1. Đường tròn ngoại tiếp một tứ giác

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Với mỗi tam giác cho trước, luôn tồn tại đường tròn đi qua ba đỉnh (đường tròn ngoại tiếp). Tuy nhiên, không phải mọi tứ giác đều có đường tròn đi qua bốn đỉnh.

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Nhận xét: Nếu bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên đường tròn $(O)$ thì $OA = OB = OC = OD = R$. Khi đó $O$ nằm trên đường trung trực của mỗi cạnh, tức bốn đường trung trực của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ đồng quy tại $O$.

Ví dụ minh họa: Nhận biết tứ giác nội tiếp

Xét ba hình, mỗi hình vẽ một tứ giác và một đường tròn. Hỏi hình nào vẽ tứ giác nội tiếp?

• Hình a: Tứ giác có ba đỉnh trên đường tròn, đỉnh thứ tư nằm bên trong → Không phải tứ giác nội tiếp.
• Hình b: Tứ giác có ba đỉnh trên đường tròn, đỉnh thứ tư nằm bên ngoài → Không phải tứ giác nội tiếp.
• Hình c: Cả bốn đỉnh đều nằm trên đường tròn → Là tứ giác nội tiếp.

2. Định lí về tứ giác nội tiếp

Phát biểu định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180°$.

$$\widehat{A} + \widehat{C} = 180° \quad \text{và} \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180°$$

Chứng minh

Hai điểm $B$, $D$ chia đường tròn $(O)$ thành hai cung $\overset{\frown}{BCD}$ và $\overset{\frown}{BAD}$ với:

$$\text{sđ}, \overset{\frown}{BCD} + \text{sđ}, \overset{\frown}{BAD} = 360°$$

Vì $\widehat{A}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{\frown}{BCD}$ và $\widehat{C}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{\frown}{BAD}$:

$$\widehat{A} + \widehat{C} = \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{BCD} + \dfrac{1}{2}, \text{sđ}, \overset{\frown}{BAD} = \dfrac{1}{2} \cdot 360° = 180°$$

Tương tự: $\widehat{B} + \widehat{D} = 180°$.

Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180°$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ minh họa

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường thẳng $AB$ và $DC$ cắt nhau tại $X$. Biết $\widehat{DAB} = 80°$, $\widehat{ABC} = 120°$. Tính $\widehat{BCD}$ và $\widehat{BXC}$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ nội tiếp nên các góc đối có tổng bằng $180°$:

$$\widehat{BCD} = 180° – \widehat{DAB} = 180° – 80° = 100°$$

$$\widehat{CDA} = 180° – \widehat{ABC} = 180° – 120° = 60°$$

Trong tam giác $AXD$:

$$\widehat{BXC} = \widehat{AXD} = 180° – \widehat{DAB} – \widehat{CDA} = 180° – 80° – 60° = 40°$$

3. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông

Hình chữ nhật

Trong hình chữ nhật $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường:

$$MA = MB = MC = MD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$$

Vì $M$ cách đều bốn đỉnh nên hình chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn tâm $M$.

Hình vuông

Hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt nên cũng nội tiếp được đường tròn. Với hình vuông cạnh $a$, đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ nên $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp có tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính bằng nửa đường chéo.

$$R = \dfrac{\text{đường chéo}}{2}$$

Câu hỏi thú vị: Với điểm $A$ cho trước nằm trên đường tròn $(O)$, có duy nhất một hình vuông có đỉnh $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$.

Ví dụ minh họa

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 5$ cm, $AD = 8$ cm. Vẽ đường tròn $(O;, R)$ ngoại tiếp và tính $R$.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tam giác $ABD$ vuông tại $A$:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \text{ (cm)}$$

$$R = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{\sqrt{89}}{2} \approx 4{,}72 \text{ (cm)}$$

Thử thách nhỏ

Nếu hai hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ $ABCD$ và $AECF$ chung đường chéo $AC$), thì tất cả các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn — đường tròn đường kính $AC$.

Giải thích: Mỗi hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính là đường chéo chung, nên tất cả đỉnh đều nằm trên cùng đường tròn đó.

4. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính các góc của tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải:

• Áp dụng trực tiếp: $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$ và $\widehat{B} + \widehat{D} = 180°$.
• Biết một góc → tính ngay góc đối: $\widehat{\text{góc đối}} = 180° – \widehat{\text{góc đã biết}}$.
• Nếu cần tính góc tại giao điểm hai cạnh kéo dài, sử dụng tổng góc trong tam giác.

Ví dụ: (Bài 9.18 SGK)

Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Tính các góc còn lại:

a) $\widehat{A} = 60°$, $\widehat{B} = 80°$.

$\widehat{C} = 180° – \widehat{A} = 180° – 60° = 120°$

$\widehat{D} = 180° – \widehat{B} = 180° – 80° = 100°$

b) $\widehat{B} = 70°$, $\widehat{C} = 90°$.

$\widehat{A} = 180° – \widehat{C} = 90°$

$\widehat{D} = 180° – \widehat{B} = 110°$

c) $\widehat{C} = 100°$, $\widehat{D} = 60°$.

$\widehat{A} = 180° – \widehat{C} = 80°$

$\widehat{B} = 180° – \widehat{D} = 120°$

d) $\widehat{D} = 110°$, $\widehat{A} = 80°$.

$\widehat{C} = 180° – \widehat{A} = 100°$

$\widehat{B} = 180° – \widehat{D} = 70°$

Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp và tính góc

Phương pháp giải:

• Chứng minh tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông → nội tiếp đường tròn đường kính.
• Hoặc chứng minh tổng hai góc đối = $180°$.
• Sau đó áp dụng định lí để tính góc.

Ví dụ: (Luyện tập 1 SGK)

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BE$ và $CF$. Biết $\widehat{B} = 60°$, $\widehat{C} = 80°$.

a) Chứng tỏ tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm $BC$.

b) Tính $\widehat{BFE}$ và $\widehat{CEF}$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

• $BE$ là đường cao nên $\widehat{BEC} = 90°$. Tam giác $BEC$ vuông tại $E$ với cạnh huyền $BC$, nên $E$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$: $ME = \dfrac{BC}{2}$.
• $CF$ là đường cao nên $\widehat{BFC} = 90°$. Tam giác $BFC$ vuông tại $F$ với cạnh huyền $BC$, nên $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$: $MF = \dfrac{BC}{2}$.

Vậy $MB = MC = ME = MF = \dfrac{BC}{2}$, nên tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn $(M;, MB)$. $\square$

b) Tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên tổng hai góc đối = $180°$:

$$\widehat{BFE} = 180° – \widehat{BCE} = 180° – \widehat{C} = 180° – 80° = 100°$$

$$\widehat{CEF} = 180° – \widehat{CBF} = 180° – \widehat{B} = 180° – 60° = 120°$$

Dạng 3: Chứng minh tam giác đồng dạng và đẳng thức tích (hai cát tuyến từ điểm ngoài)

Phương pháp giải:

• Bốn giao điểm trên đường tròn tạo thành tứ giác nội tiếp.
• Sử dụng tính chất: tổng hai góc đối = $180°$ → suy ra cặp góc bằng nhau (bù nhau rồi kề bù).
• Hoặc dùng góc nội tiếp cùng chắn cung để chứng minh đồng dạng.
• Từ tỉ lệ đồng dạng suy ra đẳng thức tích.

Ví dụ: (Bài 9.19 SGK)

Cho điểm $I$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Qua $I$ kẻ hai đường thẳng cắt $(O)$ tại $A$, $B$ và $C$, $D$ ($A$ nằm giữa $B$ và $I$, $C$ nằm giữa $D$ và $I$). Chứng minh $\triangle IBD \sim \triangle ICA$, $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$ và $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Lời giải chi tiết:

Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên $(O)$ nên tứ giác $ABDC$ nội tiếp.

Chứng minh $\widehat{IBD} = \widehat{ICA}$:

Vì tứ giác $ABDC$ nội tiếp nên $\widehat{ABD} + \widehat{ACD} = 180°$. Mà $\widehat{IBD} = 180° – \widehat{ABD}$ (kề bù), suy ra $\widehat{IBD} = \widehat{ACD} = \widehat{ICA}$.

Chứng minh $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$:

$\widehat{IAC}$ (tức $\widehat{BAC}$) và $\widehat{IDB}$ (tức $\widehat{BDC}$) là hai góc nội tiếp của $(O)$ cùng chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{BC}$, nên $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$.

Chứng minh đồng dạng và đẳng thức tích:

Xét $\triangle IBD$ và $\triangle ICA$: $\widehat{I}$ chung, $\widehat{IBD} = \widehat{ICA}$ (đã chứng minh). Suy ra $\triangle IBD \sim \triangle ICA$ (g.g).

Từ tỉ lệ: $\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{ID}{IA}$, nhân chéo: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$. $\square$

Dạng 4: Chứng minh hình bình hành nội tiếp là hình chữ nhật

Phương pháp giải:

• Hình bình hành: $\widehat{A} = \widehat{C}$ (góc đối bằng nhau).
• Nội tiếp: $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$.
• Suy ra: $2\widehat{A} = 180°$ → $\widehat{A} = 90°$ → hình chữ nhật.

Ví dụ: (Bài 9.20 SGK)

Cho hình bình hành $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{A} = \widehat{C}$ (hai góc đối của hình bình hành).

Vì $ABCD$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$.

Thay $\widehat{C} = \widehat{A}$: $\widehat{A} + \widehat{A} = 180°$ → $\widehat{A} = 90°$.

Hình bình hành có một góc vuông → $ABCD$ là hình chữ nhật. $\square$

Dạng 5: Chứng minh hình thang nội tiếp là hình thang cân

Phương pháp giải:

• Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$): $\widehat{A} + \widehat{D} = 180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).
• Nội tiếp: $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$.
• Suy ra: $\widehat{C} = \widehat{D}$ → hai góc đáy bằng nhau → hình thang cân.

Ví dụ: (Bài 9.21 SGK)

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{A} + \widehat{D} = 180°$ (hai góc trong cùng phía).

Vì $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$.

Từ hai đẳng thức trên: $\widehat{D} = \widehat{C}$.

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau → $ABCD$ là hình thang cân. $\square$

Dạng 6: Tính diện tích hình chữ nhật từ bán kính đường tròn ngoại tiếp

Phương pháp giải:

• $R = \dfrac{\text{đường chéo}}{2}$ → đường chéo $d = 2R$.
• Kết hợp Pythagore: $d^2 = a^2 + b^2$ và điều kiện phụ (tỉ lệ chiều dài, chiều rộng).
• Giải phương trình tìm kích thước, rồi tính diện tích.

Ví dụ: (Bài 9.22 SGK)

Tính diện tích hình chữ nhật, biết chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $2{,}5$ cm.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng là $a$, chiều dài là $2a$. Đường chéo: $d = 2R = 2 \times 2{,}5 = 5$ cm.

Theo Pythagore:

$$d^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2$$

$$25 = 5a^2 \implies a^2 = 5 \implies a = \sqrt{5} \text{ (cm)}$$

Diện tích: $S = a \cdot 2a = 2a^2 = 2 \times 5 = 10$ (cm²).

Dạng 7: Bài toán thực tế – Khung thép nửa đường tròn

Phương pháp giải:

• Xác định hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn (cạnh dài nằm trên đường kính).
• Tính bán kính: đỉnh trên hình chữ nhật nằm trên đường tròn → dùng Pythagore.
• Tính chiều dài nửa đường tròn: $L = \pi R$.

Ví dụ: (Bài 9.23 SGK)

Người ta muốn dựng khung cổng hình chữ nhật rộng $4$ m và cao $3$ m, bên ngoài được bao bởi khung thép dạng nửa đường tròn. Tính chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Hình chữ nhật rộng $4$ m, cao $3$ m nội tiếp nửa đường tròn (cạnh rộng $4$ m nằm trên đường kính).

Gọi $O$ là tâm nửa đường tròn (trung điểm đường kính). Đỉnh trên của hình chữ nhật cách $O$ một khoảng:

• Theo phương ngang: $\dfrac{4}{2} = 2$ m (nửa chiều rộng).
• Theo phương đứng: $3$ m (chiều cao).

Bán kính (khoảng cách từ $O$ đến đỉnh trên):

$$R = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{ (m)}$$

Chiều dài nửa đường tròn:

$$L = \pi R = \pi\sqrt{13} \approx 3{,}14 \times 3{,}606 \approx 11{,}32 \text{ (m)}$$

Vậy cần khoảng $11{,}32$ m thép để làm khung nửa đường tròn.

Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào đường trung trực

Phương pháp giải:

• Nếu đường trung trực của ba cạnh (hoặc ba đường chéo) $AB$, $AC$, $AD$ đồng quy tại $O$ thì $OA = OB = OC = OD$ → bốn đỉnh nằm trên đường tròn $(O;, OA)$.

Ví dụ: (Thử thách nhỏ 1 SGK)

Cho tứ giác $ABCD$, biết các đường trung trực của $AB$, $AC$, $AD$ đồng quy tại một điểm. Giải thích vì sao $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là giao điểm ba đường trung trực. Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA = OB$. Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AC$ nên $OA = OC$. Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AD$ nên $OA = OD$.

Suy ra $OA = OB = OC = OD$, nên bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn $(O;, OA)$.

Vậy $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. $\square$

Dạng 9: Hình thoi và tứ giác trung điểm

Phương pháp giải:

• Sử dụng đường trung bình tam giác: trung điểm hai cạnh nối lại song song cạnh thứ ba.
• Hình thoi có hai đường chéo vuông góc → tứ giác trung điểm là hình chữ nhật.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật = nửa đường chéo hình chữ nhật.

Ví dụ: (Luyện tập 2 SGK)

Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $3$ cm. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng tỏ $MNPQ$ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết:

$MN$ là đường trung bình tam giác $ABC$ nên $MN \parallel AC$. Tương tự: $PQ \parallel AC$, $NP \parallel BD$, $QM \parallel BD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$. Do đó $MN \perp NP$, $NP \perp PQ$, $PQ \perp QM$, $QM \perp MN$. Suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Gọi $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$. Khi đó $MO$ là đường trung bình tam giác $ABC$ nên $MO \parallel BC$ và $MO = \dfrac{BC}{2} = 1{,}5$ cm. Tương tự $PO = \dfrac{BC}{2} = 1{,}5$ cm.

Vì $M$, $O$, $P$ thẳng hàng nên $MP = MO + PO = 3$ cm. Nhưng đây là đường chéo hình chữ nhật $MNPQ$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R = \dfrac{MP}{2} = 1{,}5$ cm.

Dạng 10: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Chọn khẳng định sai:

A. $\widehat{BDC} = \widehat{BAC}$

B. $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180°$

C. $\widehat{DCB} = \widehat{BAD}$

D. $\widehat{BCA} = \widehat{BDA}$

Đáp án: C.

Giải thích: Đáp án A đúng: $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{BC}$. Đáp án B đúng: góc đối tứ giác nội tiếp. Đáp án D đúng: hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AB}$. Đáp án C sai: $\widehat{DCB}$ và $\widehat{BAD}$ là hai góc đối nên tổng = $180°$, chứ chúng không bằng nhau (trừ khi cả hai đều = $90°$).

Câu 2. Phát biểu nào sau đây sai?

A. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180°$.

B. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180°$ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

C. Tứ giác có $4$ đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp.

D. Hình thang là một tứ giác nội tiếp.

Đáp án: D.

Giải thích: Đáp án A đúng (nội dung định lí). B đúng (định lí đảo). C đúng (đúng định nghĩa). D sai: không phải mọi hình thang đều nội tiếp — chỉ hình thang cân mới nội tiếp được.

Câu 3. Cho nửa đường tròn $(O;, R)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên tia đối của tia $CB$. Kẻ tiếp tuyến $AF$ và $Bx$ của nửa đường tròn ($F$ là tiếp điểm). Tia $AF$ cắt tia $Bx$ tại $D$. Tứ giác $OBDF$ là:

A. Hình thang   B. Tứ giác nội tiếp   C. Hình thang cân   D. Hình bình hành

Đáp án: B.

Giải thích: $OF \perp AF$ (bán kính vuông góc tiếp tuyến tại tiếp điểm $F$), nên $\widehat{OFD} = 90°$. $Bx$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $OB \perp BD$, tức $\widehat{OBD} = 90°$. Tổng hai góc đối: $\widehat{OFD} + \widehat{OBD} = 90° + 90° = 180°$. Theo định lí đảo, $OBDF$ nội tiếp đường tròn.

Câu 4. Cho đường tròn $(O;, R)$ và điểm $A$ ngoài đường tròn. Qua $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM$, $AN$ ($M$, $N$ là tiếp điểm). Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và $C$ ($AB < AC$). Khẳng định nào đúng?

A. $\widehat{AMN} = \widehat{AIN}$   B. $\triangle AMB = \triangle ACM$   C. $AM^2 = AB \cdot AC$   D. $AB \cdot AM = R^2$

Đáp án: C.

Giải thích: $\triangle AMB$ và $\triangle ACM$ đồng dạng (góc $A$ chung; $\widehat{AMB} = \widehat{ACM}$ vì góc giữa tiếp tuyến và dây bằng góc nội tiếp chắn cùng cung). Từ tỉ lệ: $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AB}{AM}$, suy ra $AM^2 = AB \cdot AC$.

Câu 5. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $H$ nằm giữa $O$ và $B$. Dây $CD \perp AB$ tại $H$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy $E$, kẻ $CK \perp AE$ tại $K$. Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$. Tính $AH \cdot AB$:

A. $4AO^2$   B. $AD \cdot BD$   C. $BD^2$   D. $AD^2$

Đáp án: A.

Giải thích: Trong đường tròn đường kính $AB$, tam giác $ACB$ vuông tại $C$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Hạ đường cao $CH \perp AB$, ta có hệ thức lượng: $AC^2 = AH \cdot AB$. Mặt khác, vì $CD \perp AB$ nên $CH = CD/2$… Tuy nhiên, ta tính trực tiếp: $AO = R = \dfrac{AB}{2}$, nên $4AO^2 = 4 \cdot \dfrac{AB^2}{4} = AB^2$. Cũng bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $AH \cdot AB = AC^2$. Trong trường hợp tổng quát, đáp án đúng là A.

5. Sai lầm thường gặp

6. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Biết một góc, tính ngay góc đối: $\widehat{\text{góc đối}} = 180° – \widehat{\text{góc đã biết}}$.

Mẹo 2 – Hai góc vuông đối → nội tiếp đường tròn đường kính: Khi $\widehat{E} = \widehat{F} = 90°$ trong tứ giác $BEFC$ thì $BC$ là đường kính, tâm ở trung điểm $BC$. Rất hay dùng với hai chân đường cao.

Mẹo 3 – Hệ quả “tự động”:

• Hình bình hành + nội tiếp = hình chữ nhật.
• Hình thang + nội tiếp = hình thang cân.

Mẹo 4 – Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh $a$: $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Mẹo 5 – Hai hình chữ nhật chung đường chéo: Tất cả đỉnh cùng nằm trên đường tròn đường kính là đường chéo chung.

7. Tổng kết

• Tứ giác nội tiếp = tứ giác có 4 đỉnh trên cùng một đường tròn. Không phải mọi tứ giác đều nội tiếp được.
• Định lí cốt lõi: $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$, $\widehat{B} + \widehat{D} = 180°$. Đây cũng là điều kiện đủ để tứ giác nội tiếp (định lí đảo).
• Hình chữ nhật, hình vuông luôn nội tiếp; tâm = giao điểm đường chéo; $R = \dfrac{d}{2}$.
• Hệ quả quan trọng: HBH nội tiếp → HCN; hình thang nội tiếp → hình thang cân.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du