Sau khi đã biết cách nhận biết và thu gọn đa thức ở Bài 2, trong bài này các em sẽ học cách thực hiện hai phép tính quan trọng nhất trên đa thức: phép cộng và phép trừ. Đây là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán đại số sau này.

Cộng và trừ hai đa thức

Quy tắc cộng và trừ đa thức

Để cộng hoặc trừ hai đa thức, ta thực hiện theo các bước:

Phép cộng: Nối hai đa thức bởi dấu “$+$”, sau đó bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

Phép trừ: Nối hai đa thức bởi dấu “$-$”, sau đó bỏ dấu ngoặc (chú ý đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc sau dấu trừ) rồi thu gọn.

Muốn cộng (hay trừ) hai đa thức, ta nối hai đa thức đã cho bởi dấu “$+$” (hay dấu “$-$”) rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đa thức nhận được.

Ví dụ: Cho hai đa thức $M = 3x^2y + 4x – 2z + 1$ và $N = xyz – 2x^2y + 4x – 3$.

Tính $M + N$:

$$M + N = (3x^2y + 4x – 2z + 1) + (xyz – 2x^2y + 4x – 3)$$

$$= 3x^2y + 4x – 2z + 1 + xyz – 2x^2y + 4x – 3$$

$$= (3x^2y – 2x^2y) + (4x + 4x) – 2z + xyz + (1 – 3)$$

$$= x^2y + 8x – 2z + xyz – 2$$

Tính $M – N$:

$$M – N = (3x^2y + 4x – 2z + 1) – (xyz – 2x^2y + 4x – 3)$$

$$= 3x^2y + 4x – 2z + 1 – xyz + 2x^2y – 4x + 3$$

$$= (3x^2y + 2x^2y) + (4x – 4x) – xyz – 2z + (1 + 3)$$

$$= 5x^2y – xyz – 2z + 4$$

Lưu ý quan trọng: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “$-$” đằng trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc. Đây là bước hay sai nhất.

Tính chất của phép cộng đa thức

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự phép cộng các số.

Với $A$, $B$, $C$ là những đa thức tùy ý, ta có:

$$A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)$$

Ngoài ra, có một mối liên hệ quan trọng giữa phép cộng và phép trừ:

Nếu $A – B = C$ thì $A = B + C$. Ngược lại, nếu $A = B + C$ thì $A – B = C$.

Tính chất này rất hữu ích khi các em cần tìm một đa thức chưa biết trong phép cộng hoặc phép trừ.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính tổng và hiệu hai đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phép tính, đặt mỗi đa thức trong ngoặc đơn.

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc. Với phép cộng: giữ nguyên dấu các hạng tử. Với phép trừ: đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc sau dấu trừ.

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại và thu gọn.

Ví dụ mẫu: Tính tổng và hiệu của hai đa thức $P = x^2y + x^3 – xy^2 + 3$ và $Q = x^3 + xy^2 – xy – 6$.

Lời giải chi tiết:

Tính $P + Q$:

$$P + Q = (x^2y + x^3 – xy^2 + 3) + (x^3 + xy^2 – xy – 6)$$

Bỏ dấu ngoặc (dấu $+$ nên giữ nguyên tất cả):

$$= x^2y + x^3 – xy^2 + 3 + x^3 + xy^2 – xy – 6$$

Nhóm hạng tử đồng dạng:

$$= x^2y + (x^3 + x^3) + (-xy^2 + xy^2) – xy + (3 – 6)$$

Thu gọn:

$$= x^2y + 2x^3 – xy – 3$$

Tính $P – Q$:

$$P – Q = (x^2y + x^3 – xy^2 + 3) – (x^3 + xy^2 – xy – 6)$$

Bỏ dấu ngoặc (dấu $-$ nên đổi dấu tất cả hạng tử trong ngoặc sau):

$$= x^2y + x^3 – xy^2 + 3 – x^3 – xy^2 + xy + 6$$

Nhóm hạng tử đồng dạng:

$$= x^2y + (x^3 – x^3) + (-xy^2 – xy^2) + xy + (3 + 6)$$

Thu gọn:

$$= x^2y – 2xy^2 + xy + 9$$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa nhiều đa thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Bỏ tất cả các dấu ngoặc (chú ý dấu trước mỗi ngoặc để xác định giữ nguyên hay đổi dấu).

Bước 2: Nhóm tất cả các hạng tử đồng dạng lại và thu gọn.

Ví dụ mẫu 1: Rút gọn các biểu thức sau.

a) $(x – y) + (y – z) + (z – x)$

Lời giải chi tiết:

Bỏ dấu ngoặc (tất cả đều có dấu $+$ phía trước nên giữ nguyên):

$$= x – y + y – z + z – x$$

Nhóm hạng tử đồng dạng:

$$= (x – x) + (-y + y) + (-z + z)$$

$$= 0 + 0 + 0 = 0$$

b) $(2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x)$

Lời giải chi tiết:

Bỏ dấu ngoặc:

$$= 2x – 3y + 2y – 3z + 2z – 3x$$

Nhóm hạng tử đồng dạng:

$$= (2x – 3x) + (-3y + 2y) + (-3z + 2z)$$

$$= -x – y – z$$

Ví dụ mẫu 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức tại $x = 2$, $y = -1$:

$$K = (x^2y + 2xy^3) – (7{,}5x^3y^2 – x^3) + (3xy^3 – x^2y + 7{,}5x^3y^2)$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Bỏ dấu ngoặc:

Ngoặc thứ nhất có dấu $+$ → giữ nguyên.

Ngoặc thứ hai có dấu $-$ → đổi dấu: $-7{,}5x^3y^2$ thành $+7{,}5x^3y^2$ không, phải đổi: $-(7{,}5x^3y^2 – x^3) = -7{,}5x^3y^2 + x^3$.

Ngoặc thứ ba có dấu $+$ → giữ nguyên.

$$K = x^2y + 2xy^3 – 7{,}5x^3y^2 + x^3 + 3xy^3 – x^2y + 7{,}5x^3y^2$$

Bước 2 — Nhóm và thu gọn:

$$K = (x^2y – x^2y) + (2xy^3 + 3xy^3) + (-7{,}5x^3y^2 + 7{,}5x^3y^2) + x^3$$

$$K = 5xy^3 + x^3$$

Bước 3 — Thay $x = 2$, $y = -1$:

$$K = 5 \cdot 2 \cdot (-1)^3 + 2^3$$

$$= 5 \cdot 2 \cdot (-1) + 8$$

$$= -10 + 8 = -2$$

Vậy $K = -2$.

Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết

Phương pháp giải:

Sử dụng mối liên hệ: Nếu $A – B = C$ thì $A = B + C$; nếu $A = B + C$ thì $A – B = C$.

Cụ thể: Chuyển vế các đa thức đã biết sang một bên, đa thức cần tìm sang bên còn lại, rồi thực hiện phép cộng hoặc trừ để tìm kết quả.

Ví dụ mẫu: Tìm đa thức $M$ biết $M – 5x^2 + xyz = xy + 2x^2 – 3xyz + 5$.

Lời giải chi tiết:

Từ đề bài ta có:

$$M – 5x^2 + xyz = xy + 2x^2 – 3xyz + 5$$

Chuyển vế (chuyển $-5x^2 + xyz$ sang vế phải, đổi dấu):

$$M = xy + 2x^2 – 3xyz + 5 + 5x^2 – xyz$$

Nhóm hạng tử đồng dạng:

$$M = (2x^2 + 5x^2) + (-3xyz – xyz) + xy + 5$$

Thu gọn:

$$M = 7x^2 – 4xyz + xy + 5$$

Dạng 4: Tính tổng/hiệu đa thức rồi tính giá trị

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép cộng hoặc trừ các đa thức (bỏ ngoặc, thu gọn).

Bước 2: Thay giá trị của các biến vào đa thức kết quả. Nhớ đặt số âm trong ngoặc.

Bước 3: Tính lũy thừa trước, rồi nhân, rồi cộng/trừ.

Ví dụ mẫu: Cho hai đa thức $A = 2x^2y + 3xyz – 2x + 5$ và $B = 3xyz – 2x^2y + x – 4$.

a) Tìm $A + B$ và $A – B$.

b) Tính giá trị của $A + B$ tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính $A + B$:

$$A + B = (2x^2y + 3xyz – 2x + 5) + (3xyz – 2x^2y + x – 4)$$

$$= 2x^2y + 3xyz – 2x + 5 + 3xyz – 2x^2y + x – 4$$

$$= (2x^2y – 2x^2y) + (3xyz + 3xyz) + (-2x + x) + (5 – 4)$$

$$= 6xyz – x + 1$$

Tính $A – B$:

$$A – B = (2x^2y + 3xyz – 2x + 5) – (3xyz – 2x^2y + x – 4)$$

$$= 2x^2y + 3xyz – 2x + 5 – 3xyz + 2x^2y – x + 4$$

$$= (2x^2y + 2x^2y) + (3xyz – 3xyz) + (-2x – x) + (5 + 4)$$

$$= 4x^2y – 3x + 9$$

b) Tính giá trị $A + B = 6xyz – x + 1$ tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$:

$$A + B = 6 \cdot 0{,}5 \cdot (-2) \cdot 1 – 0{,}5 + 1$$

$$= 6 \cdot (-1) – 0{,}5 + 1$$

$$= -6 – 0{,}5 + 1 = -5{,}5$$

Vậy $A + B = -5{,}5$ tại $x = 0{,}5$; $y = -2$; $z = 1$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán cộng trừ đa thức

Mẹo 1 — Đánh dấu trước khi bỏ ngoặc: Khi gặp dấu “$-$” trước ngoặc, hãy ghi nhớ “đổi tất cả”. Có thể dùng bút chì đánh dấu $+/-$ lên từng hạng tử trước khi viết ra để tránh sai dấu.

Mẹo 2 — Xử lý ngoặc lồng nhau: Bỏ ngoặc từ ngoài vào trong. Ví dụ: $-[a – (b + c)]$ → bỏ ngoặc vuông trước: $= -a + (b + c) = -a + b + c$.

Mẹo 3 — Kiểm tra nhanh bằng phép cộng: Nếu đề cho tính cả $A + B$ và $A – B$, ta kiểm tra: $(A + B) + (A – B) = 2A$ phải đúng. Đây là cách kiểm tra nhanh kết quả.

Mẹo 4 — Tìm đa thức chưa biết: Khi $M – A = B$, ta có $M = A + B$. Khi $M + A = B$, ta có $M = B – A$. Chỉ cần nhớ: chuyển vế thì đổi dấu.

Tổng kết

Qua Bài 3, các em cần nắm vững:

Cộng hai đa thức: nối bởi dấu “$+$”, bỏ ngoặc (giữ nguyên dấu), thu gọn.

Trừ hai đa thức: nối bởi dấu “$-$”, bỏ ngoặc (đổi dấu tất cả hạng tử trong ngoặc sau dấu trừ), thu gọn.

Tính chất: Phép cộng đa thức có tính giao hoán và kết hợp. Nếu $A – B = C$ thì $A = B + C$ và ngược lại.

Điểm mấu chốt nhất trong toàn bài là quy tắc bỏ dấu ngoặc khi có dấu trừ phía trước — đây là bước các em hay mắc lỗi nhất. Hãy luôn kiểm tra lại dấu sau khi bỏ ngoặc trước khi thu gọn.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du