Bài 30 mở đầu chương Xác suất — một chương quan trọng giúp các em bước đầu làm quen với việc phân tích các tình huống ngẫu nhiên trong thực tế. Trước khi tính được xác suất, các em cần biết cách liệt kê tất cả kết quả có thể của một hành động hay thực nghiệm, và xác định kết quả thuận lợi cho một biến cố cụ thể.

Bài học gồm hai phần chính: kết quả có thể của hành động, thực nghiệm và kết quả thuận lợi cho một biến cố.

1. Kết quả có thể của hành động, thực nghiệm

Dẫn nhập từ bài toán mở đầu

Tại vòng chung kết cuộc thi Chinh phục tri thức, ban tổ chức soạn 20 câu hỏi thuộc các lĩnh vực khác nhau, mỗi câu hỏi viết trong một phiếu đánh số từ 1 đến 20. Cụ thể: câu 1–4 thuộc Lịch sử – Địa lí, câu 5–12 thuộc Khoa học tự nhiên, câu 13–18 thuộc Văn học, câu 19–20 thuộc Toán học.

Bạn Sơn rút ngẫu nhiên một phiếu. Sơn không thể biết trước mình sẽ rút được phiếu nào, nhưng ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra: phiếu số 1, phiếu số 2, …, phiếu số 20. Có tất cả 20 kết quả có thể.

Khái niệm kết quả có thể

Trong thực tế, ta thường gặp các hành động, thực nghiệm mà kết quả không thể biết trước khi thực hiện. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta có thể xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Tất cả các kết quả có thể xảy ra của một hành động hay thực nghiệm được gọi là các kết quả có thể (gọi tắt) của hành động, thực nghiệm đó.

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 và 4 quả cầu màu đỏ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp. Liệt kê tất cả các kết quả có thể. Có bao nhiêu kết quả có thể?

Lời giải:

Kí hiệu 5 quả cầu xanh là X1, X2, X3, X4, X5 và 4 quả cầu đỏ là Đ1, Đ2, Đ3, Đ4.

Các kết quả có thể: X1, X2, X3, X4, X5, Đ1, Đ2, Đ3, Đ4.

Có tất cả 9 kết quả có thể.

Lưu ý: Mặc dù quả cầu xanh số 1 và quả cầu đỏ số 1 đều đánh số 1, nhưng chúng khác nhau (khác màu), nên là hai kết quả khác nhau. Vì vậy ta phải kí hiệu để phân biệt.

Tranh luận: Đếm kết quả có thể đúng cách

Tình huống: Một túi đựng 12 viên bi có hình dạng như nhau, chỉ khác màu: 5 viên đỏ, 4 viên xanh, 3 viên vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Có bao nhiêu kết quả có thể?

Phân tích: Đây là câu hỏi hay gây nhầm lẫn.

Nếu các viên bi phân biệt được với nhau (ví dụ mỗi viên được đánh số riêng), thì có 12 kết quả có thể (mỗi viên bi là một kết quả).

Tuy nhiên, đề bài nói các viên bi “có hình dạng như nhau, chỉ khác màu” — tức là các viên bi cùng màu thì không phân biệt được. Khi đó chỉ có 3 kết quả có thể: bi đỏ, bi xanh, bi vàng.

Bài học rút ra: Cần đọc kỹ đề bài để xác định các đối tượng có phân biệt được với nhau hay không, từ đó liệt kê kết quả chính xác.

2. Kết quả thuận lợi cho một biến cố

Khái niệm kết quả thuận lợi

Trở lại bài toán mở đầu, xét biến cố $E$: “Sơn rút được phiếu câu hỏi thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí”.

Trong 20 kết quả có thể (phiếu 1, 2, …, 20), biến cố $E$ xảy ra khi Sơn rút được phiếu số 1, 2, 3 hoặc 4 (vì các câu 1–4 thuộc Lịch sử – Địa lí). Bốn kết quả này được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.

Xét một biến cố $E$ liên quan đến hành động, thực nghiệm $T$. Biến cố $E$ có xảy ra hay không tuỳ thuộc vào kết quả của $T$.

Một kết quả có thể của $T$ mà làm cho biến cố $E$ xảy ra được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2: Đội văn nghệ khối 8 của một trường THCS có 14 bạn: 4 bạn nam lớp 8A, 5 bạn nữ lớp 8B, 3 bạn nam lớp 8C và 2 bạn nữ lớp 8D. Chọn ngẫu nhiên một bạn để tham gia tiết mục văn nghệ của trường.

a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể. Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $E$: “Chọn được một bạn lớp 8A”.
• $F$: “Chọn được một bạn nữ”.

Lời giải:

Kí hiệu 4 bạn nam lớp 8A là A1, A2, A3, A4; 5 bạn nữ lớp 8B là B1, B2, B3, B4, B5; 3 bạn nam lớp 8C là C1, C2, C3; 2 bạn nữ lớp 8D là D1, D2.

a) Các kết quả có thể: A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5, C1, C2, C3, D1, D2.

Có 14 kết quả có thể.

b) Biến cố $E$: “Chọn được một bạn lớp 8A” → $E$ xảy ra khi chọn được một trong các bạn lớp 8A.

Các kết quả thuận lợi cho $E$: A1, A2, A3, A4 (4 kết quả).

Biến cố $F$: “Chọn được một bạn nữ” → $F$ xảy ra khi chọn được bạn nữ (lớp 8B hoặc 8D).

Các kết quả thuận lợi cho $F$: B1, B2, B3, B4, B5, D1, D2 (7 kết quả).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Liệt kê các kết quả có thể của hành động, thực nghiệm

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định hành động/thực nghiệm là gì (rút thẻ, gieo xúc xắc, lấy đồ vật…).

Bước 2: Xác định các đối tượng có phân biệt được với nhau hay không.

• Nếu mỗi đối tượng phân biệt được (đánh số khác nhau, tên khác nhau…): mỗi đối tượng là một kết quả có thể.
• Nếu các đối tượng cùng nhóm không phân biệt được (chỉ khác nhóm/màu/loại): mỗi nhóm là một kết quả có thể.

Bước 3: Kí hiệu gọn gàng (nếu cần) rồi liệt kê đầy đủ, không thiếu, không trùng.

Bước 4: Đếm tổng số kết quả có thể.

Ví dụ mẫu 1 (BT 8.1a): Vuông thực nghiệm gieo một con xúc xắc. Liệt kê các kết quả có thể của thực nghiệm trên.

Lời giải chi tiết:

Khi gieo một con xúc xắc, mặt trên xuất hiện một trong các số chấm từ 1 đến 6.

Các kết quả có thể: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Có 6 kết quả có thể.

Ví dụ mẫu 2 (BT 8.2a): Một hộp đựng 12 tấm thẻ, được ghi số 1, 2, …, 12. Bạn Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Liệt kê các kết quả có thể.

Lời giải chi tiết:

Mỗi tấm thẻ ghi một số khác nhau, nên mỗi thẻ là một kết quả phân biệt.

Các kết quả có thể: thẻ số 1, thẻ số 2, thẻ số 3, …, thẻ số 12.

Có 12 kết quả có thể.

Ví dụ mẫu 3 (BT 8.3a): Bạn An có 16 cuốn sách khác nhau: 4 cuốn tiểu thuyết, 5 cuốn Lịch sử, 3 cuốn Khoa học tự nhiên và 4 cuốn Toán. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một cuốn sách. Liệt kê các kết quả có thể.

Lời giải chi tiết:

Đề bài nói “16 cuốn sách khác nhau”, nên mỗi cuốn sách là một kết quả phân biệt.

Kí hiệu: 4 cuốn tiểu thuyết là T1, T2, T3, T4; 5 cuốn Lịch sử là L1, L2, L3, L4, L5; 3 cuốn KHTN là K1, K2, K3; 4 cuốn Toán là Đ1, Đ2, Đ3, Đ4.

Các kết quả có thể: T1, T2, T3, T4, L1, L2, L3, L4, L5, K1, K2, K3, Đ1, Đ2, Đ3, Đ4.

Có 16 kết quả có thể.

Ví dụ mẫu 4 (Bài 5 giáo án): Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Có bao nhiêu kết quả cho hành động này?

Lời giải chi tiết:

Số tự nhiên có hai chữ số là các số từ 10 đến 99.

Vậy các kết quả có thể là: 10, 11, 12, …, 99.

Có $99 – 10 + 1 = $ 90 kết quả có thể.

Ví dụ mẫu 5 (Bài 8a giáo án): Gieo ngẫu nhiên một lần hai con xúc xắc. Có bao nhiêu kết quả cho hành động trên?

Lời giải chi tiết:

Khi gieo hai con xúc xắc, mỗi con có thể cho 6 kết quả (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ta kí hiệu kết quả bằng cặp $(a; b)$ trong đó $a$ là số chấm con thứ nhất, $b$ là số chấm con thứ hai.

Con thứ nhất có 6 khả năng, con thứ hai cũng có 6 khả năng, nên tổng số kết quả có thể là:

$$6 \times 6 = 36$$

Có 36 kết quả có thể.

Các kết quả có thể là: $(1; 1)$, $(1; 2)$, $(1; 3)$, …, $(1; 6)$, $(2; 1)$, $(2; 2)$, …, $(6; 6)$.

Ví dụ mẫu 6 (Bài 9a giáo án): Một hộp có 5 viên bi được đánh các chữ A, B, C, D, E. Lấy bất kì cùng lúc hai viên bi. Liệt kê các kết quả cho hành động trên.

Lời giải chi tiết:

Ta lấy cùng lúc 2 viên bi từ 5 viên bi A, B, C, D, E. Vì lấy cùng lúc nên thứ tự không quan trọng (lấy A và B cũng như lấy B và A).

Liệt kê tất cả các cặp hai viên bi:

${A, B}$, ${A, C}$, ${A, D}$, ${A, E}$,

${B, C}$, ${B, D}$, ${B, E}$,

${C, D}$, ${C, E}$,

${D, E}$.

Có 10 kết quả có thể.

Dạng 2: Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố

Phương pháp giải:

Bước 1: Liệt kê đầy đủ các kết quả có thể (như Dạng 1).

Bước 2: Đọc kỹ biến cố $E$ được mô tả bằng lời.

Bước 3: Xét từng kết quả có thể, kiểm tra xem kết quả đó có làm biến cố $E$ xảy ra hay không.

• Nếu có → đó là kết quả thuận lợi cho $E$.
• Nếu không → loại.

Bước 4: Liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi và đếm số lượng.

Lưu ý đặc biệt: Nếu không có kết quả nào thuận lợi → biến cố không thể xảy ra (biến cố không thể). Nếu mọi kết quả đều thuận lợi → biến cố chắc chắn xảy ra (biến cố chắc chắn).

Ví dụ mẫu 1 (BT 8.1b): Gieo một con xúc xắc. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $A$: “Số chấm xuất hiện là hợp số”.
• $B$: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”.
• $C$: “Số chấm xuất hiện là số lẻ”.

Lời giải chi tiết:

Các kết quả có thể khi gieo xúc xắc: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Biến cố $A$: “Số chấm xuất hiện là hợp số”.

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 mà không phải số nguyên tố. Trong các số từ 1 đến 6:

• 1: không phải hợp số (cũng không phải số nguyên tố).
• 2: số nguyên tố → không phải hợp số.
• 3: số nguyên tố → không phải hợp số.
• 4: $4 = 2 \times 2$ → hợp số ✓.
• 5: số nguyên tố → không phải hợp số.
• 6: $6 = 2 \times 3$ → hợp số ✓.

Các kết quả thuận lợi cho $A$: 4, 6 (2 kết quả).

Biến cố $B$: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”.

Các số nhỏ hơn 5 trong tập ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$: 1, 2, 3, 4.

Các kết quả thuận lợi cho $B$: 1, 2, 3, 4 (4 kết quả).

Biến cố $C$: “Số chấm xuất hiện là số lẻ”.

Các số lẻ: 1, 3, 5.

Các kết quả thuận lợi cho $C$: 1, 3, 5 (3 kết quả).

Ví dụ mẫu 2 (BT 8.2b): Một hộp đựng 12 tấm thẻ ghi số 1, 2, …, 12. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $A$: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn”.
• $B$: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.
• $C$: “Rút được tấm thẻ ghi số chính phương”.

Lời giải chi tiết:

Các kết quả có thể: thẻ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Biến cố $A$: “Rút được thẻ ghi số chẵn”.

Các số chẵn từ 1 đến 12: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Kết quả thuận lợi cho $A$: 2, 4, 6, 8, 10, 12 (6 kết quả).

Biến cố $B$: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố”.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Các số nguyên tố từ 1 đến 12: 2, 3, 5, 7, 11.

Kết quả thuận lợi cho $B$: 2, 3, 5, 7, 11 (5 kết quả).

Biến cố $C$: “Rút được thẻ ghi số chính phương”.

Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$. Số tiếp theo là $16 = 4^2 > 12$ nên không tính.

Kết quả thuận lợi cho $C$: 1, 4, 9 (3 kết quả).

Ví dụ mẫu 3 (BT 8.3b): Bạn An có 16 cuốn sách khác nhau: 4 tiểu thuyết (T1–T4), 5 Lịch sử (L1–L5), 3 KHTN (K1–K3), 4 Toán (Đ1–Đ4). Bình lấy ngẫu nhiên một cuốn. Liệt kê kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $E$: “Bình lấy được một cuốn sách tiểu thuyết”.
• $F$: “Bình lấy được một cuốn sách KHTN hoặc sách Toán”.
• $G$: “Bình lấy được một cuốn sách không phải là sách Lịch sử”.

Lời giải chi tiết:

Biến cố $E$: “Lấy được sách tiểu thuyết”.

Kết quả thuận lợi cho $E$: T1, T2, T3, T4 (4 kết quả).

Biến cố $F$: “Lấy được sách KHTN hoặc sách Toán”.

Sách KHTN: K1, K2, K3. Sách Toán: Đ1, Đ2, Đ3, Đ4.

Kết quả thuận lợi cho $F$: K1, K2, K3, Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 (7 kết quả).

Biến cố $G$: “Lấy được sách không phải là sách Lịch sử”.

Sách Lịch sử là L1–L5 (5 cuốn). Sách không phải Lịch sử gồm tất cả cuốn còn lại.

Kết quả thuận lợi cho $G$: T1, T2, T3, T4, K1, K2, K3, Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 (11 kết quả).

Cách tính nhanh: $16 – 5 = 11$ kết quả.

Ví dụ mẫu 4 (Bài 2 giáo án): Một hộp đựng 5 quả bóng được đánh số 0, 2, 4, 6, 8. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng.

a) Viết các kết quả có thể.

b) Liệt kê kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $A$: “Lấy được quả bóng đánh số là số chẵn”.
• $B$: “Lấy được quả bóng đánh số là số lẻ”.
• $C$: “Lấy được quả bóng đánh số là số nguyên tố”.

Lời giải chi tiết:

a) Các kết quả có thể: bóng số 0, bóng số 2, bóng số 4, bóng số 6, bóng số 8.

Có 5 kết quả có thể.

b)

Biến cố $A$: “Lấy được bóng đánh số chẵn”.

Các số 0, 2, 4, 6, 8 đều là số chẵn.

Kết quả thuận lợi cho $A$: 0, 2, 4, 6, 8 (5 kết quả).

→ Mọi kết quả đều thuận lợi, nên biến cố $A$ chắc chắn xảy ra.

Biến cố $B$: “Lấy được bóng đánh số lẻ”.

Trong các số 0, 2, 4, 6, 8 không có số nào là số lẻ.

Kết quả thuận lợi cho $B$: không có (0 kết quả).

→ Biến cố $B$ không thể xảy ra (biến cố không thể).

Biến cố $C$: “Lấy được bóng đánh số nguyên tố”.

Trong các số 0, 2, 4, 6, 8: chỉ có 2 là số nguyên tố.

Kết quả thuận lợi cho $C$: 2 (1 kết quả).

Ví dụ mẫu 5 (Bài 3 giáo án): Một hộp có 4 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng.

a) Viết các kết quả có thể.

b) Liệt kê kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $A$: “Lấy được quả bóng màu đen”.
• $B$: “Lấy được quả bóng màu vàng”.

Lời giải chi tiết:

a) Kí hiệu 4 quả bóng đỏ là Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 và 3 quả bóng vàng là V1, V2, V3.

Các kết quả có thể: Đ1, Đ2, Đ3, Đ4, V1, V2, V3.

Có 7 kết quả có thể.

b)

Biến cố $A$: “Lấy được bóng màu đen”.

Trong hộp chỉ có bóng đỏ và bóng vàng, không có bóng màu đen.

Kết quả thuận lợi cho $A$: không có (0 kết quả).

→ Biến cố $A$ không thể xảy ra.

Biến cố $B$: “Lấy được bóng màu vàng”.

Kết quả thuận lợi cho $B$: V1, V2, V3 (3 kết quả).

Ví dụ mẫu 6 (Bài 8 giáo án): Gieo ngẫu nhiên một lần hai con xúc xắc. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$: “Tổng số chấm của hai con xúc xắc là số nhỏ hơn 6”.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu kết quả gieo hai con xúc xắc là $(a; b)$ với $a$ là số chấm con thứ nhất, $b$ là số chấm con thứ hai. Có 36 kết quả có thể (như đã phân tích ở Dạng 1).

Biến cố $A$: “Tổng $a + b < 6$”, tức $a + b \leq 5$.

Ta liệt kê các cặp $(a; b)$ có $a + b \leq 5$:

• Tổng bằng 2: $(1; 1)$.
• Tổng bằng 3: $(1; 2)$, $(2; 1)$.
• Tổng bằng 4: $(1; 3)$, $(2; 2)$, $(3; 1)$.
• Tổng bằng 5: $(1; 4)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$.

Các kết quả thuận lợi cho $A$: $(1; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 2)$, $(3; 1)$, $(1; 4)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$.

Có 10 kết quả thuận lợi.

Ví dụ mẫu 7 (Bài 9 giáo án): Một hộp có 5 viên bi đánh chữ A, B, C, D, E. Lấy cùng lúc hai viên bi. Liệt kê kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $A$: “Hai viên bi lấy ra được đánh chữ G, H”.
• $B$: “Hai viên bi lấy ra được đánh các chữ khác nhau”.

Lời giải chi tiết:

Các kết quả có thể (10 cặp, đã liệt kê ở Dạng 1): ${A, B}$, ${A, C}$, ${A, D}$, ${A, E}$, ${B, C}$, ${B, D}$, ${B, E}$, ${C, D}$, ${C, E}$, ${D, E}$.

Biến cố $A$: “Hai viên bi đánh chữ G, H”.

Trong hộp không có viên bi nào đánh chữ G hay H (chỉ có A, B, C, D, E).

Kết quả thuận lợi cho $A$: không có (0 kết quả).

→ Biến cố $A$ không thể xảy ra.

Biến cố $B$: “Hai viên bi đánh các chữ khác nhau”.

Vì 5 viên bi đánh 5 chữ khác nhau (A, B, C, D, E), nên bất kì cặp nào lấy ra cũng gồm hai chữ khác nhau.

Kết quả thuận lợi cho $B$: tất cả 10 kết quả có thể.

→ Biến cố $B$ chắc chắn xảy ra.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Kí hiệu có hệ thống: Khi đối tượng thuộc nhiều nhóm khác nhau, hãy dùng chữ cái đầu của nhóm kèm số thứ tự. Ví dụ: bóng Đỏ → Đ1, Đ2, …; bóng Xanh → X1, X2, … Cách này giúp liệt kê nhanh và tránh nhầm lẫn.

Mẹo 2 — Biến cố “không phải” = lấy phần bù: Nếu biến cố $G$: “không phải Lịch sử”, thì kết quả thuận lợi cho $G$ = tổng kết quả $-$ kết quả thuộc Lịch sử. Ví dụ: $16 – 5 = 11$. Nhanh hơn liệt kê từng cái.

Mẹo 3 — Đếm nhanh số kết quả khi gieo hai xúc xắc: Luôn có $6 \times 6 = 36$ kết quả. Khi liệt kê kết quả thuận lợi theo tổng, hãy liệt kê theo từng giá trị tổng (tổng = 2, tổng = 3, …) để không bỏ sót.

Mẹo 4 — Đếm nhanh số cặp khi lấy cùng lúc 2 từ $n$ đối tượng: Số cặp = $\dfrac{n \times (n – 1)}{2}$. Ví dụ: 5 viên bi → $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$ cặp.

Tổng kết

Qua Bài 30, các em cần nắm vững:

Kết quả có thể là tất cả các kết quả có thể xảy ra của một hành động hay thực nghiệm. Cần đọc kỹ đề để xác định đối tượng có phân biệt được hay không, từ đó liệt kê chính xác.

Kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là những kết quả có thể mà khi xảy ra thì biến cố $E$ xảy ra. Một biến cố có thể không có kết quả thuận lợi nào (biến cố không thể) hoặc mọi kết quả đều thuận lợi (biến cố chắc chắn).

Hai dạng bài tập cốt lõi: liệt kê kết quả có thể (rút thẻ, gieo xúc xắc, lấy đồ vật, viết số, lấy cùng lúc nhiều đối tượng) và xác định kết quả thuận lợi cho biến cố (kiểm tra từng kết quả, chú ý biến cố “không phải”, biến cố không thể và biến cố chắc chắn). Nắm chắc bài này là nền tảng để học tiếp các bài về xác suất.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du