Bài toán mở đầu

Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính 1 cm lên một tờ giấy trải phẳng. Trên tờ giấy có vẽ những đường thẳng song song cách đều, khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì nằm cạnh nhau luôn bằng 2 cm. Có thể xảy ra những trường hợp nào sau đây?

a) Đồng xu đè lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần của đường thẳng).

b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào.

c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

Để trả lời câu hỏi này, ta cần hiểu rõ ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn — nội dung chính của bài học hôm nay.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn

Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ ($d = OH$, trong đó $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $a$).

1. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung.
2. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có đúng một điểm chung $H$. Điểm $H$ gọi là tiếp điểm. Đường thẳng $a$ gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $H$.
3. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung.

Nhận xét

Nếu đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $H$ thì $OH \perp a$.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến):

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Nói cách khác: nếu $A \in (O)$ và đường thẳng $a$ đi qua $A$ sao cho $a \perp OA$ thì $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$.

Ví dụ minh hoạ

Cho $MN$ là một dây không đi qua tâm của đường tròn $(O)$. Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $MN$ cắt tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ ở điểm $P$. Chứng minh rằng $PN$ cũng là tiếp tuyến của $(O)$.

Giải:

Gọi $D$ là giao điểm của $MN$ và $OP$.

Trong tam giác cân $MON$ ($OM = ON = R$), đường cao $OD$ (do $OD \perp MN$) cũng là đường phân giác góc $O$, suy ra $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$.

Ta có $\triangle MOP$ và $\triangle NOP$: $OP$ là cạnh chung, $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$ và $OM = ON$, nên $\triangle MOP = \triangle NOP$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ONP} = \widehat{OMP} = 90°$ (vì $PM$ là tiếp tuyến tại $M$).

Vậy $PN \perp ON$ tại $N \in (O)$, theo Định lí 1, $PN$ là tiếp tuyến của $(O)$. $\square$

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

Tính chất

Định lí 2 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau):

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại điểm $M$ thì:

• Điểm $M$ cách đều hai tiếp điểm: $MA = MB$.
• $MO$ là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến: $MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$.
• $OM$ là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm: $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$.

Ví dụ minh hoạ

Cho hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ của đường tròn $(O; R)$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng $OM \perp AB$.

b) Tính $MA$ và $MB$, biết $R = 3$ cm và $MO = 5$ cm.

Giải:

a) Do $MA$, $MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên theo Định lí 2, $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$.

Trong tam giác cân $AOB$ ($OA = OB = R$), đường phân giác $OM$ cũng là đường cao, nên $OM \perp AB$. $\square$

b) Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ ($MA$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$ nên $OA \perp MA$):

$$MA^2 = OM^2 – OA^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16$$

$$MA = 4 \text{ (cm)}$$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $MB = MA = 4$ cm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng — đường tròn

Đặc điểm nhận dạng: Đề cho khoảng cách từ tâm đến đường thẳng ($d$) và bán kính ($R$), yêu cầu xác định vị trí tương đối.

Phương pháp giải: So sánh $d$ với $R$:

• $d < R$ → cắt nhau (2 điểm chung).
• $d = R$ → tiếp xúc (1 điểm chung).
• $d > R$ → không giao nhau (0 điểm chung).

Ví dụ 1. Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$ cách $a$ một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng $a$. Tại sao?

a) $(O; 3\text{ cm})$ $\quad$ b) $(O; 5\text{ cm})$ $\quad$ c) $(O; 4\text{ cm})$

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách $d = 4$ cm.

a) $R = 3 < d = 4$ → Đường tròn và đường thẳng $a$ không giao nhau.

b) $R = 5 > d = 4$ → Đường tròn và đường thẳng $a$ cắt nhau (có 2 điểm chung).

c) $R = 4 = d$ → Đường tròn và đường thẳng $a$ tiếp xúc nhau (có 1 điểm chung).

Dạng 2: Chứng minh tiếp tuyến

Đặc điểm nhận dạng: Đề yêu cầu chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải:

• Cách 1 (Định lí 1): Chỉ ra đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó.
• Cách 2 (Khoảng cách): Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính ($d = R$).

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A$, $B$ và $C$ của một tam giác cân tại $A$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là một tiếp tuyến của $(O)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$. Do $A$, $B$, $C$ thuộc $(O)$ nên $OA = OB = OC = R$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $\triangle OBC$ cân tại $O$ nên $OM \perp BC$ $\quad (*)$.

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AM \perp BC$ $\quad (**)$.

Từ $(*)$ và $(**)$: $OM$ và $AM$ cùng vuông góc với $BC$, mà cùng đi qua $M$, nên $O$, $A$, $M$ thẳng hàng, tức $OA \perp BC$.

Gọi $a$ là đường thẳng qua $A$ song song với $BC$. Vì $OA \perp BC$ và $a \parallel BC$ nên $OA \perp a$.

Mà $A \in (O)$ và $a \perp OA$ nên theo Định lí 1, $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. $\square$

Ví dụ 3. Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng đường tròn $(I; 3\text{ cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi hình vuông là $ABCD$. Giao điểm hai đường chéo là $I$.

Khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh bằng nửa cạnh hình vuông (tính chất hình vuông):

$$d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, CD) = d(I, DA) = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}$$

Bán kính $R = 3$ cm, mà $d = 3 = R$ nên đường tròn $(I; 3)$ tiếp xúc với mỗi cạnh. $\square$

Dạng 3: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Đặc điểm nhận dạng: Đề cho hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài, yêu cầu tính độ dài, góc hoặc chứng minh tính chất.

Phương pháp giải:

• $MA = MB$ (hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau).
• $OM$ phân giác $\widehat{AOB}$, $MO$ phân giác $\widehat{AMB}$.
• Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (tiếp tuyến vuông góc bán kính) → dùng Pythagore, TSLG.

Ví dụ 4. Cho hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$, biết $\widehat{AMB} = 50°$. Tính số đo cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ và cung lớn $\overset{\frown}{AB}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $MA$, $MB$ là tiếp tuyến nên $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90°$.

Tứ giác $OAMB$ có tổng bốn góc $= 360°$:

$$\widehat{AOB} = 360° – 90° – 90° – 50° = 130°$$

Cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$: $\text{sđ} = \widehat{AOB} = 130°$.

Cung lớn $\overset{\frown}{AB}$: $\text{sđ} = 360° – 130° = 230°$.

Ví dụ 5. Cho hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $N$, biết $\widehat{CND} = 60°$. Tính $\widehat{DNO}$ và $\widehat{CON}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $NC = ND$ (hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau) nên $NO$ là phân giác $\widehat{CND}$:

$$\widehat{DNO} = \dfrac{60°}{2} = 30°$$

Trong $\triangle ONC$ vuông tại $C$ ($NC$ là tiếp tuyến nên $OC \perp NC$):

$$\widehat{CON} = 90° – \widehat{ONC} = 90° – 30° = 60°$$

Dạng 4: Bài toán tổng hợp (tiếp tuyến kết hợp hình phẳng)

Đặc điểm nhận dạng: Bài toán phức hợp: chứng minh tiếp tuyến, đường thẳng song song, tính chu vi, chứng minh bằng nhau…

Phương pháp giải: Kết hợp các tính chất của tiếp tuyến (vuông góc bán kính, hai tiếp tuyến cắt nhau) với tính chất tam giác, tứ giác.

Ví dụ 6. Cho $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

Lời giải chi tiết:

Chu vi $\triangle SEF$: $P = SE + EF + SF$ $\quad (*)$

Vì $EA$ và $EM$ là hai tiếp tuyến từ $E$ đến $(O)$ nên $EA = EM$.

Vì $FB$ và $FM$ là hai tiếp tuyến từ $F$ đến $(O)$ nên $FB = FM$.

$$EF = EM + MF = EA + FB$$

Thay vào $(*)$:

$$P = SE + EA + FB + SF = SA + SB$$

Vậy chu vi $\triangle SEF = SA + SB$. $\square$

b) Giả sử $M$ là giao điểm của đoạn $SO$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $SE = SF$.

Lời giải chi tiết:

Khi $M$ là giao điểm $SO$ với $(O)$ thì $M$ nằm trên $SO$.

Vì $SO$ là phân giác $\widehat{ASB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với $SO$ tại $M$.

Tam giác $SEF$ có $SO$ là phân giác góc $S$ và $EF \perp SO$, nên $\triangle SEF$ cân tại $S$, suy ra $SE = SF$. $\square$

Ví dụ 7. Cho góc $xOy$ với tia phân giác $Ot$ và điểm $A$ trên cạnh $Ox$, điểm $B$ trên cạnh $Oy$ sao cho $OA = OB$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $Ox$ cắt $Ot$ tại $M$. Chứng minh rằng $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(M; MA)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $Ot$ là phân giác $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt} = \widehat{yOt}$, hay $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$: $OM$ chung, $OA = OB$ (gt), $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.

Suy ra $\triangle OAM = \triangle OBM$ (c.g.c).

Do đó $MA = MB$ và $\widehat{OBM} = \widehat{OAM} = 90°$ (vì đường thẳng qua $A$ vuông góc với $Ox$).

Vì $MA = MB$ nên $A$, $B$ thuộc đường tròn $(M; MA)$.

Vì $OA \perp MA$ tại $A \in (M; MA)$ nên $OA$ (hay đường thẳng $Ox$) là tiếp tuyến tại $A$.

Vì $OB \perp MB$ tại $B \in (M; MA)$ nên $OB$ (hay đường thẳng $Oy$) là tiếp tuyến tại $B$.

Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại $O$, nên $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(M; MA)$. $\square$

Ví dụ 8. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4, 6, 7 và 8 cm để dán trang trí trên mảnh giấy có hai đường thẳng $a$ và $b$ song song, cách nhau 6 cm. Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng $b$ thì hình tròn nào sẽ che khuất một phần đường thẳng $a$, hình tròn nào sẽ không?

Lời giải chi tiết:

Tâm mỗi hình tròn nằm trên $b$, khoảng cách từ tâm đến $a$ là $d = 6$ cm.

Hình tròn che khuất $a$ khi đường tròn cắt $a$ (tức $R > d = 6$):

• $R = 4 < 6$: không che khuất $a$.
• $R = 6 = 6$: đường tròn tiếp xúc $a$ (chạm $a$ tại 1 điểm, coi như không che khuất phần nào).
• $R = 7 > 6$: che khuất một phần $a$.
• $R = 8 > 6$: che khuất một phần $a$.

Bài tập trắc nghiệm (từ giáo án):

Câu 1. Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$. Đường thẳng $a$ cắt đường tròn $(O)$ khi:

A. $d < R$ B. $d = R$ C. $d > R$ D. $d \geq R$

Đáp án: A.

Câu 2. Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ khi:

A. $d < R$ B. $d = R$ C. $d > R$ D. $d \neq R$

Đáp án: B.

Câu 3. Nếu hai tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn $(O)$ tiếp xúc tại $A$ và $B$ thì:

A. $MA > MB$ B. $MA < MB$ C. $MA = MB$ D. Không so sánh được

Đáp án: C. Hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài bằng nhau.

Câu 4. Cho hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau tại $M$, $\widehat{AMB} = 50°$. Số đo cung nhỏ và cung lớn $\overset{\frown}{AB}$ lần lượt là:

A. $130°$; $250°$ B. $230°$; $130°$ C. $130°$; $230°$ D. $150°$; $210°$

Đáp án: C.

Câu 5. Cho hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của $(O)$ cắt nhau tại $N$, $\widehat{CND} = 60°$. Tính $\widehat{DNO}$ và $\widehat{CON}$:

A. $45°$; $45°$ B. $60°$; $30°$ C. $35°$; $55°$ D. $30°$; $60°$

Đáp án: D.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chứng minh tiếp tuyến nhanh: Chỉ cần chỉ ra hai điều: (1) điểm nằm trên đường tròn, (2) đường thẳng vuông góc bán kính tại điểm đó.

Mẹo 2 — Tứ giác OAMB: Khi có hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ thì tứ giác $OAMB$ có $\widehat{A} = \widehat{B} = 90°$, nên $\widehat{AOB} + \widehat{AMB} = 180°$. Công thức này giúp tính góc cực nhanh.

Mẹo 3 — Pythagore trong tam giác tiếp tuyến: $\triangle OAM$ luôn vuông tại $A$: $MA = \sqrt{OM^2 – R^2}$.

Mẹo 4 — Chu vi tam giác tạo bởi tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến tại $M$ cắt hai tiếp tuyến $SA$, $SB$ tại $E$, $F$ thì chu vi $\triangle SEF = SA + SB$ (không đổi khi $M$ di chuyển).

Tổng kết

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du