nằm trên đường tròn.

Mẹo 3 — Chứng minh trục đối xứng: Muốn chứng minh đường thẳng $d$ là trục đối xứng của $(O)$, chỉ cần chứng minh $d$ đi qua $O$ (vì mọi đường thẳng qua tâm đều là trục đối xứng).

Mẹo 4 — Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác: Tâm đường tròn ngoại tiếp = giao điểm các đường trung trực của các cạnh. Với hình vuông hoặc hình chữ nhật, đó chính là giao điểm hai đường chéo.

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du