Bài 29 tiếp nối Bài 28 (Hàm số bậc nhất), đi sâu vào hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ — một khái niệm quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học của hệ số $a$. Từ đó, bài học mở rộng sang việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: song song, cắt nhau hay trùng nhau, chỉ bằng cách so sánh các hệ số mà không cần vẽ hình.

Bài học gồm hai phần chính: hệ số góc của đường thẳng (góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$, định nghĩa hệ số góc) và đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau (điều kiện song song, trùng nhau, cắt nhau).

1. Hệ số góc của đường thẳng

Góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) và trục $Ox$

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $y = ax + b$ với trục $Ox$, và $T$ là một điểm thuộc đường thẳng $y = ax + b$ có tung độ dương. Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ được định nghĩa là góc tạo bởi tia $Ax$ và tia $AT$.

Chú ý rằng $0° < \alpha < 180°$.

Định nghĩa hệ số góc

Vì có sự liên quan chặt chẽ giữa hệ số $a$ với góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$, nên ta có định nghĩa:

Định nghĩa: $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$).

Nhận xét về mối liên hệ giữa hệ số góc và góc $\alpha$

• Khi hệ số góc $a > 0$: đường thẳng $y = ax + b$ đi lên từ trái sang phải. Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$ là góc nhọn ($0° < \alpha < 90°$).
• Khi hệ số góc $a < 0$: đường thẳng $y = ax + b$ đi xuống từ trái sang phải. Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$ là góc tù ($90° < \alpha < 180°$).

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:

• $y = 3x – 1$: hệ số góc $a = 3 > 0$ → đường thẳng đi lên, tạo với trục $Ox$ góc nhọn.
• $y = 2 – x = -x + 2$: hệ số góc $a = -1 < 0$ → đường thẳng đi xuống, tạo với trục $Ox$ góc tù.
• $y = \dfrac{1}{2}(x – 1) = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{2}$: hệ số góc $a = \dfrac{1}{2} > 0$ → đường thẳng đi lên, tạo với trục $Ox$ góc nhọn.

Tìm hàm số bậc nhất khi biết hệ số góc

Ví dụ 2: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc $a = -2$ và đi qua điểm $(1; 2)$.

Lời giải:

Hàm số bậc nhất cần tìm có dạng $y = -2x + b$ (vì hệ số góc $a = -2$).

Vì đường thẳng đi qua điểm $(1; 2)$ nên thay $x = 1$, $y = 2$ vào:

$$2 = -2 \cdot 1 + b$$

$$2 = -2 + b$$

$$b = 2 + 2 = 4$$

Vậy hàm số cần tìm là $y = -2x + 4$.

Ví dụ 3 (Tranh luận): Đường thẳng $y = \dfrac{2x + 1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Lời giải: Ta biến đổi:

$$y = \dfrac{2x + 1}{2} = \dfrac{2x}{2} + \dfrac{1}{2} = x + \dfrac{1}{2}$$

Đây là hàm bậc nhất $y = 1 \cdot x + \dfrac{1}{2}$, nên hệ số góc $a = 1$ (không phải $a = 2$).

Sai lầm thường gặp: nhiều bạn nhìn số $2$ ở tử số trước $x$ rồi kết luận ngay $a = 2$ mà quên chia cho mẫu.

2. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Nhận biết hai đường thẳng song song

Xét hai đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $y = a’x + b’$ ($a’ \neq 0$).

Nếu hai đường thẳng có cùng hệ số góc nhưng khác hạng tử tự do, chúng sẽ song song với nhau (cùng “độ dốc” nhưng nằm ở vị trí khác nhau).

Điều kiện song song: Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ song song với nhau khi và chỉ khi $a = a’$ và $b \neq b’$.

Điều kiện trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi $a = a’$ và $b = b’$.

Ví dụ 4: Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

a) $y = 2x + 1$   b) $y = -1 – 2x$   c) $y = 2 + 2x$   d) $y = -1 + 2x$

Lời giải:

Viết lại các hàm số về dạng chuẩn $y = ax + b$:

a) $y = 2x + 1$ → $a = 2$, $b = 1$.

b) $y = -2x – 1$ → $a = -2$, $b = -1$.

c) $y = 2x + 2$ → $a = 2$, $b = 2$.

d) $y = 2x – 1$ → $a = 2$, $b = -1$.

So sánh: Đường thẳng a), c) và d) đều có $a = 2$ nhưng $b$ khác nhau ($1 \neq 2 \neq -1$) → chúng đôi một song song với nhau.

Vậy các cặp song song là: (a) và (c), (a) và (d), (c) và (d).

Ví dụ 5: Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $y = (m + 1)x + 2$ ($m \neq -1$) song song với đường thẳng $y = -2x + 1$.

Lời giải:

Hai đường thẳng song song khi hệ số góc bằng nhau và hạng tử tự do khác nhau.

Hệ số góc bằng nhau:

$$m + 1 = -2$$

$$m = -3$$

Kiểm tra hạng tử tự do: $b = 2 \neq 1 = b’$ ✓.

Kiểm tra điều kiện: $m = -3 \neq -1$ ✓.

Vậy $m = -3$.

Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau

Nếu hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau, chúng sẽ cắt nhau tại đúng một điểm.

Điều kiện cắt nhau: Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ cắt nhau khi và chỉ khi $a \neq a’$.

Ví dụ 6: Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $y = mx – 2$ ($m \neq 0$) cắt đường thẳng $y = -2x + 1$.

Lời giải:

Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau:

$$m \neq -2$$

Kết hợp với điều kiện $m \neq 0$ (để hàm số bậc nhất), ta được: $m \neq 0$ và $m \neq -2$.

Vậy với mọi $m \neq 0$ và $m \neq -2$, hai đường thẳng cắt nhau.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định hệ số góc và tìm hàm số bậc nhất khi biết hệ số góc

Phương pháp giải:

• Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ chính là $a$. Nếu công thức chưa ở dạng chuẩn, cần biến đổi về $y = ax + b$ trước.
• Hệ số góc $a > 0$ → đường thẳng tạo với $Ox$ góc nhọn. Hệ số góc $a < 0$ → tạo góc tù.
• Khi biết hệ số góc $a$ và đường thẳng đi qua một điểm $(x_0; y_0)$: thay vào $y_0 = ax_0 + b$ để tìm $b$.
• Khi biết hệ số góc $a$ và đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ $k$: suy ra $b = k$.
• Khi biết hệ số góc $a$ và đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x_0$: thay $y = 0$, $x = x_0$ để tìm $b$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.30): Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm $(1; -2)$ và có hệ số góc là $3$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số bậc nhất cần tìm có dạng $y = 3x + b$ (vì hệ số góc $a = 3$).

Đường thẳng đi qua điểm $(1; -2)$, nên thay $x = 1$ và $y = -2$:

$$-2 = 3 \cdot 1 + b$$

$$-2 = 3 + b$$

$$b = -2 – 3 = -5$$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 3x – 5$.

Kiểm tra: Tại $x = 1$: $y = 3 \cdot 1 – 5 = -2$ ✓.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.31): Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là $-2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số bậc nhất cần tìm có dạng $y = -2x + b$ (vì hệ số góc $a = -2$).

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $3$, tức là đi qua điểm $(3; 0)$.

Thay $x = 3$ và $y = 0$:

$$0 = -2 \cdot 3 + b$$

$$0 = -6 + b$$

$$b = 6$$

Vậy hàm số cần tìm là $y = -2x + 6$.

Kiểm tra: Tại $x = 3$: $y = -2 \cdot 3 + 6 = 0$ ✓ (đúng là cắt trục hoành).

Ví dụ mẫu 3 (Dạng 1 – Bài 7 giáo án): Cho đường thẳng $y = (1 – 4m)x + m – 2$.

a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số tạo với trục $Ox$ một góc nhọn.

b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số tạo với trục $Ox$ một góc tù.

Lời giải chi tiết:

Hệ số góc của đường thẳng là $a = 1 – 4m$.

a) Đồ thị tạo với trục $Ox$ góc nhọn khi hệ số góc dương:

$$1 – 4m > 0$$

$$-4m > -1$$

$$m < \dfrac{1}{4}$$

Vậy với $m < \dfrac{1}{4}$, đồ thị tạo với trục $Ox$ một góc nhọn.

b) Đồ thị tạo với trục $Ox$ góc tù khi hệ số góc âm:

$$1 – 4m < 0$$

$$-4m < -1$$

$$m > \dfrac{1}{4}$$

Vậy với $m > \dfrac{1}{4}$, đồ thị tạo với trục $Ox$ một góc tù.

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (song song, cắt nhau, trùng nhau)

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $(d): y = ax + b$ và $(d’): y = a’x + b’$:

• $(d)$ song song $(d’)$ $\Leftrightarrow$ $a = a’$ và $b \neq b’$.
• $(d)$ trùng $(d’)$ $\Leftrightarrow$ $a = a’$ và $b = b’$.
• $(d)$ cắt $(d’)$ $\Leftrightarrow$ $a \neq a’$.

Khi bài toán chứa tham số, giải phương trình/bất phương trình từ điều kiện trên, luôn kiểm tra điều kiện để hàm số là hàm bậc nhất (hệ số góc $\neq 0$).

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.32): Chỉ ra các cặp đường thẳng song song và cắt nhau trong các đường thẳng sau:

a) $y = -x + 1$   b) $y = -2x + 1$   c) $y = -2x + 2$   d) $y = -x$

Lời giải chi tiết:

Xác định hệ số góc và hạng tử tự do:

• (a): $a = -1$, $b = 1$.
• (b): $a = -2$, $b = 1$.
• (c): $a = -2$, $b = 2$.
• (d): $a = -1$, $b = 0$.

Các cặp song song (cùng $a$, khác $b$):

• (a) và (d): $a = a’ = -1$, $b = 1 \neq 0 = b’$ → song song.
• (b) và (c): $a = a’ = -2$, $b = 1 \neq 2 = b’$ → song song.

Các cặp cắt nhau (khác $a$):

• (a) và (b): $-1 \neq -2$ → cắt nhau.
• (a) và (c): $-1 \neq -2$ → cắt nhau.
• (b) và (d): $-2 \neq -1$ → cắt nhau.
• (c) và (d): $-2 \neq -1$ → cắt nhau.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.33): Cho hai hàm số bậc nhất $y = mx – 5$ và $y = (2m + 1)x + 3$. Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng thứ nhất: $a = m$, $b = -5$. Điều kiện hàm bậc nhất: $m \neq 0$.

Đường thẳng thứ hai: $a’ = 2m + 1$, $b’ = 3$. Điều kiện hàm bậc nhất: $2m + 1 \neq 0$, tức $m \neq -\dfrac{1}{2}$.

a) Song song: cần $a = a’$ và $b \neq b’$.

$a = a’$:

$$m = 2m + 1$$

$$m – 2m = 1$$

$$-m = 1$$

$$m = -1$$

Kiểm tra $b \neq b’$: $-5 \neq 3$ ✓.

Kiểm tra điều kiện: $m = -1 \neq 0$ ✓ và $m = -1 \neq -\dfrac{1}{2}$ ✓.

Vậy $m = -1$.

b) Cắt nhau: cần $a \neq a’$, tức $m \neq 2m + 1$, tức $m \neq -1$.

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất: $m \neq 0$ và $m \neq -\dfrac{1}{2}$.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau khi $m \neq 0$, $m \neq -\dfrac{1}{2}$ và $m \neq -1$.

Ví dụ mẫu 3 (BT 7.34): Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng $y = -3x + 1$ và đi qua điểm $(2; 6)$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng cần tìm song song với $y = -3x + 1$ nên có cùng hệ số góc $a = -3$.

Hàm số cần tìm có dạng $y = -3x + b$ (với $b \neq 1$ để song song, không trùng).

Đường thẳng đi qua $(2; 6)$, thay $x = 2$, $y = 6$:

$$6 = -3 \cdot 2 + b$$

$$6 = -6 + b$$

$$b = 12$$

Kiểm tra: $b = 12 \neq 1$ ✓ (đảm bảo song song, không trùng).

Vậy hàm số cần tìm là $y = -3x + 12$.

Ví dụ mẫu 4: Cho đường thẳng $(d): y = (m – 2)x – 3$ và $(d’): y = 2x – (m – 1)$. Tìm $m$ để:

a) $(d)$ và $(d’)$ cắt nhau.

b) $(d)$ và $(d’)$ song song.

c) $(d)$ và $(d’)$ trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

Viết lại $(d’): y = 2x – m + 1$.

$(d)$: $a = m – 2$, $b = -3$. Điều kiện: $m – 2 \neq 0$, tức $m \neq 2$.

$(d’)$: $a’ = 2$, $b’ = -m + 1$. Điều kiện: $a’ = 2 \neq 0$ ✓ (luôn đúng).

a) Cắt nhau: cần $a \neq a’$:

$$m – 2 \neq 2$$

$$m \neq 4$$

Kết hợp $m \neq 2$, vậy $(d)$ cắt $(d’)$ khi $m \neq 2$ và $m \neq 4$.

b) Song song: cần $a = a’$ và $b \neq b’$:

$a = a’$: $m – 2 = 2$, suy ra $m = 4$.

$b \neq b’$: $-3 \neq -m + 1$, tức $-3 \neq -4 + 1 = -3$… Ta được $-3 = -3$, tức $b = b’$.

Vậy khi $m = 4$ thì $b = b’$ → hai đường thẳng trùng nhau, không song song.

Kết luận: Không có giá trị $m$ nào để $(d)$ song song $(d’)$.

c) Trùng nhau: cần $a = a’$ và $b = b’$:

Từ trên, $m = 4$ cho $a = a’ = 2$ và $b = b’ = -3$.

Kiểm tra: $m = 4 \neq 2$ ✓.

Vậy $m = 4$.

Dạng 3: Tìm tham số để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm đặc biệt (trên trục tung, trục hoành)

Phương pháp giải:

• Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung → điểm giao có $x = 0$. Thay $x = 0$ vào cả hai hàm số, cho hai giá trị $y$ bằng nhau → giải tìm tham số. Cuối cùng kiểm tra điều kiện cắt nhau ($a \neq a’$).
• Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành → điểm giao có $y = 0$. Thay $y = 0$ vào cả hai hàm số để tìm $x$ tương ứng, cho hai giá trị $x$ bằng nhau → giải tìm tham số. Kiểm tra điều kiện cắt nhau.
• Đường thẳng $(d)$ cắt đường thẳng $(d’)$ tại điểm có hoành độ $x_0$: thay $x = x_0$ vào $(d’)$ để tìm $y_0$, rồi thay $(x_0; y_0)$ vào $(d)$ để tìm tham số.

Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số $(d): y = (m – 1)x + 2m – 3$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để $(d)$ cắt đường thẳng $y = 2x + 1$ tại một điểm nằm trên trục tung.

Lời giải chi tiết:

Điểm nằm trên trục tung có hoành độ $x = 0$.

Thay $x = 0$ vào $(d)$: $y = (m – 1) \cdot 0 + 2m – 3 = 2m – 3$.

Thay $x = 0$ vào đường thẳng $y = 2x + 1$: $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục tung, ta cần:

$$2m – 3 = 1$$

$$2m = 4$$

$$m = 2$$

Kiểm tra điều kiện cắt nhau: $(d)$ có $a = m – 1 = 2 – 1 = 1$, đường thẳng kia có $a’ = 2$. Vì $1 \neq 2$ ✓ → hai đường thẳng cắt nhau.

Kiểm tra hàm bậc nhất: $a = 1 \neq 0$ ✓.

Vậy $m = 2$.

Ví dụ mẫu 2: Tìm $m$ để hai đường thẳng $(d): y = 2x + (m – 1)$ và $(d’): y = 3x – 5$ cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Điểm thuộc trục hoành có tung độ $y = 0$.

Thay $y = 0$ vào $(d’)$: $0 = 3x – 5$, suy ra $x = \dfrac{5}{3}$.

Vậy điểm giao nằm trên trục hoành có toạ độ $\left(\dfrac{5}{3}; 0\right)$.

Điểm này cũng thuộc $(d)$, thay $x = \dfrac{5}{3}$, $y = 0$ vào $(d)$:

$$0 = 2 \cdot \dfrac{5}{3} + (m – 1)$$

$$0 = \dfrac{10}{3} + m – 1$$

$$0 = \dfrac{10}{3} – 1 + m$$

$$0 = \dfrac{7}{3} + m$$

$$m = -\dfrac{7}{3}$$

Kiểm tra điều kiện cắt nhau: $a = 2 \neq 3 = a’$ ✓.

Vậy $m = -\dfrac{7}{3}$.

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số $(d): y = (3 – m)x + m – 1$.

a) Tìm $m$ để $(d)$ song song với đồ thị hàm số $y = 2x + 3$.

b) Tìm $m$ để $(d)$ cắt đường thẳng $y = x + 3m – 2$ tại một điểm trên trục tung.

Lời giải chi tiết:

a) $(d)$: $a = 3 – m$, $b = m – 1$. Đường thẳng kia: $a’ = 2$, $b’ = 3$.

Điều kiện song song: $a = a’$ và $b \neq b’$.

$a = a’$:

$$3 – m = 2$$

$$m = 1$$

Kiểm tra $b \neq b’$: $b = 1 – 1 = 0 \neq 3$ ✓.

Kiểm tra hàm bậc nhất: $a = 3 – 1 = 2 \neq 0$ ✓.

Vậy $m = 1$.

b) Điểm nằm trên trục tung có $x = 0$.

Thay $x = 0$ vào $(d)$: $y = m – 1$.

Thay $x = 0$ vào $y = x + 3m – 2$: $y = 3m – 2$.

Để cắt nhau tại điểm trên trục tung:

$$m – 1 = 3m – 2$$

$$m – 1 – 3m + 2 = 0$$

$$-2m + 1 = 0$$

$$m = \dfrac{1}{2}$$

Kiểm tra cắt nhau: $(d)$ có $a = 3 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$, đường thẳng kia có $a’ = 1$. Vì $\dfrac{5}{2} \neq 1$ ✓.

Kiểm tra hàm bậc nhất: $a = \dfrac{5}{2} \neq 0$ ✓.

Vậy $m = \dfrac{1}{2}$.

Dạng 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng bằng phép tính

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau không (hệ số góc khác nhau: $a \neq a’$).

Bước 2: Tại giao điểm, hai hàm số có cùng giá trị $y$ ứng với cùng một $x$, nên ta cho hai vế phải bằng nhau: $ax + b = a’x + b’$.

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất tìm $x$.

Bước 4: Thay $x$ vào một trong hai hàm số để tìm $y$.

Bước 5: Kết luận toạ độ giao điểm.

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.35): Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $y = x$ và $y = -x + 2$.

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng mặt phẳng toạ độ.

b) Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $y = x$: đi qua $O(0; 0)$ và $B(1; 1)$.

Đường thẳng $y = -x + 2$: cho $x = 0$ → $y = 2$, được $P(0; 2)$. Cho $y = 0$ → $x = 2$, được $Q(2; 0)$.

Vẽ hai đường thẳng trên cùng mặt phẳng.

b) Tại giao điểm $A$, hai hàm số có cùng giá trị:

$$x = -x + 2$$

$$x + x = 2$$

$$2x = 2$$

$$x = 1$$

Thay $x = 1$ vào $y = x$: $y = 1$.

Vậy giao điểm $A(1; 1)$.

Kiểm tra: Thay vào $y = -x + 2$: $y = -1 + 2 = 1$ ✓.

Ví dụ mẫu 2: Cho hai đường thẳng $(d): y = 3x – 1$ và $(d’): y = 5x – 2$. Xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra: $a = 3 \neq 5 = a’$ → hai đường thẳng cắt nhau.

Tại giao điểm, ta có:

$$3x – 1 = 5x – 2$$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang một vế:

$$3x – 5x = -2 + 1$$

$$-2x = -1$$

$$x = \dfrac{1}{2}$$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào $(d)$: $y = 3 \cdot \dfrac{1}{2} – 1 = \dfrac{3}{2} – 1 = \dfrac{1}{2}$.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là $\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$.

Kiểm tra: Thay vào $(d’)$: $y = 5 \cdot \dfrac{1}{2} – 2 = \dfrac{5}{2} – 2 = \dfrac{1}{2}$ ✓.

Ví dụ mẫu 3: Cho hai đường thẳng $(d): y = 2x + 1$ và $(d’): y = -x – 2$.

a) Vẽ đồ thị $(d)$, $(d’)$ trên cùng mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

b) Xác định toạ độ giao điểm bằng phép tính.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $(d): y = 2x + 1$:

Cho $x = 0$: $y = 1$ → $P(0; 1)$. Cho $y = 0$: $2x + 1 = 0$, $x = -\dfrac{1}{2}$ → $Q\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$.

Đường thẳng $(d’): y = -x – 2$:

Cho $x = 0$: $y = -2$ → $M(0; -2)$. Cho $y = 0$: $-x – 2 = 0$, $x = -2$ → $N(-2; 0)$.

Vẽ hai đường thẳng trên cùng mặt phẳng.

b) Kiểm tra: $a = 2 \neq -1 = a’$ → hai đường thẳng cắt nhau.

Tại giao điểm:

$$2x + 1 = -x – 2$$

$$2x + x = -2 – 1$$

$$3x = -3$$

$$x = -1$$

Thay $x = -1$ vào $(d)$: $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$.

Vậy giao điểm là $(-1; -1)$.

Kiểm tra: Thay vào $(d’)$: $y = -(-1) – 2 = 1 – 2 = -1$ ✓.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Hệ số góc đọc ngay từ dạng chuẩn: Hệ số góc chính là số đứng trước $x$ trong $y = ax + b$. Nếu biểu thức chưa ở dạng chuẩn (có ngoặc, có phân số), hãy biến đổi trước rồi mới đọc.

Mẹo 2 — Song song = cùng $a$, khác $b$: Chỉ cần nhớ “cùng độ dốc, khác vị trí”. Cắt nhau thì ngược lại: “khác độ dốc” ($a \neq a’$).

Mẹo 3 — Cắt trên trục tung → cho $x = 0$, so sánh $b$: Nếu hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì tung độ giao điểm bằng nhau, tức $b = b’$. Đây là cách giải cực nhanh cho dạng bài “cắt nhau tại điểm trên trục tung”.

Mẹo 4 — Kiểm tra giao điểm bằng cách thay ngược: Sau khi tìm toạ độ giao điểm $(x_0; y_0)$, hãy thay vào cả hai hàm số. Nếu cả hai đều cho đúng $y_0$ → chắc chắn đáp án đúng.

Tổng kết

Qua Bài 29, các em cần nắm vững:

Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) chính là $a$. Khi $a > 0$, đường thẳng đi lên và tạo với trục $Ox$ góc nhọn. Khi $a < 0$, đường thẳng đi xuống và tạo góc tù.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$: song song khi $a = a’$, $b \neq b’$; trùng nhau khi $a = a’$, $b = b’$; cắt nhau khi $a \neq a’$.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: xác định hệ số góc và tìm hàm số bậc nhất khi biết hệ số góc, xác định vị trí tương đối (song song – cắt nhau – trùng nhau) của hai đường thẳng, tìm tham số để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục tung hoặc trục hoành, và tìm toạ độ giao điểm bằng phép tính. Nắm chắc bài này sẽ giúp các em giải quyết tốt các bài toán tổng hợp về hàm số bậc nhất.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du