1. Hình trụ

Nhận biết hình trụ

Trong đời sống, nhiều đồ vật có dạng hình trụ như đèn lồng, hộp sữa, lon nước, ống cống, v.v. Hình trụ được tạo thành khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định.

Cụ thể, khi quay hình chữ nhật $O’ABO$ một vòng quanh cạnh $OO’$ cố định, ta được một hình trụ, trong đó:

• Hai đáy của hình trụ là hai hình tròn bằng nhau: $(O’;, O’A)$ và $(O;, OB)$.
• Đường sinh là mỗi vị trí của cạnh $AB$ khi quay. Hình trụ có vô số đường sinh và các đường sinh đều bằng nhau.
• Bán kính đáy: $R = O’A = OB$.
• Chiều cao: $h = OO’$ (khoảng cách giữa hai đáy). Các đường sinh bằng nhau và bằng chiều cao.

Tóm tắt các yếu tố của hình trụ:

Chú ý: Ở hình trụ, đường sinh luôn bằng chiều cao: $l = h$.

Hình khai triển của hình trụ

Nếu cắt rời hai đáy và cắt theo một đường sinh rồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển của hình trụ gồm: hai hình tròn (hai đáy) và một hình chữ nhật (mặt xung quanh). Hình chữ nhật này có một cạnh bằng chiều cao $h$, cạnh còn lại bằng chu vi đáy $2\pi R$.

Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Vì mặt xung quanh khi trải phẳng là hình chữ nhật có hai cạnh là $2\pi R$ và $h$, nên:

Diện tích xung quanh của hình trụ:

$$S_{xq} = 2\pi Rh$$

trong đó $R$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

Thể tích của hình trụ:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \pi R^2 h$$

trong đó $S_{\text{đáy}} = \pi R^2$ là diện tích đáy, $R$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

Diện tích toàn phần (gồm mặt xung quanh và hai đáy):

$$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{\text{đáy}} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)$$

Ví dụ minh họa

Bác Hùng dự định sơn lại một thùng chứa đồ có dạng hình trụ (sơn mặt ngoài và một đáy là nắp) có bán kính đáy bằng $9$ cm, chiều cao bằng $25$ cm.

a) Tính diện tích phần cần sơn của thùng.

b) Tính thể tích của thùng (làm tròn đến hàng đơn vị của cm³).

Lời giải:

Theo đề bài: $R = 9$ cm, $h = 25$ cm.

a) Phần cần sơn gồm mặt xung quanh và một đáy.

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 9 \cdot 25 = 450\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích một đáy:

$$S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích cần sơn:

$$S = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 450\pi + 81\pi = 531\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Thể tích của thùng:

$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 81 \cdot 25 = 2025\pi \approx 6362 \text{ (cm}^3\text{)}$$

2. Hình nón

Nhận biết hình nón

Nhiều đồ vật trong đời sống có dạng hình nón như nón lá, kem ốc quế, mũ sinh nhật, đống muối trên cánh đồng, v.v. Hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Cụ thể, khi quay tam giác vuông $SOA$ (vuông ở $O$) một vòng quanh cạnh $SO$ cố định, ta được một hình nón đỉnh $S$, trong đó:

• Đáy của hình nón là hình tròn $(O;, OA)$.
• Bán kính đáy: $r = OA$.
• Đường sinh là mỗi vị trí của cạnh $SA$ khi quay. Hình nón có vô số đường sinh dài bằng nhau.
• Đường cao: $SO$. Chiều cao $h = SO$.
• Đỉnh của hình nón: $S$.

Tóm tắt các yếu tố của hình nón:

Quan hệ giữa các yếu tố: Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ nên theo định lí Pythagore:

$$l^2 = h^2 + r^2$$

Hình khai triển của hình nón

Nếu cắt rời đáy và cắt mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được hình khai triển của hình nón gồm: một hình tròn (đáy) và một hình quạt tròn (mặt xung quanh). Hình quạt có bán kính bằng đường sinh $l$ và độ dài cung bằng chu vi đáy $2\pi r$.

Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón:

$$S_{xq} = \pi r l$$

trong đó $r$ là bán kính đáy, $l$ là độ dài đường sinh.

Thể tích của hình nón:

$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$$

trong đó $S_{\text{đáy}} = \pi r^2$ là diện tích đáy, $r$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

Lưu ý quan trọng: Thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với hình trụ, học sinh cần nhớ hệ số $\dfrac{1}{3}$.

Ví dụ minh họa

Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng $15$ cm, bán kính đáy bằng $9$ cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Lời giải:

Theo đề bài: $r = 9$ cm, $l = 15$ cm.

a) Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Tìm chiều cao $h$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ nên theo định lí Pythagore:

$$h^2 + r^2 = l^2$$

$$h^2 + 9^2 = 15^2$$

$$h^2 = 225 – 81 = 144$$

$$h = 12 \text{ (cm)}$$

Thể tích của hình nón:

$$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Phương pháp giải:

Xác định bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ của hình trụ (từ dữ kiện đề bài, có thể cần suy ra từ các điều kiện khác). Sau đó áp dụng:

• $S_{xq} = 2\pi Rh$
• $V = \pi R^2 h$
• Nếu cần diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi R(h + R)$

Một số lưu ý:

• Khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh, cạnh đó chính là chiều cao, cạnh kề là bán kính.
• Khi hình trụ nằm khít trong hộp chữ nhật, đường kính đáy bằng cạnh vuông của đáy hộp, chiều cao bằng chiều dài hộp.
• Đổi đơn vị khi cần: $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ lít}$.

Bài 10.1 (SGK – tr.99). Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau:

Lời giải chi tiết:

Dòng 1: $R = 4$, $h = 6$.

$$S_{xq} = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

$$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dòng 2: $R = 3$, $h = 5$.

$$S_{xq} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

$$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dòng 3: $h = 10$, $V = 50\pi$.

Từ $V = \pi R^2 h$:

$$50\pi = \pi R^2 \cdot 10 \implies R^2 = 5 \implies R = \sqrt{5} \text{ (cm)}$$

$$S_{xq} = 2\pi \cdot \sqrt{5} \cdot 10 = 20\sqrt{5},\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Dòng 4: $R = 8$, $S_{xq} = 192\pi$.

Từ $S_{xq} = 2\pi Rh$:

$$192\pi = 2\pi \cdot 8 \cdot h \implies 16h = 192 \implies h = 12 \text{ (cm)}$$

$$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 768\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Bảng hoàn chỉnh:

Bài 10.2 (SGK – tr.99). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm. Quay hình chữ nhật quanh cạnh $AB$ một vòng, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ tạo thành.

Lời giải chi tiết:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$, cạnh $AB$ trở thành trục quay.

Hình trụ tạo thành có:

• Chiều cao: $h = AB = 3$ cm (cạnh nằm trên trục quay).
• Bán kính đáy: $R = BC = 4$ cm (cạnh vuông góc với trục quay).

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Bài 10.4 (SGK – tr.99). Một bóng đèn huỳnh quang có dạng hình trụ được đặt khít vào một hộp giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (H.10.15). Hộp giấy có chiều dài bằng $0{,}6$ m, đáy là hình vuông cạnh $4$ cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của bóng đèn (giả sử bề dày hộp giấy không đáng kể).

Lời giải chi tiết:

Bóng đèn hình trụ đặt khít trong hộp hình chữ nhật có đáy vuông cạnh $4$ cm.

Do đó đường kính đáy của hình trụ bằng cạnh vuông: đường kính $= 4$ cm, suy ra bán kính $R = 2$ cm.

Chiều cao: $h = 0{,}6$ m $= 60$ cm.

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 60 = 240\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 60 = 240\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dạng 2: Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón

Phương pháp giải:

Xác định bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$ của hình nón. Lưu ý:

• Nếu biết $r$ và $l$, tìm $h$ từ $h = \sqrt{l^2 – r^2}$.
• Nếu biết $r$ và $h$, tìm $l$ từ $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.
• Nếu biết $h$ và $l$, tìm $r$ từ $r = \sqrt{l^2 – h^2}$.

Sau đó áp dụng:

• $S_{xq} = \pi r l$
• $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$

Bài 10.3 (SGK – tr.99). Khi cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$ quay quanh cạnh $SO$ một vòng, ta được một hình nón. Biết $OA = 8$ cm, $SA = 17$ cm (H.10.14).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Hình nón có bán kính đáy $r = OA = 8$ cm và đường sinh $l = SA = 17$ cm.

a) Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Tìm chiều cao $h = SO$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, theo định lí Pythagore:

$$SO^2 + OA^2 = SA^2$$

$$SO^2 + 8^2 = 17^2$$

$$SO^2 = 289 – 64 = 225$$

$$SO = 15 \text{ (cm)}$$

Thể tích hình nón:

$$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 960 = 320\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dạng 3: Hình ghép trụ – nón

Phương pháp giải:

Khi dụng cụ hoặc vật thể gồm nhiều phần ghép lại (phần trụ + phần nón), ta:

• Tách riêng từng phần, xác định kích thước của mỗi phần.
• Tính thể tích hoặc diện tích từng phần rồi cộng lại.
• Với diện tích mặt ngoài: chỉ tính các mặt thực sự lộ ra ngoài (không tính mặt ghép).

Bài 10.5 (SGK – tr.99). Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ và một phần có dạng hình nón với các kích thước như Hình 10.16.

a) Tính thể tích của dụng cụ này.

b) Tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ).

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ, dụng cụ gồm:

• Phần hình nón (phía trên): chiều cao $h_1 = 50$ cm, bán kính đáy $R = 40$ cm.
• Phần hình trụ (phía dưới): chiều cao $h_2 = 100$ cm, bán kính đáy $R = 40$ cm.

a) Thể tích:

Thể tích phần hình nón:

$$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h_1 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 40^2 \cdot 50 = \dfrac{80\,000\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Thể tích phần hình trụ:

$$V_2 = \pi R^2 h_2 = \pi \cdot 40^2 \cdot 100 = 160\,000\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Thể tích dụng cụ:

$$V = V_1 + V_2 = \dfrac{80\,000\pi}{3} + 160\,000\pi = \dfrac{80\,000\pi + 480\,000\pi}{3} = \dfrac{560\,000\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}$$

b) Diện tích mặt ngoài (không tính đáy):

Tính đường sinh hình nón:

$$l = \sqrt{h_1^2 + R^2} = \sqrt{50^2 + 40^2} = \sqrt{2500 + 1600} = \sqrt{4100} = 10\sqrt{41} \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh hình nón:

$$S_1 = \pi R l = \pi \cdot 40 \cdot 10\sqrt{41} = 400\pi\sqrt{41} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích xung quanh hình trụ:

$$S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 40 \cdot 100 = 8000\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích mặt ngoài (mặt xung quanh nón + mặt xung quanh trụ, không tính đáy dưới):

$$S = S_1 + S_2 = 400\pi\sqrt{41} + 8000\pi = 400\pi\left(\sqrt{41} + 20\right) \text{ (cm}^2\text{)}$$

Dạng 4: Tính thể tích hình tạo thành khi quay hình phẳng

Phương pháp giải:

Khi quay một hình phẳng quanh một trục, cần xác định hình khối tạo thành. Thông thường:

• Quay hình chữ nhật → hình trụ.
• Quay tam giác vuông quanh cạnh góc vuông → hình nón.
• Quay hình phức tạp hơn → tổ hợp nhiều hình nón hoặc hình trụ. Khi đó cần phân tích hình phẳng thành các tam giác, hình chữ nhật đơn giản.

Mẹo: Nếu đường nối hai đỉnh không nằm trên trục quay đi qua trục (khi kéo dài), thì hình tạo ra là hai hình nón có chung đỉnh tại giao điểm đó.

Bài 10.6 (SGK – tr.99). Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình $ABCD$ quay quanh $AD$ một vòng (H.10.17).

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ: $ABCD$ là tứ giác có $\widehat{A} = \widehat{D} = 90°$. Cạnh $AD$ nằm trên trục quay. Từ hình vẽ:

• $AB = 4$ cm (vuông góc với $AD$ tại $A$).
• $DC = 8$ cm (vuông góc với $AD$ tại $D$).
• Cạnh $BC$ đi từ $B$ (cách trục $4$ cm) đến $C$ (cách trục $8$ cm), chia thành hai đoạn ứng với chiều cao $3$ cm và $6$ cm.

Khi kéo dài đường $BC$, nó cắt trục $AD$ tại một điểm $E$. Tại điểm $E$, đường $BC$ đi qua trục quay, nên hình tạo thành gồm hai hình nón có chung đỉnh tại $E$:

• Hình nón thứ nhất: đỉnh tại $E$, hướng lên phía $A$, có chiều cao $h_1 = 3$ cm và bán kính đáy $R_1 = 4$ cm (khoảng cách từ $B$ đến trục).
• Hình nón thứ hai: đỉnh tại $E$, hướng xuống phía $D$, có chiều cao $h_2 = 6$ cm và bán kính đáy $R_2 = 8$ cm (khoảng cách từ $C$ đến trục).

Thể tích hình nón thứ nhất:

$$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi R_1^2 h_1 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Thể tích hình nón thứ hai:

$$V_2 = \dfrac{1}{3}\pi R_2^2 h_2 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 128\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Thể tích hình tạo thành:

$$V = V_1 + V_2 = 16\pi + 128\pi = 144\pi \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dạng 5: Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$. Kí hiệu $S_{tp}$ là diện tích toàn phần. Công thức nào sau đây đúng?

A. $S_{tp} = 2\pi Rh + \pi R^2$ $\qquad$ B. $S_{tp} = \pi R(h + R)$

C. $S_{tp} = 2\pi R(h + R)$ $\qquad$ D. $S_{tp} = 2\pi R^2 h + 2\pi R^2$

Lời giải:

$$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{\text{đáy}} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)$$

→ Chọn C.

Câu 2. Cho hình trụ có bán kính đáy $R = 8$ cm và diện tích toàn phần bằng $564\pi$ cm². Tính chiều cao $h$ của hình trụ.

A. $27$ cm $\qquad$ B. $27{,}25$ cm $\qquad$ C. $25$ cm $\qquad$ D. $25{,}27$ cm

Lời giải:

Áp dụng công thức $S_{tp} = 2\pi R(h + R)$:

$$564\pi = 2\pi \cdot 8 \cdot (h + 8)$$

$$564 = 16(h + 8)$$

$$h + 8 = 35{,}25$$

$$h = 27{,}25 \text{ (cm)}$$

→ Chọn B.

Câu 3. Bạn Toàn đi mua cây lăn sơn tường có dạng hình trụ với bán kính đáy $5$ cm và chiều cao $23$ cm. Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn $1000$ vòng thì cây sơn có thể bị hỏng. Hỏi bạn Toàn cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn biết diện tích tường cần sơn là $100$ m²?

A. Hai cây $\qquad$ B. Một cây $\qquad$ C. Ba cây $\qquad$ D. Bốn cây

Lời giải:

Mỗi vòng lăn, cây sơn phủ được một diện tích bằng diện tích xung quanh hình trụ (với $R = 5$ cm, $h = 23$ cm):

$$S_{\text{1 vòng}} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 5 \cdot 23 = 230\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích một cây lăn sơn phủ được trong $1000$ vòng:

$$S_{\text{1 cây}} = 1000 \cdot 230\pi = 230\,000\pi \text{ (cm}^2\text{)}$$

Đổi sang mét vuông: $S_{\text{1 cây}} = \dfrac{230\,000\pi}{10\,000} = 23\pi \approx 72{,}26 \text{ (m}^2\text{)}$.

Số cây cần mua: $\dfrac{100}{72{,}26} \approx 1{,}38$.

Vì phải mua nguyên cây nên cần ít nhất $2$ cây. → Chọn A.

Câu 4. Cho hình nón có bán kính đáy bằng $a$ và đường sinh bằng $2a$. Diện tích xung quanh bằng:

A. $2\pi a^2$ $\qquad$ B. $4\pi a^2$ $\qquad$ C. $5\pi a^2$ $\qquad$ D. $6\pi a^2$

Lời giải:

$$S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot a \cdot 2a = 2\pi a^2$$

→ Chọn A.

Câu 5. Một hình nón có bán kính đáy bằng $5$ cm. Biết giá trị số đo diện tích xung quanh (tính bằng cm²) bằng giá trị số đo thể tích (tính bằng cm³). Chiều cao của hình nón là:

A. $3{,}75$ cm $\qquad$ B. $4{,}75$ cm $\qquad$ C. $5{,}75$ cm $\qquad$ D. $6{,}75$ cm

Lời giải:

Cho $r = 5$ cm. Điều kiện: $S_{xq} = V$ (về giá trị số).

Ta có:

$$\pi r l = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$

$$5l = \dfrac{25}{3}h \implies l = \dfrac{5h}{3}$$

Mặt khác, $l^2 = r^2 + h^2 = 25 + h^2$:

$$\left(\dfrac{5h}{3}\right)^2 = 25 + h^2$$

$$\dfrac{25h^2}{9} = 25 + h^2$$

$$25h^2 = 225 + 9h^2$$

$$16h^2 = 225$$

$$h^2 = \dfrac{225}{16} \implies h = \dfrac{15}{4} = 3{,}75 \text{ (cm)}$$

→ Chọn A.

4. Sai lầm thường gặp

5. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Nhớ nhanh bộ công thức: Hình trụ có $2$ công thức chính ($S_{xq} = 2\pi Rh$, $V = \pi R^2 h$). Hình nón cũng $2$ ($S_{xq} = \pi rl$, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$). Điểm khác biệt lớn nhất: thể tích nón có hệ số $\frac{1}{3}$, diện tích xung quanh nón dùng đường sinh $l$ (không phải $h$).

Mẹo 2 – Bộ ba Pythagore quen thuộc: Khi gặp hình nón, các bộ ba $(r, h, l)$ thường là bộ ba Pythagore: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(6, 8, 10)$, $(8, 15, 17)$. Nhận ra bộ ba giúp tính nhanh mà không cần khai căn.

Mẹo 3 – Đổi đơn vị trước khi tính: Khi bài toán có đơn vị khác nhau (cm và m), nên đổi về cùng đơn vị ngay từ đầu. Nhớ: $1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ lít}$.

Mẹo 4 – Kiểm tra nhanh bằng so sánh: Thể tích hình nón luôn bằng $\frac{1}{3}$ thể tích hình trụ cùng đáy cùng chiều cao. Nếu tính ra $V_{\text{nón}} > V_{\text{trụ}}$ thì chắc chắn đã sai.

6. Tổng kết

• Hình trụ được tạo bởi phép quay hình chữ nhật quanh một cạnh. Các yếu tố: hai đáy (hình tròn bằng nhau), đường sinh, chiều cao, bán kính đáy. Đường sinh bằng chiều cao.
• Hình nón được tạo bởi phép quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông. Các yếu tố: đỉnh, đáy (hình tròn), đường cao, đường sinh, bán kính đáy. Quan hệ: $l^2 = h^2 + r^2$.

Bảng tổng hợp công thức:

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du