1. Phép thử ngẫu nhiên là gì?

Ở lớp 8, ta đã làm quen với những hành động, thực nghiệm đơn giản mà kết quả không thể biết trước khi thực hiện (ví dụ: gieo một đồng xu, gieo một con xúc xắc). Trong bài này, ta sẽ gặp những hành động, thực nghiệm phức tạp hơn, có thể được tiến hành liên tiếp hoặc đồng thời.

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoặc một số hành động, thực nghiệm được tiến hành liên tiếp hay đồng thời, mà:

• Kết quả của chúng không thể biết trước khi thực hiện.
• Nhưng có thể liệt kê được tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ: Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu là một phép thử ngẫu nhiên. Ta không biết trước kết quả, nhưng có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

2. Không gian mẫu là gì?

Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

Không gian mẫu được kí hiệu là $\Omega$ (đọc là “ô-mê-ga”).

Cách liệt kê không gian mẫu: Khi phép thử gồm nhiều bước (liên tiếp hoặc đồng thời), ta thường dùng bảng kê (bảng hai chiều) để liệt kê tất cả các kết quả có thể. Mỗi ô trong bảng là một kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ minh họa 1: Phép thử thực hiện đồng thời

Bạn Minh gieo một con xúc xắc và bạn Hà gieo một đồng xu. Quan sát số chấm trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là bạn Minh gieo một con xúc xắc và bạn Hà gieo một đồng xu. Kết quả của phép thử là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc và mặt xuất hiện của đồng xu (mặt sấp S hoặc mặt ngửa N).

b) Ta liệt kê tất cả các kết quả có thể bằng bảng:

Mỗi ô trong bảng là một kết quả có thể xảy ra. Không gian mẫu là:

$$\Omega = {(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S); (1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)}$$

Vậy không gian mẫu có 12 phần tử.

Ví dụ minh họa 2: Phép thử lấy lần lượt không trả lại

Một hộp kín đựng 3 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1, 2, 3. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Quan sát hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Phép thử là lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng lấy ra lần đầu không trả lại. Kết quả là một cặp số $(a, b)$, trong đó $a$ là số trên quả bóng lần 1 và $b$ là số trên quả bóng lần 2.

Vì quả bóng lấy ra lần đầu không trả lại nên $a \neq b$.

b) Ta liệt kê bằng bảng:

Vì $a \neq b$ nên các cặp có hai số trùng nhau bị loại (gạch bỏ): $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(3, 3)$.

Không gian mẫu:

$$\Omega = {(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); (3, 2)}$$

Vậy không gian mẫu có 6 phần tử.

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Phép thử thực hiện đồng thời hoặc liên tiếp có trả lại

Phương pháp giải:

• Xác định phép thử: mô tả hành động thực hiện.
• Xác định kết quả: mỗi kết quả thường là một cặp (bộ) giá trị.
• Lập bảng kê hai chiều: hàng ứng với kết quả lần 1 (hoặc hành động 1), cột ứng với kết quả lần 2 (hoặc hành động 2).
• Khi có trả lại (hoặc thực hiện đồng thời các phép thử độc lập), tất cả các ô trong bảng đều là kết quả hợp lệ.
• Đếm số ô → số phần tử của không gian mẫu.

Ví dụ: (Bài 8.1 SGK)

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con và quan sát giới tính của hai người con đó.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Lời giải chi tiết:

a) Phép thử là chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con và quan sát giới tính của hai người con. Kết quả là giới tính của con thứ nhất và con thứ hai (Trai – T hoặc Gái – G).

b) Ta liệt kê bằng bảng:

Không gian mẫu:

$$\Omega = {(T, T); (T, G); (G, T); (G, G)}$$

Không gian mẫu có 4 phần tử.

Giải thích: Ở đây ta phân biệt con thứ nhất và con thứ hai, nên $(T, G)$ (con đầu trai, con sau gái) khác $(G, T)$ (con đầu gái, con sau trai).

Dạng 2: Phép thử lấy lần lượt không trả lại

Phương pháp giải:

• Xác định phép thử và kết quả tương tự Dạng 1.
• Lập bảng kê hai chiều.
• Loại bỏ các ô có hai giá trị trùng nhau (vì phần tử đã lấy ra không được trả lại, nên hai lần lấy phải cho kết quả khác nhau).
• Đếm số ô còn lại → số phần tử của không gian mẫu.

Ví dụ: (Bài 8.2 SGK)

Một hộp đựng 5 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải chi tiết:

a) Phép thử là rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại. Kết quả là cặp số $(a, b)$, trong đó $a$ là số trên thẻ lần 1, $b$ là số trên thẻ lần 2. Vì không trả lại nên $a \neq b$.

b) Ta lập bảng kê:

Bảng có $5 \times 5 = 25$ ô, loại bỏ 5 ô trên đường chéo (có hai giá trị trùng nhau).

Không gian mẫu có $25 – 5 = \textbf{20}$ phần tử.

$$\Omega = \{(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2);$$
$$(3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4)\}$$

Dạng 3: Phép thử chọn từ nhiều nhóm

Phương pháp giải:

• Phép thử gồm việc chọn một phần tử từ mỗi nhóm.
• Lập bảng kê: hàng ứng với các phần tử nhóm 1, cột ứng với các phần tử nhóm 2.
• Tất cả các ô đều hợp lệ (vì chọn từ hai nhóm khác nhau, không có trùng nhau).
• Số phần tử không gian mẫu = (số phần tử nhóm 1) × (số phần tử nhóm 2).

Ví dụ: (Bài 8.3 SGK)

Có hai nhóm học sinh: Nhóm I có ba học sinh nam là Huy, Sơn, Tùng; nhóm II có ba học sinh nữ là Hồng, Phương, Linh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải chi tiết:

a) Phép thử là chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm. Kết quả là cặp tên $(M, N)$, trong đó $M$ là tên học sinh nam được chọn từ nhóm I và $N$ là tên học sinh nữ được chọn từ nhóm II.

b) Ta lập bảng kê:

Không gian mẫu:

$$\Omega = \{(\text{Huy, Hồng}); (\text{Huy, Phương}); (\text{Huy, Linh}); (\text{Sơn, Hồng}); (\text{Sơn, Phương});$$
$$(\text{Sơn, Linh}); (\text{Tùng, Hồng}); (\text{Tùng, Phương}); (\text{Tùng, Linh})\}$$

Không gian mẫu có $3 \times 3 = \textbf{9}$ phần tử.

Dạng 4: Phép thử sắp xếp thứ tự

Phương pháp giải:

• Phép thử là sắp xếp ngẫu nhiên các phần tử theo một thứ tự.
• Liệt kê tất cả các hoán vị có thể.
• Với $n$ phần tử, số cách sắp xếp (số hoán vị) = $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$.
  • 2 phần tử: $2! = 2$ cách.
  • 3 phần tử: $3! = 6$ cách.
  • 4 phần tử: $4! = 24$ cách.

Ví dụ: (Bài 8.4 SGK)

Xếp ngẫu nhiên ba bạn Mai, Việt, Lan trên một chiếc ghế dài.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải chi tiết:

a) Phép thử là xếp ngẫu nhiên ba bạn Mai (M), Việt (V), Lan (L) trên một chiếc ghế dài. Kết quả là thứ tự ngồi của ba bạn từ trái sang phải.

b) Ta liệt kê tất cả các cách sắp xếp 3 bạn:

• Nếu Mai ngồi đầu: M-V-L, M-L-V
• Nếu Việt ngồi đầu: V-M-L, V-L-M
• Nếu Lan ngồi đầu: L-M-V, L-V-M

Không gian mẫu:

$$\Omega = {MVL; MLV; VML; VLM; LMV; LVM}$$

Không gian mẫu có $3! = 3 \times 2 \times 1 = \textbf{6}$ phần tử.

Dạng 5: Phép thử rút thăm (lấy đồng thời hoặc lần lượt không trả lại, không phân biệt thứ tự)

Phương pháp giải:

• Đây là bài toán kiểu “rút thăm” hoặc “tặng quà”: chọn ra một số phần tử từ tập hợp, không phân biệt thứ tự.
• Lập bảng kê hoặc liệt kê hệ thống.
• Loại bỏ các trường hợp trùng (nếu $(A, B)$ và $(B, A)$ là cùng một kết quả thì chỉ tính một lần).

Ví dụ: (Luyện tập 2 SGK – Tình huống mở đầu)

Một cửa hàng muốn tặng quà cho hai trong bốn khách hàng có lượng mua nhiều nhất trong tháng, kí hiệu là A, B, C, D. Việc rút thăm được tiến hành: viết tên 4 khách hàng vào 4 lá phiếu, rút lần lượt 2 lá phiếu, phiếu rút ra không trả lại.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Lời giải chi tiết:

a) Phép thử là rút ngẫu nhiên lần lượt 2 lá phiếu từ hộp, phiếu rút ra không trả lại. Kết quả là cặp tên hai khách hàng được chọn.

b) Hai khách hàng được chọn nhận quà giống nhau, nên không phân biệt thứ tự rút. Tức là rút A rồi rút B cho kết quả giống rút B rồi rút A.

Ta lập bảng kê (chỉ lấy các ô phía trên đường chéo):

Không gian mẫu:

$$\Omega = {{A, B}; {A, C}; {A, D}; {B, C}; {B, D}; {C, D}}$$

Không gian mẫu có 6 phần tử.

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Đếm nhanh số phần tử không gian mẫu:

Mẹo 2 – Luôn dùng bảng kê: Khi phép thử có 2 bước, lập bảng hai chiều là cách an toàn nhất để không liệt kê sót hay thừa. Hàng = bước 1, cột = bước 2, mỗi ô = một kết quả.

Mẹo 3 – Xác định nhanh “có thứ tự” hay “không thứ tự”: Hỏi: “Nếu đổi thứ tự, kết quả có khác nhau không?”. Nếu khác (ví dụ: vị trí ngồi khác nhau) → có thứ tự. Nếu giống (ví dụ: cùng nhận quà) → không thứ tự.

Mẹo 4 – Gạch bỏ đường chéo trên bảng kê: Khi lấy không trả lại, chỉ cần gạch bỏ các ô trên đường chéo chính (các ô có 2 giá trị trùng nhau). Số ô còn lại = số phần tử không gian mẫu (nếu có thứ tự), hoặc chia đôi (nếu không thứ tự).

6. Tổng kết

• Phép thử ngẫu nhiên là hành động/thực nghiệm mà kết quả không thể biết trước nhưng có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.
• Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
• Để liệt kê không gian mẫu khi phép thử gồm 2 bước, ta dùng bảng kê hai chiều.
• Khi lấy không trả lại, cần loại bỏ các kết quả có giá trị trùng nhau (gạch bỏ đường chéo trên bảng).
• Cần phân biệt rõ phép thử có thứ tự ($(A, B) \neq (B, A)$) và không có thứ tự (${A, B} = {B, A}$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du