Tứ giác là một trong những hình phẳng quen thuộc nhất trong đời sống, từ mặt bàn, khung cửa sổ cho đến con diều trên bầu trời. Trong bài này, các em sẽ tìm hiểu chính xác thế nào là tứ giác, tứ giác lồi, và đặc biệt là định lí về tổng các góc trong một tứ giác — công cụ quan trọng để giải hàng loạt bài toán hình học sau này.

1. Tứ giác lồi

Tứ giác lồi và các yếu tố của nó

Các em đã biết tam giác là hình gồm ba điểm không thẳng hàng và ba đoạn thẳng nối ba điểm đó. Tương tự:

Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.

Trong tứ giác $ABCD$, các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ là các đỉnh; các đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ là các cạnh.

Tuy nhiên, không phải mọi tứ giác đều có dạng “lồi” ra ngoài. Có những tứ giác bị “lõm” vào trong. Vì vậy, ta cần phân biệt:

Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.

Nói cách khác, tứ giác lồi là tứ giác mà mọi cạnh đều “lồi” ra ngoài, không có góc nào bị lõm vào bên trong.

Chú ý:

• Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.
• Tứ giác $ABCD$ còn có thể gọi tên là tứ giác $BCDA$, $CDAB$, $DABC$, $ADCB$, $DCBA$, $CBAD$, $BADC$ (các đỉnh được kể theo thứ tự liên tiếp).

Các yếu tố của tứ giác lồi

Trong tứ giác lồi $ABCD$:

• Các góc: $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, $\widehat{D}$ (là các góc $DAB$, $ABC$, $BCD$, $CDA$).
• Hai đỉnh đối nhau: là hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh. Ví dụ: $A$ và $C$ đối nhau; $B$ và $D$ đối nhau.
• Đường chéo: là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo là $AC$ và $BD$.
• Cặp cạnh đối: là hai cạnh không có đỉnh chung. Ví dụ: $AB$ và $CD$ là một cặp cạnh đối; $AD$ và $BC$ là cặp cạnh đối còn lại.
• Cặp góc đối: Ví dụ: $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ là cặp góc đối; $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$ là cặp góc đối còn lại.

Trong tứ giác lồi, hai đường chéo luôn cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường chéo (nằm bên trong tứ giác).

2. Tổng các góc của một tứ giác

Định lí tổng các góc

Để tìm tổng các góc trong một tứ giác, ta sử dụng kiến thức đã biết: tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$.

Kẻ đường chéo $BD$ trong tứ giác $ABCD$, ta chia tứ giác thành hai tam giác $ABD$ và $CBD$.

• Trong $\triangle ABD$: tổng ba góc bằng $180°$
• Trong $\triangle CBD$: tổng ba góc bằng $180°$

Cộng lại, tổng sáu góc (chính là tổng bốn góc của tứ giác) bằng $180° + 180° = 360°$.

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360°$.

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$$

Ví dụ: Cho tứ giác $MNPQ$ có $\widehat{M} = 105°$, $\widehat{N} = 115°$, $\widehat{P} = 85°$. Tính $\widehat{Q}$.

Theo định lí tổng các góc của tứ giác:

$$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} + \widehat{Q} = 360°$$

$$\widehat{Q} = 360° – (\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P}) = 360° – (105° + 115° + 85°) = 360° – 305° = 55°$$

Vậy $\widehat{Q} = 55°$.

Thử thách nhỏ: Trong một tứ giác, số góc tù nhiều nhất là 3 (vì nếu cả 4 góc đều tù, tổng sẽ lớn hơn $360°$) và số góc nhọn nhiều nhất cũng là 3 (vì nếu cả 4 góc đều nhọn, tổng sẽ nhỏ hơn $360°$).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính góc chưa biết của tứ giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tứ giác và các góc đã biết.

Bước 2: Áp dụng định lí: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$.

Bước 3: Tính góc chưa biết bằng cách lấy $360°$ trừ đi tổng các góc đã biết. Nếu đề cho mối quan hệ giữa các góc (ví dụ $\widehat{H} = \widehat{E} + 10°$), ta lập phương trình rồi giải.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.1a): Tứ giác $ABCD$ có ba góc vuông ($\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{D} = 90°$). Tính $\widehat{C}$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí tổng các góc:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$$

$$90° + 90° + \widehat{C} + 90° = 360°$$

$$\widehat{C} = 360° – 270° = 90°$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 3.1b): Tứ giác $RVSU$ (xem hình SGK) có $\widehat{V} = 60°$, $\widehat{U} = 90°$, $\widehat{S} = 110°$. Tính các góc $\widehat{R}$, $\widehat{x}$, $\widehat{y}$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí tổng các góc cho tứ giác $VRSU$:

$$\widehat{V} + \widehat{R} + \widehat{S} + \widehat{U} = 360°$$

$$60° + \widehat{R} + 110° + 90° = 360°$$

$$\widehat{R} = 360° – 260° = 100°$$

Dựa vào hình, $x$ là góc kề bù với $\widehat{U} = 90°$ nên $x = 180° – 90° = 90°$.

Góc $y$ là góc kề bù với $\widehat{S} = 110°$ nên $y = 180° – 110° = 70°$.

Ví dụ mẫu 3 (BT 3.2): Tứ giác $EFGH$ có $\widehat{G} = 50°$, $\widehat{F} = 60°$ và $\widehat{H} = \widehat{E} + 10°$. Tính $\widehat{E}$ và $\widehat{H}$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí tổng các góc:

$$\widehat{E} + \widehat{F} + \widehat{G} + \widehat{H} = 360°$$

Thay $\widehat{H} = \widehat{E} + 10°$:

$$\widehat{E} + 60° + 50° + (\widehat{E} + 10°) = 360°$$

$$2\widehat{E} + 120° = 360°$$

$$2\widehat{E} = 240°$$

$$\widehat{E} = 120°$$

Suy ra: $\widehat{H} = 120° + 10° = 130°$.

Dạng 2: Tính góc kết hợp tia phân giác, góc ngoài

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các góc đã biết, các mối quan hệ đặc biệt (tia phân giác, góc vuông, góc ngoài, tia đối).

Bước 2: Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác ($360°$), tổng ba góc trong tam giác ($180°$), tính chất tia phân giác (chia đôi góc), hoặc góc kề bù ($180°$).

Bước 3: Lập phương trình (nếu cần) và tính.

Ví dụ mẫu 1 (Bài 2 tự luyện): Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{C} = 90°$. $BE$ là tia đối của tia $BA$.

a) Tính $\widehat{D} + \widehat{ABC}$.

b) So sánh $\widehat{D}$ và $\widehat{B_1}$ (với $\widehat{B_1} = \widehat{CBE}$).

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng định lí tổng các góc tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{ABC} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$$

$$90° + \widehat{ABC} + 90° + \widehat{D} = 360°$$

$$\widehat{D} + \widehat{ABC} = 180°$$

b) Vì $BE$ là tia đối của tia $BA$ nên $\widehat{ABC} + \widehat{B_1} = 180°$ (hai góc kề bù).

Từ câu a: $\widehat{D} + \widehat{ABC} = 180°$, suy ra $\widehat{D} = 180° – \widehat{ABC}$.

Mà $\widehat{B_1} = 180° – \widehat{ABC}$.

Vậy $\widehat{D} = \widehat{B_1}$.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 3 tự luyện): Tứ giác $ABCD$ có $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ và $\widehat{DAC} = 40°$, $\widehat{B} = \widehat{D} = 90°$. Tính $\widehat{BCD}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ nên:

$$\widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 40°$$

Suy ra: $\widehat{BAD} = 40° + 40° = 80°$.

Áp dụng định lí tổng các góc tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{BCD} + \widehat{D} = 360°$$

$$80° + 90° + \widehat{BCD} + 90° = 360°$$

$$\widehat{BCD} = 360° – 260° = 100°$$

Vậy $\widehat{BCD} = 100°$.

Ví dụ mẫu 3 (Bài 4 tự luyện): Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 72°$, $\widehat{D} = 68°$. Hai tia phân giác $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $M$. Tính $\widehat{BMC}$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tổng các góc tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$$

$$72° + \widehat{B} + \widehat{C} + 68° = 360°$$

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 220°$$

Trong tam giác $BMC$, ta có:

$$\widehat{MBC} + \widehat{MCB} + \widehat{BMC} = 180°$$

Vì $BM$ và $CM$ là tia phân giác nên $\widehat{MBC} = \dfrac{\widehat{B}}{2}$ và $\widehat{MCB} = \dfrac{\widehat{C}}{2}$.

$$\dfrac{\widehat{B}}{2} + \dfrac{\widehat{C}}{2} + \widehat{BMC} = 180°$$

$$\dfrac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} + \widehat{BMC} = 180°$$

$$\dfrac{220°}{2} + \widehat{BMC} = 180°$$

$$110° + \widehat{BMC} = 180°$$

$$\widehat{BMC} = 70°$$

Vậy $\widehat{BMC} = 70°$.

Dạng 3: Chứng minh hình học liên quan đến tứ giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình chính xác, ghi nhận các giả thiết (cạnh bằng nhau, góc bằng nhau, tia phân giác, tia đối…).

Bước 2: Tìm các tam giác bằng nhau (sử dụng các trường hợp bằng nhau: c.c.c, c.g.c, g.c.g…) hoặc áp dụng tính chất đường trung trực, tia phân giác.

Bước 3: Từ các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh bằng nhau, góc bằng nhau để kết luận.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.3): Tứ giác $ABCD$ có $AB = AD$, $CB = CD$ (hình “cái diều”).

a) Chứng minh $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.

b) Tính các góc $\widehat{B}$, $\widehat{D}$ biết $\widehat{A} = 100°$, $\widehat{C} = 60°$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$:

• $AB = AD$ (gt)
• $CB = CD$ (gt)
• $AC$ là cạnh chung

Suy ra $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c).

Do đó $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ và $\widehat{BCA} = \widehat{DCA}$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Xét $\triangle ABO$ và $\triangle ADO$:

• $AB = AD$ (gt)
• $\widehat{BAO} = \widehat{DAO}$ (chứng minh trên)
• $AO$ là cạnh chung

Suy ra $\triangle ABO = \triangle ADO$ (c.g.c).

Do đó $OB = OD$ và $\widehat{AOB} = \widehat{AOD}$.

Mà $\widehat{AOB} + \widehat{AOD} = 180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AOB} = \widehat{AOD} = 90°$.

Vậy $AC$ vuông góc với $BD$ tại trung điểm $O$ của $BD$, tức $AC$ là đường trung trực của $BD$.

b) Vì $\triangle ABC = \triangle ADC$ (chứng minh trên) nên $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Áp dụng tổng các góc tứ giác:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°$$

$$100° + \widehat{B} + 60° + \widehat{D} = 360°$$

Mà $\widehat{B} = \widehat{D}$ nên:

$$100° + 2\widehat{B} + 60° = 360°$$

$$2\widehat{B} = 200°$$

$$\widehat{B} = 100°$$

Vậy $\widehat{B} = \widehat{D} = 100°$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về tứ giác

Mẹo 1 — Nhớ nhanh tổng góc: Tứ giác = 2 tam giác → $360°$. Ngũ giác = 3 tam giác → $540°$. Tổng quát: đa giác $n$ cạnh có tổng các góc bằng $(n – 2) \times 180°$.

Mẹo 2 — Khi có tia phân giác: Nếu hai tia phân giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $M$, thì trong $\triangle BMC$:

$$\widehat{BMC} = 180° – \dfrac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}$$

Kết hợp $\widehat{B} + \widehat{C} = 360° – \widehat{A} – \widehat{D}$ sẽ tính rất nhanh.

Mẹo 3 — Hình cái diều: Khi tứ giác có hai cặp cạnh kề bằng nhau ($AB = AD$, $CB = CD$), đường chéo nối hai đỉnh “chung” ($AC$) luôn là đường trung trực của đường chéo còn lại và cũng là tia phân giác của hai góc tại đỉnh chung.

Mẹo 4 — Góc ngoài của tứ giác: Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng ba góc trong còn lại trừ $180°$, hoặc đơn giản hơn: bằng $180°$ trừ góc trong tại đỉnh đó.

Tổng kết

Qua Bài 10 – Tứ giác, các em cần nắm vững:

Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ mà không có hai đoạn nào cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác lồi là tứ giác mà mọi cặp đỉnh kề đều nằm cùng phía so với đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Các yếu tố của tứ giác gồm: đỉnh, cạnh, góc, đường chéo, cặp cạnh đối, cặp góc đối.

Định lí quan trọng nhất: Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360°$. Đây là công cụ cơ bản để tính góc chưa biết, và cũng là nền tảng cho các bài học về hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ở những bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du