Bài 15 mở đầu chương Tam giác đồng dạng — một trong những chương quan trọng nhất của chương trình Toán 8. Nội dung cốt lõi của bài là định lí Thalès, công cụ cho phép ta thiết lập các tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng khi có đường thẳng song song với một cạnh tam giác. Đây chính là nền tảng để các em học tiếp tam giác đồng dạng ở các bài sau, đồng thời có nhiều ứng dụng thực tế như đo chiều cao cột điện, tính khoảng cách qua sông mà không cần đo trực tiếp.

Trước khi đi vào định lí, bài học cung cấp hai khái niệm nền: tỉ số hai đoạn thẳng và đoạn thẳng tỉ lệ — giúp các em làm quen với ngôn ngữ tỉ lệ thức sẽ được sử dụng xuyên suốt.

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Tỉ số của hai đoạn thẳng

Khi đo hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ bằng cùng một đơn vị, ta nhận được hai số dương. Thương của hai số dương đó được gọi là tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$, kí hiệu $\dfrac{AB}{CD}$.

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Một tính chất quan trọng: dù chọn đơn vị đo nào (cm, dm, m,…) thì tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ luôn không đổi, vì khi đổi đơn vị, cả tử và mẫu đều nhân (hoặc chia) cùng một hệ số.

Ví dụ: Tìm tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau:

a) $MN = 3$ cm và $PQ = 9$ cm.

$$\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$

b) $EF = 25$ cm và $HK = 10$ dm.

Đổi cùng đơn vị: $HK = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm}$.

$$\dfrac{EF}{HK} = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$$

Lưu ý: Khi hai đoạn thẳng cho ở khác đơn vị, bắt buộc phải đổi về cùng đơn vị trước rồi mới tính tỉ số.

Đoạn thẳng tỉ lệ

Xét bốn đoạn thẳng $AB$, $CD$, $A’B’$, $C’D’$. Nếu tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ bằng tỉ số $\dfrac{A’B’}{C’D’}$ thì ta nói $AB$ và $CD$ tỉ lệ với $A’B’$ và $C’D’$.

Định nghĩa: Hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng $A’B’$ và $C’D’$ nếu có tỉ lệ thức:

$$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A’B’}{C’D’} \quad \text{hay} \quad \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{CD}{C’D’}$$

Khái niệm này chính là ngôn ngữ để phát biểu định lí Thalès ở phần tiếp theo.

2. Định lí Thalès trong tam giác

Định lí Thalès (thuận)

Xét tam giác $ABC$. Nếu ta kẻ một đường thẳng song song với cạnh $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $AB$ tại $B’$ và cắt cạnh $AC$ tại $C’$, thì các đoạn thẳng bị chia ra trên hai cạnh $AB$ và $AC$ có một mối liên hệ tỉ lệ rất đặc biệt.

Định lí Thalès:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cụ thể, trong tam giác $ABC$ với $B’C’ \parallel BC$ ($B’ \in AB$, $C’ \in AC$):

$$\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC} \qquad (1)$$

$$\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C} \qquad (2)$$

$$\dfrac{B’B}{AB} = \dfrac{C’C}{AC} \qquad (3)$$

Ba tỉ lệ thức trên thực chất là tương đương nhau — từ một tỉ lệ thức có thể suy ra hai tỉ lệ thức còn lại. Trong thực hành, các em chọn dạng nào phù hợp với dữ kiện đề bài cho sẵn.

Cách hiểu đơn giản: Đường thẳng $B’C’$ song song với đáy $BC$ “cắt ngang” hai cạnh bên của tam giác. Nó chia mỗi cạnh bên thành hai phần, và tỉ lệ chia trên cạnh này bằng tỉ lệ chia trên cạnh kia.

Ví dụ: Tính độ dài $x$ trong hình dưới, biết $MN \parallel EF$.

Xét tam giác $DEF$ có $MN \parallel EF$ nên theo định lí Thalès:

$$\dfrac{DM}{ME} = \dfrac{DN}{NF}$$

Thay số:

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{x}{5}$$

Suy ra:

$$x = \dfrac{2 \times 5}{4} = 2{,}5$$

Định lí Thalès đảo

Định lí Thalès đảo cho phép ta đi theo chiều ngược lại: nếu đã biết các đoạn thẳng trên hai cạnh tam giác có tỉ lệ bằng nhau, ta có thể kết luận đường thẳng nối chúng song song với cạnh còn lại.

Định lí Thalès đảo:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cụ thể, trong tam giác $ABC$ với $B’ \in AB$, $C’ \in AC$:

$$\text{Nếu } \dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC} \quad \Rightarrow \quad B’C’ \parallel BC$$

So sánh hai chiều của định lí:

Ví dụ: Quan sát hình dưới. Chứng minh rằng $MN \parallel EF$.

Trong tam giác $DEF$, ta tính:

$$\dfrac{DM}{ME} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

$$\dfrac{DN}{NF} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2}$$

Vì $\dfrac{DM}{ME} = \dfrac{DN}{NF} = \dfrac{1}{2}$ nên theo định lí Thalès đảo, suy ra $MN \parallel EF$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tam giác và đường thẳng song song với một cạnh của tam giác đó.

Bước 2: Áp dụng định lí Thalès, viết tỉ lệ thức phù hợp với các đoạn thẳng mà đề bài cho (chọn dạng có chứa ẩn cần tìm và các giá trị đã biết).

Bước 3: Thay số vào tỉ lệ thức, giải phương trình tìm ẩn.

Ví dụ mẫu 1 (BT 4.1a): Tìm độ dài $x$ trong hình, biết $HK \parallel QE$.

Lời giải chi tiết:

Ta cần tìm $x = KE$.

Quan sát hình, ta thấy tam giác $PQE$ có đường thẳng $HK$ song song với cạnh $QE$ (theo giả thiết), trong đó $H \in PQ$ và $K \in PE$.

Áp dụng định lí Thalès cho tam giác $PQE$ với $HK \parallel QE$:

$$\dfrac{PH}{HQ} = \dfrac{PK}{KE}$$

Thay các giá trị đã biết vào: $PH = 6$, $HQ = 4$, $PK = 8$, $KE = x$:

$$\dfrac{6}{4} = \dfrac{8}{x}$$

Từ tỉ lệ thức, ta tính được:

$$x = \dfrac{4 \times 8}{6} = \dfrac{32}{6} \approx 5{,}3$$

Vậy $KE \approx 5{,}3$.

Ví dụ mẫu 2 (Luyện tập 3a): Tìm độ dài $x$ trong hình, biết $MN \parallel BC$.

Lời giải chi tiết:

Ta cần tìm $x = MB$.

Quan sát hình, ta thấy tam giác $ABC$ có $MN \parallel BC$, trong đó $M \in AB$ và $N \in AC$.

Áp dụng định lí Thalès cho tam giác $ABC$:

$$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$$

Thay số: $AM = 6{,}5$, $AN = 4$, $NC = 2$, $MB = x$:

$$\dfrac{6{,}5}{x} = \dfrac{4}{2}$$

Rút gọn vế phải:

$$\dfrac{6{,}5}{x} = 2$$

Suy ra:

$$x = \dfrac{6{,}5}{2} = 3{,}25$$

Vậy $MB = 3{,}25$.

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song bằng định lí Thalès đảo

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tam giác chứa hai đoạn thẳng cần xét và cạnh cần chứng minh song song.

Bước 2: Tính hai tỉ số tương ứng trên hai cạnh của tam giác (phải viết cùng kiểu: cùng $\dfrac{\text{phần gần đỉnh}}{\text{toàn bộ cạnh}}$ hoặc cùng $\dfrac{\text{phần gần đỉnh}}{\text{phần còn lại}}$).

Bước 3: So sánh hai tỉ số. Nếu bằng nhau → kết luận song song theo định lí Thalès đảo.

Ví dụ mẫu (BT 4.2a): Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình và giải thích.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình, trong tam giác $MNP$ ta có $E \in MN$ và $F \in MP$ với $ME = 2$, $EN = 3$, $MF = 3$, $FP = 4{,}5$.

Ta muốn kiểm tra xem $EF$ có song song với $NP$ hay không.

Tính tỉ số trên cạnh $MN$:

$$\dfrac{ME}{EN} = \dfrac{2}{3}$$

Tính tỉ số trên cạnh $MP$:

$$\dfrac{MF}{FP} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{3}{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3 \times 2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$$

So sánh:

$$\dfrac{ME}{EN} = \dfrac{MF}{FP} = \dfrac{2}{3}$$

Hai tỉ số bằng nhau, nên theo định lí Thalès đảo, ta kết luận: $EF \parallel NP$.

Dạng 3: Chứng minh hệ thức tỉ số trong tam giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tất cả các đường thẳng song song trong hình (từ giả thiết hoặc suy ra).

Bước 2: Áp dụng định lí Thalès cho từng tam giác có đường thẳng song song, viết ra các tỉ lệ thức.

Bước 3: Biến đổi đại số — cộng, trừ, thay thế — để dẫn đến hệ thức cần chứng minh.

Tính chất hay dùng: Nếu $\dfrac{AB’}{AB} = k$ thì $\dfrac{B’B}{AB} = 1 – k$ (vì $AB’ + B’B = AB$).

Ví dụ mẫu 1 (BT 4.3): Cho tam giác $ABC$, từ điểm $D$ trên cạnh $BC$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $F$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $E$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = 1$.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết, $D$ nằm trên cạnh $BC$:

• $DE \parallel AC$ với $E \in AB$.
• $DF \parallel AB$ với $F \in AC$.

Xét đường thẳng $DE \parallel AC$ trong tam giác $ABC$:

$D \in BC$, $E \in AB$, $DE \parallel AC$.

Áp dụng định lí Thalès:

$$\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$$

Mà $BE = BA – AE = AB – AE$, nên $\dfrac{BE}{BA} = 1 – \dfrac{AE}{AB}$.

Suy ra:

$$1 – \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{BD}{BC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{AE}{AB} = 1 – \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{DC}{BC} \quad (*)$$

Xét đường thẳng $DF \parallel AB$ trong tam giác $ABC$:

$D \in BC$, $F \in AC$, $DF \parallel AB$.

Áp dụng định lí Thalès:

$$\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CD}{CB}$$

Mà $CF = CA – AF = AC – AF$, nên $\dfrac{CF}{CA} = 1 – \dfrac{AF}{AC}$.

Suy ra:

$$1 – \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{CD}{CB} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{AF}{AC} = 1 – \dfrac{CD}{BC} = \dfrac{BD}{BC} \quad (**)$$

Cộng $(*)$ và $(**)$:

$$\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{DC}{BC} + \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{DC + BD}{BC} = \dfrac{BC}{BC} = 1$$

Vậy $\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = 1$ (đpcm).

Ví dụ mẫu 2 (BT 4.4): Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Vẽ đường thẳng $d$ qua $G$ và song song với $AB$, $d$ cắt $BC$ tại điểm $M$.

Chứng minh rằng: $BM = \dfrac{1}{3}BC$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $N$ là trung điểm $AB$. Khi đó $CN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác nên $G$ nằm trên $CN$ và ta có:

$$\dfrac{CG}{CN} = \dfrac{2}{3}$$

Suy ra:

$$\dfrac{GN}{CN} = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \quad (*)$$

Bây giờ, xét tam giác $CNB$:

• $G \in CN$ (vì $G$ nằm trên trung tuyến $CN$).
• $M \in CB$ (theo giả thiết).
• Đường thẳng $GM \parallel NB$ (vì $GM \parallel AB$ theo giả thiết, mà $N \in AB$ nên $NB$ nằm trên $AB$, do đó $GM \parallel NB$).

Áp dụng định lí Thalès cho tam giác $CNB$ với $GM \parallel NB$:

$$\dfrac{CM}{CB} = \dfrac{CG}{CN} = \dfrac{2}{3}$$

Suy ra:

$$CM = \dfrac{2}{3}BC$$

Do đó:

$$BM = BC – CM = BC – \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{1}{3}BC$$

Vậy $BM = \dfrac{1}{3}BC$ (đpcm).

Dạng 4: Ứng dụng thực tế – Đo chiều cao, khoảng cách gián tiếp

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình từ mô tả thực tế. Xác định các đoạn thẳng vuông góc với mặt đất (cột đèn, cây, cọc, tường…) — chúng song song với nhau vì cùng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang.

Bước 2: Xác định tam giác chứa đường thẳng song song, viết tỉ lệ thức theo định lí Thalès.

Bước 3: Thay các số liệu đo được vào tỉ lệ thức, tính ra đại lượng cần tìm.

Nhận biết nhanh: Trong các bài “bóng nắng”, các vật thẳng đứng (cột điện, cây, cọc) đều vuông góc với mặt đất → chúng song song với nhau → tạo thành cấu hình Thalès.

Ví dụ mẫu 1 (Tình huống mở đầu SGK): Cây cầu $AB$ bắc qua một con sông có chiều rộng $300$ m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm $C$ và $D$ trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm $E$ trên đường thẳng $AB$ sao cho ba điểm $E$, $C$, $D$ thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được $AE = 400$ m, $EC = 500$ m. Tính khoảng cách $CD$.

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ, ta thấy $AC$ và $BD$ đều vuông góc với bờ sông (tức vuông góc với đường thẳng $AB$), nên $AC \parallel BD$.

Tính $EB$:

$$EB = EA + AB = 400 + 300 = 700 \text{ (m)}$$

Xét tam giác $EBD$ có $AC \parallel BD$ ($A \in EB$, $C \in ED$).

Áp dụng định lí Thalès:

$$\dfrac{EA}{EB} = \dfrac{EC}{ED}$$

Thay số:

$$\dfrac{400}{700} = \dfrac{500}{ED}$$

Suy ra:

$$ED = \dfrac{500 \times 700}{400} = \dfrac{350\,000}{400} = 875 \text{ (m)}$$

Tính $CD$:

$$CD = ED – EC = 875 – 500 = 375 \text{ (m)}$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $C$ và $D$ là $375$ m.

Ví dụ mẫu 2 (Bài bóng nắng): Bóng của một cột điện $MK$ trên mặt đất dài $AK = 6$ m. Cùng lúc đó, một cột đèn giao thông $DE$ cao $3$ m có bóng $AE$ dài $2$ m. Tính chiều cao cột điện $MK$.

Lời giải chi tiết:

Vì cột điện $MK$ và cột đèn $DE$ đều vuông góc với mặt đất nên $MK \parallel DE$.

Quan sát hình, ta thấy điểm $A$ là giao của bóng hai vật trên mặt đất (cũng là đỉnh tam giác). Xét tam giác $AMK$ có:

• $MK$ vuông góc mặt đất tại $K$.
• $DE$ vuông góc mặt đất tại $E$.
• $DE \parallel MK$, với $E \in AK$ và $D \in AM$.

Áp dụng định lí Thalès cho tam giác $AMK$ với $DE \parallel MK$:

$$\dfrac{DE}{MK} = \dfrac{AE}{AK}$$

Thay số: $DE = 3$ m, $AE = 2$ m, $AK = 6$ m:

$$\dfrac{3}{MK} = \dfrac{2}{6}$$

Suy ra:

$$MK = \dfrac{3 \times 6}{2} = \dfrac{18}{2} = 9 \text{ (m)}$$

Vậy cột điện $MK$ cao $9$ m.

Ví dụ mẫu 3 (BT 4.5): Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí $A$, $F$, $C$ cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm $C$, $E$, $B$ thẳng hàng, ba điểm $C$, $F$, $A$ thẳng hàng và $AB \parallel EF$. Bác An đo được $AF = 40$ m, $FC = 20$ m, $EC = 30$ m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết: ba điểm $C$, $E$, $B$ thẳng hàng; ba điểm $C$, $F$, $A$ thẳng hàng. Như vậy, $C$, $E$, $B$ nằm trên một đường thẳng và $C$, $F$, $A$ nằm trên một đường thẳng khác. Ta nhận được tam giác $CAB$ (hoặc $CBA$).

Tính $CA$:

$$CA = CF + FA = 20 + 40 = 60 \text{ (m)}$$

Xét tam giác $CAB$ có $EF \parallel AB$ (giả thiết), trong đó $E \in CB$ và $F \in CA$.

Áp dụng định lí Thalès:

$$\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$$

Thay số: $CF = 20$, $CA = 60$, $CE = 30$:

$$\dfrac{20}{60} = \dfrac{30}{CB}$$

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{30}{CB}$$

Suy ra:

$$CB = 30 \times 3 = 90 \text{ (m)}$$

Tính $BE$:

$$BE = CB – CE = 90 – 30 = 60 \text{ (m)}$$

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ là $60$ m.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Ba dạng tỉ lệ thức tương đương: Khi $B’C’ \parallel BC$ trong tam giác $ABC$, chỉ cần nhớ một dạng rồi suy ra tất cả:

$$\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC} = k \quad \Rightarrow \quad \dfrac{B’B}{AB} = \dfrac{C’C}{AC} = 1 – k$$

Đặc biệt, nếu $k = \dfrac{1}{2}$ thì $B’C’$ là đường trung bình tam giác.

Mẹo 2 — Chọn tỉ lệ thức “tiện” nhất: Tùy đề bài cho dữ kiện gì, chọn dạng có ít ẩn nhất:

• Đề cho $AB’$ và $AB$ → dùng $\dfrac{AB’}{AB} = \dfrac{AC’}{AC}$.
• Đề cho $AB’$ và $B’B$ → dùng $\dfrac{AB’}{B’B} = \dfrac{AC’}{C’C}$.

Mẹo 3 — Bài thực tế “bóng nắng”: Tia nắng mặt trời coi như song song → các vật vuông góc mặt đất song song với nhau → luôn có tam giác chứa đường thẳng song song → áp dụng Thalès. Cách vẽ hình: đỉnh tam giác là điểm cuối bóng (nơi bóng gặp nhau trên mặt đất), hai cạnh bên đi qua đỉnh hai vật thẳng đứng.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh song song: Tính hai tỉ số tương ứng rồi rút gọn. Nếu bằng nhau → song song. Nếu khác → không song song. Nên rút gọn về cùng dạng phân số tối giản để so sánh chính xác.

Tổng kết

Qua Bài 15, các em cần nắm vững:

Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài theo cùng đơn vị đo, giá trị này không thay đổi khi đổi đơn vị. Hai đoạn thẳng $AB$, $CD$ tỉ lệ với $A’B’$, $C’D’$ khi $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{A’B’}{C’D’}$.

Định lí Thalès (thuận): Khi một đường thẳng song song với một cạnh tam giác cắt hai cạnh còn lại, nó tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh đó. Ứng dụng chính: tính độ dài đoạn thẳng.

Định lí Thalès đảo: Khi một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. Ứng dụng chính: chứng minh hai đường thẳng song song.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: tính độ dài bằng Thalès thuận, chứng minh song song bằng Thalès đảo, chứng minh hệ thức tỉ số, và ứng dụng thực tế đo đạc gián tiếp. Nắm vững định lí Thalès sẽ là nền tảng vững chắc để các em học tiếp bài Tam giác đồng dạng ở ngay sau đó.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du