1. Kết quả thuận lợi cho một biến cố liên quan tới phép thử

Biến cố là gì?

Khi thực hiện một phép thử, ta quan tâm đến những sự kiện nhất định có xảy ra hay không. Những sự kiện đó gọi là biến cố. Việc biến cố xảy ra hay không tùy thuộc vào kết quả của phép thử.

Ví dụ: Khi gieo một con xúc xắc hai lần, biến cố “cả hai lần đều xuất hiện số chấm là số nguyên tố” có xảy ra hay không phụ thuộc vào kết quả cụ thể của hai lần gieo.

Kết quả thuận lợi

Cho phép thử $T$. Xét biến cố $E$ liên quan tới phép thử $T$. Kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố $E$ xảy ra được gọi là kết quả thuận lợi cho $E$.

Nói cách khác, trong tất cả các kết quả có thể (không gian mẫu $\Omega$), những kết quả nào thỏa mãn điều kiện của biến cố $E$ thì được gọi là kết quả thuận lợi cho $E$.

Ví dụ minh họa

Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 5 hình quạt bằng nhau, đánh số 1, 2, 3, 4, 5, gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Bạn Tuấn quay tấm bìa hai lần, ghi lại số của hình quạt mà mũi tên chỉ vào.

a) Phép thử là gì? Mô tả không gian mẫu.

b) Xét biến cố $E$: “Tổng hai số ở hai lần quay bằng 7”. Mô tả kết quả thuận lợi cho $E$.

c) Xét biến cố $F$: “Tích hai số ở hai lần quay bằng 10”. Mô tả kết quả thuận lợi cho $F$.

Lời giải:

a) Phép thử là quay tấm bìa hai lần. Kết quả là cặp số $(a, b)$ với $a, b \in {1, 2, 3, 4, 5}$.

Lập bảng liệt kê:

Không gian mẫu $\Omega$ có $5 \times 5 = 25$ phần tử.

b) Biến cố $E$: $a + b = 7$.

Các cặp thỏa mãn: $(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)$ → có 4 kết quả thuận lợi cho $E$.

c) Biến cố $F$: $a \times b = 10$.

Các cặp thỏa mãn: $(2, 5), (5, 2)$ → có 2 kết quả thuận lợi cho $F$.

2. Tính xác suất của biến cố khi các kết quả của phép thử đồng khả năng

Công thức tính xác suất

Giả sử các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng (tức là khả năng xảy ra của mỗi kết quả là như nhau). Khi đó xác suất $P(E)$ của biến cố $E$ được tính bằng:

$$\boxed{P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}}$$

Trong đó:

• $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử $T$.
• $n(E)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.
• $n(\Omega)$ là tổng số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.

Lưu ý: Xác suất luôn thỏa mãn $0 \leq P(E) \leq 1$.

Các bước tính xác suất của một biến cố

Bước 1. Mô tả không gian mẫu $\Omega$ của phép thử. Xác định $n(\Omega)$.

Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng (ví dụ: xúc xắc cân đối, rút thẻ ngẫu nhiên, xếp chỗ ngẫu nhiên,…).

Bước 3. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$. Xác định $n(E)$.

Bước 4. Tính xác suất: $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$.

Ví dụ minh họa

Ba bạn Hà, Minh, Tú được xếp ngẫu nhiên ngồi trên một hàng ghế có ba chỗ ngồi. Tính xác suất của các biến cố:

a) $E$: “Hà không ngồi ngoài cùng bên trái”;

b) $F$: “Minh và Tú không ngồi cạnh nhau”.

Lời giải:

Kí hiệu Hà (H), Minh (M), Tú (T). Liệt kê tất cả các cách xếp:

• H ngồi bên trái: HMT, HTM
• M ngồi bên trái: MHT, MTH
• T ngồi bên trái: THM, TMH

Không gian mẫu: $\Omega = {HMT;, HTM;, MHT;, MTH;, THM;, TMH}$, có $n(\Omega) = 6$.

Vì xếp ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng.

a) Biến cố $E$: H không ngồi bên trái → loại HMT, HTM.

Kết quả thuận lợi: MHT, MTH, THM, TMH → $n(E) = 4$.

$$P(E) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$

b) Biến cố $F$: M và T không ngồi cạnh nhau.

Kiểm tra từng cách xếp:

Kết quả thuận lợi: MHT, THM → $n(F) = 2$.

$$P(F) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính xác suất trong phép thử quan sát giới tính

Phương pháp giải:

• Liệt kê không gian mẫu (T = trai, G = gái).
• Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố.
• Áp dụng $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$.

Ví dụ: (Bài 8.5 SGK)

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Giả thiết biến cố “Sinh con trai” và “Sinh con gái” là đồng khả năng. Tính xác suất:

$A$: “Gia đình đó có cả con trai và con gái”;

$B$: “Gia đình đó có con trai”.

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu: $\Omega = {TT;, TG;, GT;, GG}$, $n(\Omega) = 4$. Các kết quả đồng khả năng.

Biến cố $A$: Có cả trai và gái → cần ít nhất 1 trai VÀ ít nhất 1 gái.

Kết quả thuận lợi: TG, GT → $n(A) = 2$.

$$P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Biến cố $B$: Có con trai → cần ít nhất 1 trai.

Kết quả thuận lợi: TT, TG, GT → $n(B) = 3$.

$$P(B) = \dfrac{3}{4}$$

Dạng 2: Tính xác suất khi gieo hai con xúc xắc

Phương pháp giải:

• Không gian mẫu luôn có $6 \times 6 = 36$ phần tử.
• Lập bảng $6 \times 6$, duyệt bảng tìm kết quả thuận lợi.
• Phân biệt “đúng một” (chỉ 1 con thỏa, con kia không thỏa) và “ít nhất một” (1 hoặc cả 2 con thỏa).

Ví dụ: (Bài 8.6 SGK)

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất:

$E$: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”;

$F$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”;

$G$: “Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 6”.

Lời giải chi tiết:

$n(\Omega) = 36$. Các kết quả đồng khả năng (xúc xắc cân đối).

Biến cố $E$: Đúng một con xuất hiện 6 chấm (con còn lại khác 6).

• Con I = 6, con II ≠ 6: $(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)$ → 5 kết quả.
• Con I ≠ 6, con II = 6: $(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)$ → 5 kết quả.

$n(E) = 5 + 5 = 10$.

$$P(E) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$$

Biến cố $F$: Ít nhất một con xuất hiện 6 chấm.

Gồm tất cả kết quả của $E$ cộng thêm trường hợp cả hai đều 6 chấm: $(6, 6)$.

$n(F) = 10 + 1 = 11$.

$$P(F) = \dfrac{11}{36}$$

Biến cố $G$: Tích $a \times b \leq 6$.

Duyệt theo từng giá trị của $a$:

• $a = 1$: $1 \times b \leq 6$ với mọi $b \in {1,…,6}$ → 6 cặp.
• $a = 2$: $2b \leq 6 \Leftrightarrow b \leq 3$ → $(2,1), (2,2), (2,3)$ → 3 cặp.
• $a = 3$: $3b \leq 6 \Leftrightarrow b \leq 2$ → $(3,1), (3,2)$ → 2 cặp.
• $a = 4$: $4b \leq 6 \Leftrightarrow b \leq 1{,}5$ → $(4,1)$ → 1 cặp.
• $a = 5$: $5b \leq 6 \Leftrightarrow b \leq 1{,}2$ → $(5,1)$ → 1 cặp.
• $a = 6$: $6b \leq 6 \Leftrightarrow b \leq 1$ → $(6,1)$ → 1 cặp.

$n(G) = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14$.

$$P(G) = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}$$

Dạng 3: Tính xác suất khi gieo đồng xu và rút thẻ

Phương pháp giải:

• Lập bảng kê: hàng = kết quả rút thẻ, cột = kết quả gieo đồng xu.
• $n(\Omega) = (\text{số thẻ}) \times 2$.
• Lưu ý phân biệt biến cố “VÀ” (cả hai thỏa mãn) với “HOẶC” (ít nhất một thỏa mãn).

Ví dụ: (Bài 8.7 SGK)

Bạn An gieo một đồng xu cân đối và bạn Bình rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp chứa 5 tấm thẻ ghi số 1, 2, 3, 4, 5. Tính xác suất:

$E$: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

$F$: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

$G$: “Rút được tấm thẻ ghi số 5 hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng kê:

$n(\Omega) = 10$. Các kết quả đồng khả năng.

Biến cố $E$: Thẻ ghi số lẻ. Số lẻ trong ${1, 2, 3, 4, 5}$: 1, 3, 5.

Kết quả thuận lợi: $(1, S), (1, N), (3, S), (3, N), (5, S), (5, N)$ → $n(E) = 6$.

$$P(E) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$$

Biến cố $F$: Thẻ số chẵn VÀ đồng xu sấp. Số chẵn: 2, 4.

Kết quả thuận lợi: $(2, S), (4, S)$ → $n(F) = 2$.

$$P(F) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$$

Biến cố $G$: Thẻ ghi số 5 HOẶC đồng xu ngửa.

• Thẻ số 5: $(5, S), (5, N)$ → 2 kết quả.
• Đồng xu ngửa (chưa tính trùng): $(1, N), (2, N), (3, N), (4, N)$ → 4 kết quả.

(Lưu ý: $(5, N)$ đã tính ở trường hợp đầu nên không tính lại.)

$n(G) = 2 + 4 = 6$.

$$P(G) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$$

Dạng 4: Tính xác suất khi rút thẻ từ hai túi

Phương pháp giải:

• Lập bảng kê: hàng = thẻ túi I, cột = thẻ túi II.
• Tính giá trị yêu cầu (tổng, tích, ghép số,…) cho từng ô.
• Đếm ô thỏa mãn điều kiện biến cố.

Ví dụ 1: (Luyện tập 2 SGK)

Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ ghi số 2; 3; 7. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ, ghép thành số hai chữ số (thẻ túi I là hàng chục). Tính xác suất:

a) $A$: “Số tạo thành chia hết cho 4”;

b) $B$: “Số tạo thành là số nguyên tố”.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng các số tạo thành:

$\Omega = {22, 23, 27, 32, 33, 37, 72, 73, 77}$, $n(\Omega) = 9$. Các kết quả đồng khả năng.

a) $A$: Số chia hết cho 4.

Kiểm tra: $32 \div 4 = 8$ ✓; $72 \div 4 = 18$ ✓. Các số còn lại không chia hết cho 4.

$n(A) = 2$. → $P(A) = \dfrac{2}{9}$

b) $B$: Số nguyên tố.

Kiểm tra: 23 ✓; 37 ✓; 73 ✓. Các số 22, 27, 32, 33, 72, 77 không phải số nguyên tố.

$n(B) = 3$. → $P(B) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Ví dụ 2: (Bài 8.8 SGK)

Có hai túi I và II, mỗi túi chứa 4 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3, 4. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số trên hai tấm thẻ với nhau. Tính xác suất:

$A$: “Kết quả là một số lẻ”;

$B$: “Kết quả là 1 hoặc một số nguyên tố”.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng tích $a \times b$:

$n(\Omega) = 16$. Các kết quả đồng khả năng.

Biến cố $A$: Tích là số lẻ → cả hai số đều phải lẻ. Số lẻ trong ${1, 2, 3, 4}$: 1, 3.

Kết quả thuận lợi: $(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)$ → $n(A) = 4$.

$$P(A) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$$

Biến cố $B$: Tích là 1 hoặc số nguyên tố. Các tích có thể xuất hiện: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16. Trong đó, 1 và các số nguyên tố là: 1, 2, 3.

• Tích = 1: $(1, 1)$ → 1 cặp.
• Tích = 2: $(1, 2), (2, 1)$ → 2 cặp.
• Tích = 3: $(1, 3), (3, 1)$ → 2 cặp.

$n(B) = 1 + 2 + 2 = 5$.

$$P(B) = \dfrac{5}{16}$$

Dạng 5: Tính xác suất trong bài toán sinh học (phép lai)

Phương pháp giải:

• Xác định kiểu gene bố, mẹ → liệt kê tổ hợp gene cây con bằng bảng kê.
• Xác định kiểu hình dựa vào allele trội/lặn: có ít nhất 1 allele trội → kiểu hình trội; cả hai allele đều lặn → kiểu hình lặn.
• Đếm kết quả thuận lợi.

Ví dụ: (Ví dụ 3 + Luyện tập 3 SGK)

Cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây bố kiểu gene (AA, Bb), cây mẹ kiểu gene (Aa, Bb). Biết: allele trội A → hạt vàng, lặn a → hạt xanh; allele trội B → hạt trơn, lặn b → hạt nhăn.

a) Tính xác suất cây con có hạt vàng và trơn.

b) Tính xác suất cây con có hạt vàng và nhăn.

Lời giải chi tiết:

Từ Bài 25, không gian mẫu:

$$\Omega = {(AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (AA, bb); (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB); (Aa, bb)}$$

$n(\Omega) = 8$. Các kết quả đồng khả năng.

a) Gọi $M$ là biến cố “Cây con có hạt vàng và trơn”.

• Hạt vàng: gene màu hạt có ít nhất 1 allele trội A → kiểu gene AA hoặc Aa → tất cả 8 kết quả đều có hạt vàng.
• Hạt trơn: gene dạng hạt có ít nhất 1 allele trội B → kiểu gene BB, Bb, hoặc bB.

Kết quả thuận lợi (hạt vàng VÀ trơn): $(AA, BB), (AA, Bb), (AA, bB), (Aa, BB), (Aa, Bb), (Aa, bB)$ → $n(M) = 6$.

$$P(M) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$$

b) Gọi $N$ là biến cố “Cây con có hạt vàng và nhăn”.

• Hạt vàng: tất cả 8 kết quả đều thỏa (như trên).
• Hạt nhăn: gene dạng hạt gồm cả hai allele lặn → kiểu gene bb.

Kết quả thuận lợi: $(AA, bb), (Aa, bb)$ → $n(N) = 2$.

$$P(N) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$$

Dạng 6: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Một hộp có 20 viên bi kích thước, khối lượng như nhau, được viết các số 1, 2, 3, …, 20 (hai viên bi khác nhau viết hai số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên viên bi được lấy ra.

A. 1, 2, 3, …, 20 B. 1, 2, 3, …, 10 C. 1, 3, 5, …, 19 D. 2, 4, 6, …, 20

Đáp án: A. Vì có 20 viên bi ghi số từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên một viên thì số xuất hiện có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 20.

Câu 2. (Cùng đề bài Câu 1) Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

A. $\dfrac{3}{10}$ B. $\dfrac{5}{20}$ C. $\dfrac{1}{3}$ D. $\dfrac{3}{20}$

Đáp án: D. Các số từ 1 đến 20 chia 7 dư 1 là: 1, 8, 15 (vì $1 = 7 \times 0 + 1$; $8 = 7 \times 1 + 1$; $15 = 7 \times 2 + 1$; $22 = 7 \times 3 + 1 > 20$). Có 3 kết quả thuận lợi → $P = \dfrac{3}{20}$.

Câu 3. 16 món ngon đặc sản đến từ các tỉnh, thành phố: cốm Vòng (Hà Nội), chả mực (Quảng Ninh), bánh đậu xanh (Hải Dương), bún cá cay (Hải Phòng), gà đồi Yên Thế (Bắc Giang), nộm da trâu (Sơn La), thắng cố (Lào Cai), miến lươn (Nghệ An), cơm hến (Huế), cá mực nhảy (Hà Tĩnh), bánh mì Hội An (Quảng Nam), sủi cảo (TP. Hồ Chí Minh), bánh canh Trảng Bàng (Tây Ninh), cá lóc nướng (Cần Thơ), cơm dừa (Bến Tre), gỏi cá (Kiên Giang). Chọn ngẫu nhiên một trong 16 món. Tính xác suất $S$: “Món ngon thuộc miền Bắc”.

A. $\dfrac{7}{16}$ B. $\dfrac{5}{16}$ C. $\dfrac{9}{16}$ D. $\dfrac{7}{12}$

Đáp án: A. Miền Bắc gồm: cốm Vòng (HN), chả mực (QN), bánh đậu xanh (HD), bún cá cay (HP), gà đồi (BG), nộm da trâu (SL), thắng cố (LC) → 7 món. $P(S) = \dfrac{7}{16}$.

Câu 4. (Cùng đề bài Câu 3) Tính xác suất $T$: “Món ngon thuộc miền Trung”.

A. $\dfrac{1}{5}$ B. $\dfrac{1}{4}$ C. $\dfrac{2}{7}$ D. $\dfrac{7}{16}$

Đáp án: B. Miền Trung gồm: miến lươn (NA), cơm hến (Huế), cá mực nhảy (HT), bánh mì Hội An (QN) → 4 món. $P(T) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$.

Câu 5. (Cùng đề bài Câu 3) Tính xác suất $U$: “Món ngon thuộc miền Nam”.

A. $\dfrac{5}{12}$ B. $\dfrac{7}{15}$ C. $\dfrac{5}{16}$ D. $\dfrac{3}{4}$

Đáp án: C. Miền Nam gồm: sủi cảo (HCM), bánh canh Trảng Bàng (TN), cá lóc nướng (CT), cơm dừa (BT), gỏi cá (KG) → 5 món. $P(U) = \dfrac{5}{16}$.

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Ghi nhớ $n(\Omega)$ thường gặp:

Mẹo 2 – Dùng phần bù cho “ít nhất”: Nếu biến cố $E$ là “ít nhất một…”, tính phần bù $\bar{E}$ = “không có cái nào…” thường dễ hơn:

$$P(E) = 1 – P(\bar{E}) = 1 – \dfrac{n(\bar{E})}{n(\Omega)}$$

Ví dụ: $F$: “Ít nhất 1 con xúc xắc xuất hiện 6” → $\bar{F}$: “Không con nào xuất hiện 6” → $n(\bar{F}) = 5 \times 5 = 25$ → $P(F) = 1 – \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.

Mẹo 3 – Tích là số lẻ ⇔ tất cả thừa số đều lẻ. Tổng chẵn ⇔ hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mẹo 4 – Đánh dấu trực tiếp trên bảng: Sau khi lập bảng, khoanh tròn các ô thỏa mãn điều kiện biến cố. Đếm số ô khoanh = $n(E)$.

6. Tổng kết

• Biến cố là sự kiện có thể xảy ra hoặc không, tùy thuộc kết quả phép thử. Kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là kết quả làm cho $E$ xảy ra.
• Khi các kết quả đồng khả năng, xác suất tính bằng:

$$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$$

• 4 bước tính xác suất: (1) Mô tả $\Omega$, tính $n(\Omega)$; (2) Kiểm tra đồng khả năng; (3) Liệt kê kết quả thuận lợi, tính $n(E)$; (4) Lập tỉ số.
• $0 \leq P(E) \leq 1$. Xác suất càng gần 1, biến cố càng dễ xảy ra; xác suất bằng 0 nghĩa là biến cố không thể xảy ra.
• Phân biệt rõ: “đúng một” ≠ “ít nhất một”; “và” ≠ “hoặc”.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du