Bài 16 tiếp nối kiến thức định lí Thalès ở bài trước, giới thiệu một khái niệm rất hay dùng trong hình học: đường trung bình của tam giác. Tính chất của đường trung bình — vừa song song vừa bằng nửa cạnh đối diện — là công cụ cực kỳ hữu ích để chứng minh hai đường thẳng song song, tính độ dài đoạn thẳng, và đặc biệt là chứng minh các tứ giác đặc biệt (hình bình hành, hình thang, hình chữ nhật…).

1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Nhận biết đường trung bình của tam giác

Trong thực tế, chiếc thước chữ A dùng để đo đạc trên mặt đất có một thanh ngang nối trung điểm hai thanh bên. Thanh ngang đó chính là hình ảnh trực quan của đường trung bình trong tam giác.

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Cụ thể, trong tam giác $ABC$, nếu $D$ là trung điểm của $AB$ và $E$ là trung điểm của $AC$, thì đoạn thẳng $DE$ được gọi là đường trung bình của tam giác $ABC$ (ứng với cạnh $BC$).

Mỗi tam giác có ba đường trung bình, ứng với ba cạnh. Ví dụ trong tam giác $ABC$ với $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$, $BC$ thì ba đường trung bình là $MN$, $MP$, $NP$.

2. Tính chất đường trung bình của tam giác

Tính chất đường trung bình

Định lí: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Phát biểu dưới dạng GT – KL:

$$\text{GT: } \triangle ABC, ; AD = DB ; (D \in AB), ; AE = EC ; (E \in AC)$$

$$\text{KL: } DE \parallel BC ;\text{ và }; DE = \dfrac{1}{2}BC$$

Chứng minh định lí:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác $ABC$, vì $D$ là trung điểm $AB$ và $E$ là trung điểm $AC$ nên:

$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}$$

Theo định lí Thalès đảo, suy ra $DE \parallel BC$.

Tương tự, trong tam giác $ABC$, vì $E$ là trung điểm $AC$ và $M$ là trung điểm $BC$ nên $EM \parallel AB$, tức $EM \parallel DB$.

Tứ giác $DEMB$ có: $DE \parallel BM$ và $EM \parallel DB$ → $DEMB$ là hình bình hành.

Do đó: $DE = BM = \dfrac{1}{2}BC$.

Vậy $DE \parallel BC$ và $DE = \dfrac{1}{2}BC$. $\square$

Chú ý quan trọng

Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Chú ý này rất hay được dùng “ngược”: khi biết đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh khác → kết luận nó đi qua trung điểm cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác $PQR$ với $M$ là trung điểm $PQ$, $N$ là trung điểm $PR$ và $QR = 12$ cm. Tính $MN$.

Tam giác $PQR$ có $M$ là trung điểm $PQ$, $N$ là trung điểm $PR$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $PQR$ ứng với cạnh $QR$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$MN = \dfrac{1}{2}QR = \dfrac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ (cm)}$$

Vậy $MN = 6$ cm.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng bằng tính chất đường trung bình

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định đoạn thẳng cần tính nằm trong tam giác nào, và kiểm tra xem nó có phải là đường trung bình không (hai đầu mút có phải trung điểm hai cạnh hay không).

Bước 2: Nếu đúng là đường trung bình → áp dụng công thức: đường trung bình bằng nửa cạnh đối diện.

Bước 3: Nếu cạnh đối diện là đường trung bình → suy ngược: cạnh đối diện bằng hai lần đường trung bình.

Ví dụ mẫu (BT 4.6a): Tính độ dài $x$ trong hình, biết $D$, $H$, $K$ lần lượt là trung điểm các cạnh.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình, trong tam giác $DEF$:

• $H$ là trung điểm cạnh $DF$.
• $K$ là trung điểm cạnh $EF$.

Do đó $HK$ là đường trung bình của tam giác $DEF$ ứng với cạnh $DE$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$HK = \dfrac{1}{2}DE$$

Mà $HK = 3$, suy ra:

$$DE = 2 \times HK = 2 \times 3 = 6$$

Vậy $x = DE = 6$.

Ví dụ mẫu (BT 4.6b): Tính độ dài $y$ trong hình.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

• $M$ là trung điểm $AB$ (vì $BM = MA = 3$).
• $N$ nằm trên $BC$ với $BN = 5$.

Ta cần tìm $y = NC$.

Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $MN \parallel AC$ (từ hình vẽ, $MN \perp AB$ và $AC \perp AB$ nên $MN \parallel AC$), theo chú ý về đường trung bình: đường thẳng qua trung điểm một cạnh song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Suy ra $N$ là trung điểm $BC$.

Do đó: $NC = BN = 5$.

Vậy $y = 5$.

Dạng 2: Chứng minh tứ giác đặc biệt bằng đường trung bình

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đường trung bình trong hình → suy ra các cặp đoạn thẳng song song và bằng nhau (hoặc bằng nửa).

Bước 2: Sử dụng các kết quả đó để kiểm tra dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt:

• Hình thang: một cặp cạnh đối song song.
• Hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Hình chữ nhật: hình bình hành có một góc vuông.

Lưu ý: Đường trung bình cho ta đồng thời hai thông tin: song song VÀ bằng nửa — tận dụng cả hai.

Ví dụ mẫu 1 (BT 4.7): Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $AC$, $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang.

b) Tứ giác $MNPB$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

a) Trong tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}BC$$

Tứ giác $BMNC$ có $MN \parallel BC$ (một cặp cạnh đối song song).

Mà $MN = \dfrac{1}{2}BC \neq BC$ (vì $BC > 0$), nên $MN \neq BC$, tức hai cạnh đối song song nhưng không bằng nhau.

Vậy tứ giác $BMNC$ là hình thang (có đúng một cặp cạnh đối song song).

b) Từ câu a) ta đã có: $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $BC$.

Do đó $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AC$.

$$MP \parallel AC \quad \text{và} \quad MP = \dfrac{1}{2}AC$$

Xét tứ giác $MNPB$:

• $MN \parallel BP$ (vì $MN \parallel BC$ mà $P \in BC$ nên $MN \parallel BP$).
• $MN = \dfrac{1}{2}BC = BP$ (vì $P$ là trung điểm $BC$ nên $BP = \dfrac{1}{2}BC$).

Tứ giác $MNPB$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($MN \parallel BP$ và $MN = BP$).

Vậy $MNPB$ là hình bình hành.

Ví dụ mẫu 2 (BT 4.9): Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Chứng minh rằng tứ giác $AHOK$ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh $AHOK$ là hình bình hành:

Xét tam giác $ABD$:

• $H$ là trung điểm $AB$ (giả thiết).
• $K$ là trung điểm $AD$ (giả thiết).

Do đó $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ ứng với cạnh $BD$.

Suy ra:

$$HK \parallel BD \quad \text{và} \quad HK = \dfrac{1}{2}BD \quad (1)$$

Mặt khác, $ABCD$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức $O$ là trung điểm $BD$.

Do đó:

$$AO = \dfrac{1}{2}AC \quad \text{và} \quad BO = \dfrac{1}{2}BD$$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD$, suy ra $AO = BO = \dfrac{1}{2}BD$.

Từ $(1)$: $HK = \dfrac{1}{2}BD$.

Lại có $AO \parallel BO$… Ta tiếp cận cách khác gọn hơn.

Trong tam giác $ABD$, $HK$ là đường trung bình nên $HK \parallel BD$ và $HK = \dfrac{1}{2}BD$.

Mà $O$ là trung điểm $BD$ nên $OB = \dfrac{1}{2}BD$.

Xét tứ giác $HBOK$: Trong tam giác $ABD$, ta đã có $HK \parallel BD$.

Ta chuyển sang xét trực tiếp tứ giác $AHOK$:

Trong tam giác $ABC$:

• $H$ là trung điểm $AB$.
• $O$ là trung điểm $AC$ (vì $O$ là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật).

Do đó $HO$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$.

$$HO \parallel BC \quad \text{và} \quad HO = \dfrac{1}{2}BC \quad (2)$$

Trong tam giác $ACD$:

• $K$ là trung điểm $AD$.
• $O$ là trung điểm $AC$.

Do đó $OK$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ ứng với cạnh $CD$.

$$OK \parallel CD \quad \text{và} \quad OK = \dfrac{1}{2}CD \quad (3)$$

Từ $(2)$: $HO \parallel BC$ hay $HO \parallel AD$ (vì $BC \parallel AD$ trong hình chữ nhật).

Mà $K \in AD$ nên $HO \parallel AK$.

Từ $(3)$: $OK \parallel CD$ hay $OK \parallel AB$ (vì $CD \parallel AB$ trong hình chữ nhật).

Mà $H \in AB$ nên $OK \parallel AH$.

Tứ giác $AHOK$ có $HO \parallel AK$ và $OK \parallel AH$ → $AHOK$ là hình bình hành.

Chứng minh $AHOK$ có một góc vuông:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{A} = 90°$, tức $AB \perp AD$, hay $AH \perp AK$.

Hình bình hành $AHOK$ có $\widehat{HAK} = 90°$ → $AHOK$ là hình chữ nhật (đpcm).

Dạng 3: Chứng minh song song, trung điểm và hệ thức đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các trung điểm trong hình → nhận ra đường trung bình → suy ra song song.

Bước 2: Ngược lại, nếu biết song song và trung điểm → dùng chú ý (đường thẳng qua trung điểm một cạnh, song song cạnh thứ hai → đi qua trung điểm cạnh thứ ba) để suy ra trung điểm mới.

Bước 3: Kết hợp đường trung bình với hình bình hành, hình thang để suy ra các hệ thức về độ dài hoặc tỉ số.

Ví dụ mẫu 1 (BT 4.8): Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Lấy hai điểm $D$ và $E$ trên cạnh $AB$ sao cho $AD = DE = EB$ và $D$ nằm giữa hai điểm $A$, $E$.

a) Chứng minh $DC \parallel EM$.

b) $DC$ cắt $AM$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $AM$.

Lời giải chi tiết:

a) Theo giả thiết: $AD = DE = EB$, nên $AB$ bị chia thành ba phần bằng nhau.

Suy ra: $E$ là trung điểm $DB$ (vì $DE = EB$).

Xét tam giác $DBC$:

• $M$ là trung điểm $BC$ (vì $AM$ là trung tuyến).
• $E$ là trung điểm $DB$ (vì $DE = EB$).

Do đó $EM$ là đường trung bình của tam giác $DBC$ ứng với cạnh $DC$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$EM \parallel DC$$

Vậy $DC \parallel EM$ (đpcm).

b) Từ câu a) ta có $EM \parallel DC$.

Xét tam giác $ADC$:

• $D$ là trung điểm $AE$…

Ta xét lại: $AD = DE = EB$ nên $D$ chia $AB$ sao cho $AD = \dfrac{1}{3}AB$ và $AE = \dfrac{2}{3}AB$.

Suy ra $E$ là trung điểm $DB$.

Xét tam giác $AEM$: đường thẳng $DC$ cắt cạnh $AE$ tại $D$ và cắt cạnh $AM$ tại $I$.

Ta có $DC \parallel EM$ (câu a).

Mà $D$ là trung điểm $AE$ (vì $AD = DE$).

Theo chú ý về đường trung bình: trong tam giác $AEM$, đường thẳng qua trung điểm $D$ của cạnh $AE$ và song song với $EM$ thì đi qua trung điểm cạnh $AM$.

Do đó $I$ là trung điểm của $AM$ (đpcm).

Ví dụ mẫu 2 (Bài 2 giáo án): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $AM$, $N$ là trung điểm của $AC$. Từ $A$ kẻ tia $Ax$ song song với $BC$ cắt $MN$ tại $E$.

a) Chứng minh $MB = MC$.

b) Chứng minh $ME \parallel AB$.

c) Chứng minh $AE = MC$.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AM$ đồng thời là đường trung tuyến.

Do đó $M$ là trung điểm $BC$, suy ra $BM = MC$.

b) Từ câu a): $M$ là trung điểm $BC$. Theo giả thiết: $N$ là trung điểm $AC$.

Xét tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AB$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$MN \parallel AB$$

Mà $E$ nằm trên đường thẳng $MN$ (vì $E$ là giao điểm $MN$ với tia $Ax$), nên $ME \parallel AB$ (đpcm).

c) Xét tứ giác $ABME$:

• $AE \parallel BM$ (vì $AE$ nằm trên tia $Ax$ song song với $BC$, mà $BM$ nằm trên $BC$, nên $AE \parallel BM$).
• $AB \parallel ME$ (chứng minh ở câu b).

Tứ giác $ABME$ có hai cặp cạnh đối song song → $ABME$ là hình bình hành.

Suy ra: $AE = BM$ (cạnh đối hình bình hành).

Mà $BM = MC$ (câu a).

Vậy $AE = MC$ (đpcm).

Ví dụ mẫu 3 (Bài 3 giáo án): Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Trên $AC$ lấy điểm $E$, $F$ sao cho $AE = EF = FC$. $BE$ cắt $AM$ tại $O$.

a) Chứng minh $OEFM$ là hình thang.

b) Chứng minh $BO = 3 \cdot OE$.

Lời giải chi tiết:

a) Theo giả thiết: $AE = EF = FC$, nên $AC$ bị chia thành ba phần bằng nhau.

Suy ra: $F$ là trung điểm $EC$ (vì $EF = FC$).

Xét tam giác $BCE$:

• $M$ là trung điểm $BC$ (vì $AM$ là trung tuyến).
• $F$ là trung điểm $EC$ (vì $EF = FC$).

Do đó $MF$ là đường trung bình của tam giác $BCE$ ứng với cạnh $BE$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$MF \parallel BE$$

Tứ giác $OEFM$ có $EF$ và $OM$ là hai cạnh, trong đó $MF \parallel BE$ nghĩa là $MF \parallel OE$ (vì $O$ nằm trên $BE$).

Nói cách khác, $FM \parallel EO$ → tứ giác $OEFM$ có một cặp cạnh đối song song ($EO \parallel FM$).

Vậy $OEFM$ là hình thang (đpcm).

b) Từ câu a): $MF \parallel BE$ và $MF = \dfrac{1}{2}BE$ (tính chất đường trung bình).

Xét tam giác $AMF$:

• $AE = EF$ nên $E$ là trung điểm $AF$.
• $OE \parallel MF$ (vì $BE \parallel MF$, mà $O \in BE$, $E \in AF$).

Trong tam giác $AMF$, đường thẳng $OE$ đi qua trung điểm $E$ của cạnh $AF$ và song song với cạnh $MF$. Theo chú ý về đường trung bình, suy ra $O$ là trung điểm $AM$.

Do đó $OE$ là đường trung bình của tam giác $AMF$:

$$OE = \dfrac{1}{2}MF$$

Mà $MF = \dfrac{1}{2}BE$ (đã chứng minh), nên:

$$OE = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{4}BE$$

Suy ra: $BE = 4 \cdot OE$.

Do đó:

$$BO = BE – OE = 4 \cdot OE – OE = 3 \cdot OE$$

Vậy $BO = 3 \cdot OE$ (đpcm).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Đường trung bình cho hai thông tin cùng lúc: Khi nhận ra $DE$ là đường trung bình → lập tức viết: $DE \parallel BC$ VÀ $DE = \dfrac{1}{2}BC$. Nhiều bài cần dùng cả hai thông tin, đừng bỏ sót.

Mẹo 2 — Chiều ngược (chú ý) rất hay gặp: Khi thấy đề cho “đường thẳng qua trung điểm một cạnh, song song cạnh khác” → nghĩ ngay đến chú ý để suy ra trung điểm cạnh thứ ba. Đây là công cụ chứng minh trung điểm cực nhanh.

Mẹo 3 — Kết hợp đường trung bình + hình bình hành: Khi đường trung bình cho ta $DE \parallel BC$ và $DE = \dfrac{1}{2}BC$, nếu có thêm một đoạn nào đó cũng bằng $\dfrac{1}{2}BC$ và song song $BC$ → ghép thành hình bình hành. Đây là kỹ thuật dùng xuyên suốt trong chứng minh định lí và nhiều bài tập.

Mẹo 4 — Ba đường trung bình chia tam giác thành 4 tam giác bằng nhau: Ba đường trung bình của tam giác chia tam giác ban đầu thành 4 tam giác nhỏ bằng nhau. Tính chất này rất hữu ích trong các bài tính diện tích hoặc nhận biết hình dạng tứ giác.

Tổng kết

Qua Bài 16, các em cần nắm vững:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh. Mỗi tam giác có ba đường trung bình.

Tính chất: Đường trung bình song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Công thức: nếu $D$, $E$ là trung điểm $AB$, $AC$ thì $DE \parallel BC$ và $DE = \dfrac{1}{2}BC$.

Chú ý quan trọng: Đường thẳng qua trung điểm một cạnh, song song cạnh thứ hai → đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Chiều ngược này được dùng rất nhiều để chứng minh trung điểm.

Ba dạng bài tập cốt lõi: tính độ dài bằng đường trung bình, chứng minh tứ giác đặc biệt (hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật), và chứng minh song song – trung điểm – hệ thức đoạn thẳng. Đường trung bình là công cụ liên kết giữa định lí Thalès và các kiến thức về tứ giác đặc biệt, sẽ tiếp tục được sử dụng nhiều trong các bài về tam giác đồng dạng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du