Bài 14 là bài cuối cùng trong chuỗi kiến thức về các tứ giác đặc biệt. Sau khi đã học hình bình hành và hình chữ nhật, các em sẽ hoàn thiện bức tranh tổng thể bằng hình thoi và hình vuông — trong đó hình vuông chính là tứ giác “hoàn hảo” nhất, kết hợp tất cả tính chất của hình chữ nhật lẫn hình thoi.

1. Hình thoi

Khái niệm hình thoi và tính chất

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi là một trường hợp đặc biệt của hình bình hành (vì có các cạnh đối bằng nhau → cạnh đối song song). Do đó, hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành: cạnh đối song song, góc đối bằng nhau, đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra, hình thoi còn có tính chất riêng rất đặc biệt về đường chéo:

Định lí 1: Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

Cụ thể, trong hình thoi $ABCD$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo:

$$AC \perp BD, \quad OA = OC, \quad OB = OD$$

Đường chéo $AC$ là phân giác của $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$; đường chéo $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ngoài nhận biết bằng định nghĩa (tứ giác có bốn cạnh bằng nhau), ta còn có:

Định lí 2:

a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

c) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Tóm lại, có 4 cách nhận biết hình thoi:

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (định nghĩa).
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (Định lí 2a).
3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc (Định lí 2b).
4. Hình bình hành có một đường chéo là phân giác một góc (Định lí 2c).

2. Hình vuông

Khái niệm hình vuông và tính chất

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông vừa là hình chữ nhật (có bốn góc vuông), vừa là hình thoi (có bốn cạnh bằng nhau). Do đó, hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Tính chất đường chéo của hình vuông

Định lí 3: Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

Tính chất này kết hợp cả Định lí 1 (hình chữ nhật: đường chéo bằng nhau) và Định lí 1 (hình thoi: đường chéo vuông góc, phân giác).

Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Định lí 4:

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý bổ sung:

• Hình thoi có một góc vuông → hình vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau → hình vuông.

Tóm lại, các cách nhận biết hình vuông phổ biến:

1. Tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau (định nghĩa).
2. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau (Định lí 4a).
3. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc (Định lí 4b).
4. Hình thoi có một góc vuông (chú ý).
5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau (chú ý).

Sơ đồ quan hệ các tứ giác đặc biệt

$$\text{Hình bình hành} \begin{cases} + \text{ 1 góc vuông} \to \text{Hình chữ nhật} \begin{cases} + \text{ 2 cạnh kề bằng} \to \textbf{Hình vuông} \end{cases} \\ + \text{ 2 cạnh kề bằng} \to \text{Hình thoi} \begin{cases} + \text{ 1 góc vuông} \to \textbf{Hình vuông} \end{cases} \end{cases}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hình thoi, hình vuông

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra tứ giác thuộc loại nào trước (hình bình hành? hình chữ nhật? hình thoi?).

Bước 2: Kiểm tra thêm điều kiện để “nâng cấp”: hình bình hành → hình thoi (cạnh kề bằng, đường chéo vuông góc, phân giác); hình chữ nhật → hình vuông (cạnh kề bằng, đường chéo vuông góc); hình thoi → hình vuông (góc vuông, đường chéo bằng).

Ví dụ mẫu (BT 3.30): Cho tam giác $ABC$, $D$ nằm giữa $B$ và $C$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$ và song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$.

a) Tứ giác $AEDF$ là hình gì?

b) Nếu $\triangle ABC$ cân tại $A$ thì $D$ ở đâu để $AEDF$ là hình thoi?

c) Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$ thì $AEDF$ là hình gì?

d) Nếu $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ thì $D$ ở đâu để $AEDF$ là hình vuông?

Lời giải chi tiết:

a) $AEDF$ có $AE \parallel DF$ (vì $DF \parallel AC$) và $AF \parallel DE$ (vì $DE \parallel AB$).

Tứ giác có các cạnh đối song song → $AEDF$ là hình bình hành.

b) $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

Để $AEDF$ là hình thoi, cần thêm hai cạnh kề bằng nhau: $AE = AF$.

Vì $DE \parallel AB$ nên $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{CD}{CB}$. Vì $DF \parallel AC$ nên $\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{BD}{BC}$.

Để $AE = AF$ và $AB = AC$ → $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$ → $\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{BD}{BC}$ → $CD = BD$.

Vậy $D$ là trung điểm $BC$ thì $AEDF$ là hình thoi.

c) $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{A} = 90°$.

$AEDF$ là hình bình hành (câu a) có $\widehat{A} = 90°$ → là hình chữ nhật (Định lí 2a bài hình chữ nhật).

d) $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{A} = 90°$ và $AB = AC$.

$AEDF$ là hình chữ nhật (câu c). Để thành hình vuông, cần thêm $AE = AF$ → $D$ là trung điểm $BC$ (lập luận tương tự câu b).

Vậy $D$ là trung điểm $BC$ thì $AEDF$ là hình vuông.

Dạng 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải:

Cách 1: Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (định nghĩa).

Cách 2: Chứng minh hình bình hành trước, rồi chứng minh thêm: hai cạnh kề bằng nhau, hoặc đường chéo vuông góc, hoặc đường chéo là phân giác.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.31): Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải chi tiết:

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Trong $\triangle ABC$: $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $BC$ → $MN$ là đường trung bình → $MN = \dfrac{AC}{2}$ và $MN \parallel AC$.

Trong $\triangle ACD$: $Q$, $P$ là trung điểm $AD$, $CD$ → $QP$ là đường trung bình → $QP = \dfrac{AC}{2}$ và $QP \parallel AC$.

Suy ra $MN = QP$ và $MN \parallel QP$ → $MNPQ$ là hình bình hành.

Tương tự, $MQ = \dfrac{BD}{2}$ (đường trung bình trong $\triangle ABD$).

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD$, suy ra $MN = MQ$ (cùng bằng $\dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$).

Hình bình hành $MNPQ$ có hai cạnh kề bằng nhau → $MNPQ$ là hình thoi.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 3 tự luyện): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AC$. Trên tia đối tia $IM$ lấy $K$ sao cho $IK = IM$.

a) Chứng minh $AMCK$ là hình thoi.

b) Chứng minh $AKMB$ là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện để $AMCK$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác $AMCK$ có hai đường chéo $AC$ và $MK$ cắt nhau tại $I$.

$I$ là trung điểm $AC$ (giả thiết) và $I$ là trung điểm $MK$ (vì $IK = IM$).

Suy ra $AMCK$ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng cạnh huyền nên $AM = MC = MB = \dfrac{BC}{2}$.

Hình bình hành $AMCK$ có $AM = MC$ (hai cạnh kề bằng nhau) → $AMCK$ là hình thoi.

b) Vì $AMCK$ là hình thoi nên $AK \parallel MC$ và $AK = MC = BM$.

Tứ giác $AKMB$ có $AK \parallel BM$ và $AK = BM$ → $AKMB$ là hình bình hành.

c) Để $AMCK$ là hình vuông, cần thêm một góc vuông, tức $AM \perp MC$.

Khi đó $\triangle ABC$ có $AM$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến → $\triangle ABC$ cân tại $A$.

Vậy $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AMCK$ là hình vuông.

Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải:

Chiến thuật “nâng cấp” từng bước:

• Hình bình hành → thêm góc vuông → hình chữ nhật → thêm cạnh kề bằng → hình vuông.
• Hình bình hành → thêm cạnh kề bằng → hình thoi → thêm góc vuông → hình vuông.

Hoặc chứng minh trực tiếp: tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ mẫu 1 (Bài 1 tự luyện): Cho $\widehat{xOy} = 90°$ và tia phân giác $Om$. Lấy điểm $A$ trên $Om$. Kẻ $AB \perp Ox$, $AC \perp Oy$. Chứng minh $OBAC$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Tứ giác $OBAC$ có ba góc vuông: $\widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{BOC} = 90°$.

Suy ra $OBAC$ là hình chữ nhật (ba góc vuông → bốn góc vuông).

Lại có $A$ nằm trên tia phân giác $Om$ của $\widehat{xOy}$, nên khoảng cách từ $A$ đến $Ox$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $Oy$, tức $AB = AC$.

Hình chữ nhật $OBAC$ có hai cạnh kề $AB = AC$ → $OBAC$ là hình vuông (Định lí 4a).

Ví dụ mẫu 2 (Bài 2 tự luyện): Cho $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$. Trên $BC$ lấy $H$, $G$ sao cho $BH = HG = GC$. Qua $H$, $G$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $AB$, $AC$ tại $E$, $F$.

a) Chứng minh $\triangle BHE$ là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh $EFGH$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

a) $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} = 45°$.

$\triangle BHE$ vuông tại $H$ (vì $EH \perp BC$) có: $\widehat{BEH} + \widehat{B} = 90°$, suy ra $\widehat{BEH} = 90° – 45° = 45°$.

Vậy $\widehat{B} = \widehat{BEH} = 45°$, nên $\triangle BHE$ vuông cân tại $H$.

Do đó $HE = HB$.

b) Chứng minh tương tự, $\triangle CFG$ vuông cân tại $G$, nên $GF = GC$.

Mà $BH = HG = GC$ (giả thiết), suy ra $EH = HG = GF$.

Và $EH \parallel GF$ (cùng vuông góc với $BC$).

Tứ giác $EFGH$ có $EH \parallel GF$ và $EH = GF$ → là hình bình hành.

Hình bình hành $EFGH$ có $\widehat{H} = 90°$ (vì $EH \perp BC$) → là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $EFGH$ có hai cạnh kề $EH = HG$ → là hình vuông.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chiến thuật “nâng cấp”:

$$\text{Hình bình hành} \xrightarrow{+\text{góc vuông}} \text{Hình chữ nhật} \xrightarrow{+\text{cạnh kề bằng}} \text{Hình vuông}$$

$$\text{Hình bình hành} \xrightarrow{+\text{cạnh kề bằng}} \text{Hình thoi} \xrightarrow{+\text{góc vuông}} \text{Hình vuông}$$

Luôn bắt đầu bằng chứng minh hình bình hành trước, rồi “nâng cấp” dần.

Mẹo 2 — Đường chéo hình thoi: Đường chéo vuông góc VÀ chia đôi nhau → hình thoi. Nhớ thêm: đường chéo là phân giác các góc.

Mẹo 3 — Đường chéo hình vuông kết hợp tất cả: Bằng nhau + vuông góc + chia đôi nhau + phân giác → đầy đủ nhất trong các tứ giác đặc biệt.

Mẹo 4 — Trung điểm bốn cạnh: Trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật → hình thoi (BT 3.31). Trung điểm bốn cạnh hình thoi → hình chữ nhật (BT 3.32). Trung điểm bốn cạnh hình vuông → hình vuông.

Tổng kết

Qua Bài 14, các em cần nắm vững:

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Tính chất riêng: hai đường chéo vuông góc và là phân giác các góc. Dấu hiệu nhận biết: hình bình hành + cạnh kề bằng, hoặc + đường chéo vuông góc, hoặc + đường chéo là phân giác.

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. Nó kết hợp tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. Dấu hiệu nhận biết: hình chữ nhật + cạnh kề bằng (hoặc đường chéo vuông góc); hình thoi + góc vuông (hoặc đường chéo bằng).

Quan hệ tổng thể: Hình vuông ⊂ Hình chữ nhật ⊂ Hình bình hành; Hình vuông ⊂ Hình thoi ⊂ Hình bình hành. Nắm vững sơ đồ quan hệ này sẽ giúp các em chọn đúng chiến thuật chứng minh trong mọi bài toán.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du