1. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Nếu đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì ta cũng nói tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.

Cách xác định tâm: Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Do $O$ nằm trên đường trung trực của mỗi cạnh nên $O$ cách đều ba đỉnh: $OA = OB = OC = R$ (bán kính).

Giải thích: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút. Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA = OB$; nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $OB = OC$. Suy ra $OA = OB = OC$, tức ba đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm $O$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

$$R = \dfrac{\text{cạnh huyền}}{2}$$

Giải thích: Trong tam giác vuông, đường trung trực của hai cạnh góc vuông đều đi qua trung điểm của cạnh huyền (vì đường trung bình song song cạnh đáy). Do đó giao điểm ba đường trung trực chính là trung điểm cạnh huyền.

Ví dụ minh họa (tam giác vuông)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 6$ cm. Vẽ đường tròn $(O;, R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tính bán kính $R$.

Lời giải:

Lấy $O$ là trung điểm của $BC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$. Khi đó $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 36 = 45$$

$$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ (cm)}$$

Vậy $R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ cm.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$$

Giải thích: Trong tam giác đều, đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác từ cùng một đỉnh đều trùng nhau. Do đó giao điểm ba đường trung trực chính là trọng tâm.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $BM = \dfrac{a}{2}$. Xét tam giác $OBM$ vuông tại $M$ với $\widehat{OBM} = 30°$ (vì $BO$ là phân giác của $\widehat{ABC} = 60°$):

$$OB = \dfrac{BM}{\cos 30°} = \dfrac{a/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$$

Ví dụ minh họa (tam giác đều)

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $6$ cm. Vẽ đường tròn $(O;, R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tính bán kính $R$.

Lời giải:

Lấy $O$ là giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) của tam giác đều $ABC$, vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$.

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot BC = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

Cách xác định tâm: Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Bán kính $r$ bằng khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh.

Giải thích: Điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Vì $I$ là giao điểm ba đường phân giác nên $I$ cách đều ba cạnh: $ID = IE = IF = r$ (với $D$, $E$, $F$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống ba cạnh). Các cạnh vuông góc với bán kính tại điểm nằm trên đường tròn, nên đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh.

Lưu ý quan trọng:

• Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp (vì giao điểm ba đường phân giác là duy nhất).
• Có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a$$

Mối liên hệ: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$r = \dfrac{R}{2}$$

Giải thích: Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Trong tam giác đều, trọng tâm $G$ chia đường trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh. Do đó $GM = \dfrac{1}{2} \cdot GB$ (vì $GB = \dfrac{2}{3} \cdot BM \cdot \dfrac{1}{\cos 30°}$… ta tính trực tiếp):

$$GM = BM \cdot \tan 30° = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a$$

Ví dụ minh họa (tam giác ngoại tiếp đường tròn)

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Biết $\widehat{A} = 50°$, $\widehat{B} = 70°$. Tính số đo các góc $\widehat{BIC}$, $\widehat{CIA}$ và $\widehat{AIB}$.

Lời giải:

Tổng ba góc tam giác $ABC$ bằng $180°$ nên:

$$\widehat{ACB} = 180° – 50° – 70° = 60°$$

Vì tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ nên $I$ là giao điểm ba đường phân giác. Do đó:

$$\widehat{BAI} = \widehat{CAI} = \dfrac{\widehat{A}}{2} = 25°; \quad \widehat{ABI} = \widehat{CBI} = \dfrac{\widehat{B}}{2} = 35°; \quad \widehat{ACI} = \widehat{BCI} = \dfrac{\widehat{C}}{2} = 30°$$

Tính từng góc:

• Trong tam giác $BIC$: $\widehat{BIC} = 180° – \widehat{CBI} – \widehat{BCI} = 180° – 35° – 30° = 115°$
• Trong tam giác $CIA$: $\widehat{CIA} = 180° – \widehat{ACI} – \widehat{CAI} = 180° – 30° – 25° = 125°$
• Trong tam giác $AIB$: $\widehat{AIB} = 180° – \widehat{ABI} – \widehat{BAI} = 180° – 35° – 25° = 120°$

Kiểm tra: $\widehat{BIC} + \widehat{CIA} + \widehat{AIB} = 115° + 125° + 120° = 360°$ ✓ (tổng các góc quanh điểm $I$).

3. Bảng tóm tắt công thức

Lưu ý: Với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau (đều là trọng tâm), và $r = \dfrac{R}{2}$.

4. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Phương pháp giải:

• Xác định tam giác có phải tam giác vuông không (dùng định lí Pythagore đảo nếu cần).
• Tính cạnh huyền (bằng định lí Pythagore nếu chưa biết).
• Áp dụng: $R = \dfrac{\text{cạnh huyền}}{2}$.

Ví dụ: (Bài 9.7 SGK)

Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính của $(O)$, biết $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và có cạnh bên bằng $2\sqrt{2}$ cm.

Lời giải chi tiết:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB = AC = 2\sqrt{2}$ cm.

Tính cạnh huyền $BC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$$

$$BC = 4 \text{ (cm)}$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}$$

Dạng 2: Tính bán kính hoặc cạnh tam giác đều liên quan đến đường tròn ngoại tiếp

Phương pháp giải:

• Dùng công thức: $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$, suy ra $a = \sqrt{3}, R$.
• Kết hợp tính diện tích tam giác đều: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ hoặc $S = \dfrac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{đường cao}$.

Ví dụ: (Bài 9.8 SGK)

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $3$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

Từ $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$ suy ra $a = \sqrt{3}, R = 3\sqrt{3}$ cm.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường cao $AM$ của tam giác đều:

$$AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ (cm)}$$

Diện tích tam giác $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Dạng 3: Chứng minh hệ thức góc trong tam giác nội tiếp đường tròn

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất: tam giác $OAC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC = R$), suy ra $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$.
• Sử dụng tính chất trực tâm: đường cao vuông góc với cạnh đối diện.
• Biểu diễn các góc thông qua góc ở tâm hoặc góc nội tiếp.

Ví dụ: (Bài 9.9 SGK)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$ ($D \in BC$). Khi đó $AD \perp BC$, tức $\widehat{ADC} = 90°$.

Trong tam giác $ABD$ vuông tại $D$:

$$\widehat{BAH} = \widehat{BAD} = 90° – \widehat{ABD} = 90° – \widehat{ABC} \quad (1)$$

Xét tam giác $AOC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC = R$):

$$\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = \dfrac{180° – \widehat{AOC}}{2} = 90° – \dfrac{\widehat{AOC}}{2}$$

Mà $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm, $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp, cùng chắn cung $\overset{\frown}{AC}$ nên $\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}$. Do đó:

$$\widehat{OAC} = 90° – \dfrac{2\widehat{ABC}}{2} = 90° – \widehat{ABC} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$: $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$. $\square$

Dạng 4: Chứng minh hệ thức góc liên quan đến đường tròn nội tiếp

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất: bán kính đường tròn nội tiếp vuông góc với cạnh tam giác tại tiếp điểm.
• Trong tứ giác có hai góc vuông (bán kính ⊥ tiếp tuyến), tổng bốn góc = $360°$.
• Sử dụng tính chất đường phân giác để tính các nửa góc.

Ví dụ: (Bài 9.10 SGK)

Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt là $E$, $F$. Chứng minh $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180°$.

Lời giải chi tiết:

Vì $(I)$ tiếp xúc với $AB$ tại $E$ nên $IE \perp AB$, suy ra $\widehat{IEA} = 90°$.

Vì $(I)$ tiếp xúc với $AC$ tại $F$ nên $IF \perp AC$, suy ra $\widehat{IFA} = 90°$.

Xét tứ giác $AEIF$ có tổng bốn góc bằng $360°$:

$$\widehat{EAF} + \widehat{AEI} + \widehat{EIF} + \widehat{IFA} = 360°$$

$$\widehat{BAC} + 90° + \widehat{EIF} + 90° = 360°$$

$$\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180° \quad \square$$

Dạng 5: Tính cạnh tam giác đều từ bán kính đường tròn nội tiếp

Phương pháp giải:

• Dùng công thức: $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a$, suy ra $a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, r$.
• Hoặc dùng mối liên hệ: $r = \dfrac{R}{2}$, kết hợp $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$.

Ví dụ 1: (Bài 9.11 SGK)

Cho tam giác đều $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ biết bán kính $(I)$ bằng $1$ cm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $a$ là cạnh tam giác đều $ABC$. Ta có:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a \implies a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

Vậy các cạnh tam giác $ABC$ đều bằng $2\sqrt{3}$ cm.

Ví dụ 2: (Bài 9.12 SGK)

Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính $30$ cm. Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Đồng hồ hình tròn có đường kính $30$ cm nên bán kính $r = 15$ cm.

Khung gỗ hình tam giác đều đặt vừa khít đồng hồ, tức đường tròn đồng hồ là đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Gọi $a$ là cạnh tam giác đều:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a \implies a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times 15}{\sqrt{3}} = \dfrac{90}{\sqrt{3}} = \dfrac{90\sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

Vậy mỗi cạnh phía bên trong khung gỗ dài $30\sqrt{3} \approx 51{,}96$ cm.

Dạng 6: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn:

A. Tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó

B. Đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó

C. Cắt tất cả các cạnh của đa giác đó

D. Đi qua tâm của đa giác đó

Đáp án: B.

Giải thích: Theo định nghĩa, đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh. Còn đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh là đường tròn nội tiếp (đáp án A là mô tả đường tròn nội tiếp).

Câu 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính bằng:

A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$   B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$   C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$   D. $\dfrac{a}{6}$

Đáp án: C.

Giải thích: Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều: $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$. Còn $\dfrac{\sqrt{3}}{6}, a$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

Câu 3. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng $2$ có bán kính là:

A. $1$   B. $\sqrt{2}$   C. $2$   D. $2\sqrt{2}$

Đáp án: B.

Giải thích: Đường chéo hình vuông cạnh $2$ là $d = 2\sqrt{2}$. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có đường kính bằng đường chéo, nên $R = \dfrac{d}{2} = \sqrt{2}$.

Câu 4. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $4$ cm. Dây $AC$ có độ dài bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây $BC$ có độ dài bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (hai điểm $A$ và $C$ nằm cùng phía với $B$ so với $O$). Tính $\widehat{ACB}$?

A. $15°$   B. $45°$   C. $65°$   D. $90°$

Đáp án: A.

Giải thích: Cạnh hình vuông nội tiếp ứng với cung $90°$; cạnh tam giác đều nội tiếp ứng với cung $120°$. Cung $AC = 90°$, cung $BC = 120°$. Với $A$, $C$ cùng phía với $B$ so với $O$, cung $AB$ (cung nhỏ) $= 360° – 90° – 120° = 150°$… Cần xét vị trí cụ thể. Góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ chắn cung $AB$ nhỏ = $30°$ nên $\widehat{ACB} = \dfrac{30°}{2} = 15°$.

Câu 5. Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $4$ cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. $4{,}7$ cm   B. $4{,}6$ cm   C. $4{,}8$ cm   D. $4{,}5$ cm

Đáp án: A.

Giải thích: Ngũ giác đều chia đường tròn thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung ứng góc ở tâm $72°$. Cạnh ngũ giác đều:

$$a = 2R \sin\left(\dfrac{180°}{5}\right) = 2 \times 4 \times \sin 36° = 8 \times 0{,}5878 \approx 4{,}7 \text{ cm}$$

5. Sai lầm thường gặp

6. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Nhận diện tam giác vuông nhanh: Khi đề cho 3 cạnh, kiểm tra cạnh lớn nhất $c$: nếu $c^2 = a^2 + b^2$ thì vuông, áp dụng ngay $R = c/2$.

Mẹo 2 – Công thức chuyển đổi nhanh cho tam giác đều:

Mẹo 3 – Góc tại tâm đường tròn nội tiếp: Trong tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$:

$$\widehat{BIC} = 90° + \dfrac{\widehat{A}}{2}$$

Công thức này giúp tính nhanh mà không cần tính từng nửa góc. Ví dụ: $\widehat{A} = 50°$ thì $\widehat{BIC} = 90° + 25° = 115°$.

Mẹo 4 – Nhớ thứ tự: “Ngoại tiếp → Trung Trực” (hai chữ T), “Nội tiếp → Phân Giác” (PG đi bên trong).

7. Tổng kết

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua 3 đỉnh; tâm là giao 3 đường trung trực.
• Tam giác vuông: $R = \dfrac{\text{cạnh huyền}}{2}$, tâm ở trung điểm cạnh huyền.
• Tam giác đều cạnh $a$: $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, a$, tâm ở trọng tâm.
• Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc 3 cạnh; tâm là giao 3 đường phân giác.
• Tam giác đều cạnh $a$: $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}, a$, tâm ở trọng tâm, $r = \dfrac{R}{2}$.
• Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp và duy nhất một đường tròn nội tiếp.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du