Ở các chương trước các em làm việc với đa thức, thì giờ đây các em sẽ mở rộng sang phân thức — biểu thức có dạng “phân số” nhưng tử và mẫu là các đa thức. Bài này cung cấp ba nội dung nền tảng: khái niệm phân thức, hai phân thức bằng nhau, và điều kiện xác định cùng giá trị của phân thức.

1. Phân thức đại số

Phân thức đại số là gì?

Khi biểu diễn các đại lượng trong thực tế bằng biểu thức đại số, ta thường gặp những biểu thức có dạng thương của hai đa thức. Chẳng hạn, nếu một ô tô đi quãng đường $s$ km với vận tốc $v$ km/h thì thời gian đi là $\dfrac{s}{v}$ — đây chính là một phân thức đại số.

Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A$, $B$ là hai đa thức và $B$ khác đa thức 0.

$A$ được gọi là tử thức (hoặc tử) và $B$ được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).

Nhận xét: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phân thức đại số.

Ví dụ: Cách viết nào sau đây không cho một phân thức?

$$\dfrac{4y^2z}{x^3}; \quad \dfrac{xy + z}{-5}; \quad \dfrac{y + z}{0}; \quad \dfrac{0}{x + 1}; \quad x^2 – 3xy$$

→ $\dfrac{y + z}{0}$ không phải là một phân thức, vì mẫu thức bằng 0 (vi phạm điều kiện $B$ khác đa thức 0).

→ Các biểu thức còn lại đều là phân thức. Riêng $x^2 – 3xy$ là đa thức, cũng được coi là phân thức $\dfrac{x^2 – 3xy}{1}$ với mẫu bằng 1.

Chú ý: Biểu thức $\dfrac{3 – 2x}{3 + \dfrac{1}{x}}$ không phải là phân thức, vì mẫu $3 + \dfrac{1}{x}$ không phải là đa thức (chứa $\dfrac{1}{x}$).

2. Hai phân thức bằng nhau

Tương tự quy tắc bằng nhau của hai phân số ($\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ nếu $ad = bc$), ta có:

Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$.

Ta viết: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A \cdot D = B \cdot C$.

Ví dụ: Giải thích vì sao $\dfrac{1 + x}{1 – x^2} = \dfrac{1}{1 – x}$.

Ta kiểm tra: $(1 + x)(1 – x) = 1 – x^2$ và $(1 – x^2) \cdot 1 = 1 – x^2$.

Vì $(1 + x)(1 – x) = (1 – x^2) \cdot 1$ nên $\dfrac{1 + x}{1 – x^2} = \dfrac{1}{1 – x}$.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

Giá trị của phân thức tại giá trị đã cho của biến

Khi thay các biến trong một phân thức bằng các số, nếu mẫu số nhận được khác 0, ta được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ: Tính giá trị của phân thức $\dfrac{x^2 + 2x – 3}{x^2 + 5x}$ tại $x = 3$ và $x = 1$.

Tại $x = 3$: $\dfrac{3^2 + 2 \cdot 3 – 3}{3^2 + 5 \cdot 3} = \dfrac{9 + 6 – 3}{9 + 15} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$.

Tại $x = 1$: $\dfrac{1^2 + 2 \cdot 1 – 3}{1^2 + 5 \cdot 1} = \dfrac{1 + 2 – 3}{1 + 5} = \dfrac{0}{6} = 0$.

Điều kiện xác định của phân thức

Vì phép chia chỉ thực hiện được khi số chia khác 0, nên ta chỉ có thể tính được giá trị của phân thức khi mẫu thức có giá trị khác 0.

Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Chú ý: Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.

Ví dụ: Viết điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x – 3}{x + 2}$.

Điều kiện xác định: $x + 2 \neq 0$, hay $x \neq -2$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết phân thức, xác định tử thức và mẫu thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$ với $A$, $B$ là đa thức và $B \neq 0$ hay không.

Bước 2: Nếu có → là phân thức, $A$ là tử, $B$ là mẫu. Nếu $B = 0$ hoặc $B$ không phải đa thức → không phải phân thức.

Bước 3: Khi so sánh mẫu thức của hai phân thức, cần biến đổi để kiểm tra xem mẫu có thực sự giống nhau hay không (ví dụ: $4x – 8 = 4(x – 2)$).

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.1): Viết tử thức và mẫu thức của phân thức $\dfrac{5x – 2}{3}$.

Lời giải chi tiết:

Phân thức $\dfrac{5x – 2}{3}$ có:

• Tử thức: $5x – 2$.
• Mẫu thức: $3$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.2c): Trong các cặp phân thức sau, cặp nào có mẫu giống nhau?

$$\dfrac{x – 1}{3x + 6} \quad \text{và} \quad \dfrac{x + 1}{3(x + 2)}$$

Lời giải chi tiết:

Phân thức thứ nhất có mẫu: $3x + 6$.

Phân thức thứ hai có mẫu: $3(x + 2)$.

Ta phân tích: $3x + 6 = 3(x + 2)$.

Vậy hai phân thức có cùng mẫu thức.

Dạng 2: Chứng minh hai phân thức bằng nhau

Phương pháp giải:

Cách 1 — Tích chéo: Muốn chứng minh $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$, ta tính $A \cdot D$ và $B \cdot C$. Nếu $A \cdot D = B \cdot C$ → hai phân thức bằng nhau.

Cách 2 — Phân tích nhân tử: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn để thấy hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.3a): Kết luận sau đúng hay sai? $\dfrac{-6}{-4y} = \dfrac{3y}{2y^2}$.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra tích chéo:

• Vế trái × mẫu vế phải: $(-6) \cdot 2y^2 = -12y^2$.
• Vế phải × mẫu vế trái: $3y \cdot (-4y) = -12y^2$.

Vì $(-6) \cdot 2y^2 = 3y \cdot (-4y) = -12y^2$ nên $\dfrac{-6}{-4y} = \dfrac{3y}{2y^2}$.

→ Kết luận đúng.

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.3b): Kết luận sau đúng hay sai? $\dfrac{x + 3}{5} = \dfrac{x^2 + 3x}{5x}$.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra tích chéo:

• $(x + 3) \cdot 5x = 5x^2 + 15x$.
• $5 \cdot (x^2 + 3x) = 5x^2 + 15x$.

Vì $(x + 3) \cdot 5x = 5 \cdot (x^2 + 3x) = 5x^2 + 15x$ nên $\dfrac{x + 3}{5} = \dfrac{x^2 + 3x}{5x}$.

→ Kết luận đúng.

Ví dụ mẫu 3 (BT 6.3c): Kết luận sau đúng hay sai? $\dfrac{3x(4x + 1)}{16x^2 – 1} = \dfrac{-3x}{1 – 4x}$.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra tích chéo:

• $3x(4x + 1) \cdot (1 – 4x) = 3x(4x + 1)(1 – 4x) = -3x(4x + 1)(4x – 1)$.
• $(16x^2 – 1) \cdot (-3x) = (4x – 1)(4x + 1) \cdot (-3x) = -3x(4x + 1)(4x – 1)$.

Vì hai tích bằng nhau nên $\dfrac{3x(4x + 1)}{16x^2 – 1} = \dfrac{-3x}{1 – 4x}$.

→ Kết luận đúng.

Dạng 3: Tìm điều kiện xác định và tính giá trị phân thức

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ:

Bước 1: Xác định mẫu thức $B$ của phân thức $\dfrac{A}{B}$.

Bước 2: Giải bất phương trình (hoặc phương trình) $B \neq 0$ để tìm điều kiện của biến.

• Mẫu dạng $ax + b$: điều kiện $x \neq -\dfrac{b}{a}$.
• Mẫu dạng tích: cho từng thừa số $\neq 0$.
• Mẫu dạng $x^2 – a^2 = (x-a)(x+a)$: điều kiện $x \neq \pm a$.

Tính giá trị:

Bước 1: Kiểm tra giá trị của biến có thỏa mãn ĐKXĐ không (tức mẫu $\neq 0$).

Bước 2: Nếu thỏa mãn → thay vào phân thức rồi tính. Nếu không thỏa mãn → phân thức không xác định tại giá trị đó.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.4): Viết điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x^2 + x – 2}{x + 2}$. Tính giá trị phân thức lần lượt tại $x = 0$; $x = 1$; $x = 2$.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: Mẫu thức $x + 2 \neq 0$, tức $x \neq -2$.

Tại $x = 0$: Kiểm tra: $0 \neq -2$ ✓ (thỏa mãn ĐKXĐ).

$$\dfrac{0^2 + 0 – 2}{0 + 2} = \dfrac{-2}{2} = -1$$

Tại $x = 1$: Kiểm tra: $1 \neq -2$ ✓.

$$\dfrac{1^2 + 1 – 2}{1 + 2} = \dfrac{0}{3} = 0$$

Tại $x = 2$: Kiểm tra: $2 \neq -2$ ✓.

$$\dfrac{2^2 + 2 – 2}{2 + 2} = \dfrac{4}{4} = 1$$

Ví dụ mẫu 2: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau.

a) $\dfrac{x – 2}{x + 3}$

Mẫu: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

b) $\dfrac{x – 1}{x^2 – 1}$

Phân tích mẫu: $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$.

ĐKXĐ: $(x – 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ và $x \neq -1$.

c) $\dfrac{3x – 2}{2x^2 – 6x}$

Phân tích mẫu: $2x^2 – 6x = 2x(x – 3)$.

ĐKXĐ: $2x(x – 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq 3$.

Dạng 4: Tìm giá trị của $x$ để phân thức bằng 0 hoặc bằng giá trị cho trước

Phương pháp giải:

Phân thức bằng 0:

Phân thức $\dfrac{A}{B} = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ đồng thời $B \neq 0$.

Bước 1: Giải phương trình tử = 0 ($A = 0$).

Bước 2: Kiểm tra các nghiệm tìm được có thỏa mãn mẫu ≠ 0 ($B \neq 0$) hay không. Loại bỏ nghiệm nào làm mẫu = 0.

Phân thức bằng giá trị $k$ cho trước:

$\dfrac{A}{B} = k \Rightarrow A = k \cdot B$ (với $B \neq 0$). Giải phương trình rồi kiểm tra ĐKXĐ.

Ví dụ mẫu 1: Cho phân thức $A = \dfrac{x^2 – 4}{4x + 8}$.

a) Tìm ĐKXĐ của $A$.

b) Tính giá trị phân thức $A$ tại $x = 3$.

c) Tìm giá trị của $x$ để phân thức $A$ có giá trị bằng 0.

Lời giải chi tiết:

a) Mẫu: $4x + 8 = 4(x + 2)$.

ĐKXĐ: $4(x + 2) \neq 0 \Rightarrow x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

b) Tại $x = 3$: Kiểm tra $3 \neq -2$ ✓.

$$A = \dfrac{3^2 – 4}{4 \cdot 3 + 8} = \dfrac{9 – 4}{12 + 8} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$$

c) $A = 0$ khi tử $= 0$ và mẫu $\neq 0$:

$$x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -2$$

Kiểm tra ĐKXĐ ($x \neq -2$):

• $x = 2$: thỏa mãn $x \neq -2$ ✓ → nhận.
• $x = -2$: không thỏa ĐKXĐ → loại.

Vậy $A = 0$ khi $x = 2$.

Ví dụ mẫu 2: Cho phân thức $C = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$.

a) Tìm ĐKXĐ của $C$.

b) Tính giá trị phân thức $C$ tại $x = 1$.

c) Tìm giá trị của $x$ để phân thức $C$ nhận giá trị bằng 1.

Lời giải chi tiết:

a) Mẫu: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

b) Tại $x = 1$: Kiểm tra $1 \neq -2$ ✓.

$$C = \dfrac{1^2 + 4 \cdot 1 + 4}{1 + 2} = \dfrac{1 + 4 + 4}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$$

c) $C = 1$:

$$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2} = 1$$

$$x^2 + 4x + 4 = 1 \cdot (x + 2) = x + 2$$

$$x^2 + 4x + 4 – x – 2 = 0$$

$$x^2 + 3x + 2 = 0$$

$$(x + 1)(x + 2) = 0$$

$$x = -1 \text{ hoặc } x = -2$$

Kiểm tra ĐKXĐ ($x \neq -2$):

• $x = -1$: thỏa mãn ✓ → nhận.
• $x = -2$: không thỏa ĐKXĐ → loại.

Vậy $C = 1$ khi $x = -1$.

Ví dụ mẫu 3 (BT 6.6): Một ô tô chạy với vận tốc $x$ (km/h).

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô chạy hết quãng đường 120 km.

b) Tính thời gian ô tô đi được 120 km trong trường hợp vận tốc là 60 km/h.

Lời giải chi tiết:

a) Thời gian = Quãng đường / Vận tốc = $\dfrac{120}{x}$ (giờ).

Đây là một phân thức đại số với tử là 120, mẫu là $x$.

ĐKXĐ: $x \neq 0$ (vận tốc phải khác 0, phù hợp thực tế).

b) Tại $x = 60$: $\dfrac{120}{60} = 2$ (giờ).

Vậy ô tô đi hết 120 km trong 2 giờ.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — ĐKXĐ: chỉ cần xét mẫu: Điều kiện xác định chỉ liên quan đến mẫu. Tử thức không ảnh hưởng đến ĐKXĐ. Cho mẫu $\neq 0$ rồi giải → xong.

Mẹo 2 — Phân tích mẫu thành nhân tử trước: Nhiều mẫu thức phức tạp ($x^2 – 1$, $2x^2 – 6x$, $x^2 – 9y^2$…) cần phân tích thành nhân tử trước rồi mới cho từng thừa số $\neq 0$ để tìm ĐKXĐ.

Mẹo 3 — Phân thức = 0 ⟺ Tử = 0 (và mẫu ≠ 0): Ghi nhớ: “tử = 0, mẫu $\neq$ 0”. Giải tử = 0 trước, rồi đối chiếu với ĐKXĐ để loại nghiệm.

Mẹo 4 — Kiểm tra nhanh hai phân thức bằng nhau: Nếu có thể phân tích nhân tử một trong hai phân thức để rút gọn về dạng phân thức kia → bằng nhau. Nếu không thấy ngay → dùng tích chéo.

Tổng kết

Qua Bài 21, các em cần nắm vững:

Phân thức đại số là biểu thức $\dfrac{A}{B}$ với $A$, $B$ là đa thức, $B \neq 0$. Mỗi đa thức cũng là phân thức (mẫu = 1).

Hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ khi $A \cdot D = B \cdot C$. Đây là quy tắc “nhân chéo” tương tự phân số.

Điều kiện xác định: Cho mẫu thức $\neq 0$, tìm điều kiện của biến. Luôn kiểm tra ĐKXĐ trước khi tính giá trị.

Giá trị phân thức: Thay giá trị biến vào phân thức (khi thỏa ĐKXĐ) rồi tính. Phân thức $= 0$ khi tử $= 0$ và mẫu $\neq 0$.

Nắm vững bài này sẽ là nền tảng để các em học tiếp các phép tính trên phân thức (rút gọn, cộng, trừ, nhân, chia) ở các bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du