Bài 31 là bài trọng tâm của chương Xác suất, hướng dẫn các em tính xác suất của một biến cố bằng công thức tỉ số. Đây là bước tiếp nối tự nhiên từ Bài 30 (kết quả có thể và kết quả thuận lợi): sau khi biết cách liệt kê, giờ các em sẽ dùng kết quả đó để tính ra một con số cụ thể — xác suất.

Điểm mấu chốt của bài là điều kiện đồng khả năng: công thức chỉ áp dụng được khi các kết quả có thể đều có khả năng xảy ra như nhau.

1. Cách tính xác suất bằng tỉ số

Dẫn nhập từ tình huống mở đầu

Một túi đựng 20 viên kẹo giống hệt nhau nhưng khác loại: 7 viên kẹo sữa, 4 viên kẹo chanh, 6 viên kẹo dừa và 3 viên kẹo bạc hà. Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một viên kẹo. Tính xác suất để Lan lấy được viên kẹo sữa.

Nếu ta chỉ phân loại thành 4 kết quả (kẹo sữa, kẹo chanh, kẹo dừa, kẹo bạc hà) thì 4 kết quả này không đồng khả năng — vì số kẹo mỗi loại khác nhau, khả năng lấy được kẹo sữa (7 viên) cao hơn kẹo bạc hà (3 viên).

Để áp dụng công thức, ta cần đưa về trường hợp đồng khả năng bằng cách kí hiệu riêng từng viên kẹo: S1, …, S7 (kẹo sữa); C1, …, C4 (kẹo chanh); D1, …, D6 (kẹo dừa); B1, B2, B3 (kẹo bạc hà). Khi đó có 20 kết quả có thể, mỗi viên kẹo đều có khả năng được lấy ra như nhau.

Công thức tính xác suất

Công thức: Giả thiết rằng các kết quả có thể của một hành động hay thực nghiệm là đồng khả năng. Khi đó, xác suất của biến cố $E$, kí hiệu là $P(E)$, được tính bằng:

$$P(E) = \dfrac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } E}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$$

Các bước tính xác suất

Bước 1. Đếm tổng số kết quả có thể (thường bằng cách liệt kê).

Bước 2. Chỉ ra các kết quả có thể là đồng khả năng.

Bước 3. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.

Bước 4. Lập tỉ số $P(E) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể}}$.

Ví dụ trong lý thuyết

Ví dụ 1: Một tấm bìa cứng hình tròn được chia thành 12 hình quạt bằng nhau, đánh số 1, 2, …, 12, gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Quay tấm bìa, tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố”.

b) $B$: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số chính phương”.

Lời giải:

Có 12 kết quả có thể: 1, 2, 3, …, 12. Do 12 hình quạt bằng nhau nên 12 kết quả này là đồng khả năng.

a) Các số nguyên tố từ 1 đến 12: 2, 3, 5, 7, 11. Có 5 kết quả thuận lợi.

$$P(A) = \dfrac{5}{12}$$

b) Các số chính phương từ 1 đến 12: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$. Có 3 kết quả thuận lợi.

$$P(B) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$$

Ví dụ 2: Một hộp đựng 18 viên bi cùng khối lượng và kích thước, hai màu đỏ và vàng, số bi vàng gấp đôi số bi đỏ. Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để Bình lấy được viên bi màu vàng.

Lời giải:

Gọi $x$ là số bi đỏ. Số bi vàng là $2x$. Theo đề bài:

$$x + 2x = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6$$

Số bi vàng: $2 \times 6 = 12$.

Có 18 kết quả có thể (18 viên bi) và chúng đồng khả năng (cùng khối lượng, kích thước). Có 12 kết quả thuận lợi (12 bi vàng).

$$P = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$$

Ví dụ 3 (Tranh luận Vuông – Tròn): Một túi đựng 17 viên bi cùng khối lượng và kích thước, chỉ khác màu: 8 đỏ, 5 xanh, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất biến cố $E$: “Lấy được viên bi màu đỏ”.

Phân tích: Vì 17 viên bi cùng khối lượng và kích thước nên khi lấy ngẫu nhiên, mỗi viên bi đều có khả năng được lấy ra như nhau. Có 17 kết quả có thể, đồng khả năng. Có 8 kết quả thuận lợi (8 bi đỏ).

$$P(E) = \dfrac{8}{17}$$

Vuông nói đúng. Bạn Tròn sai vì chia thành 3 nhóm (đỏ, xanh, vàng) nhưng 3 nhóm này không đồng khả năng (số bi mỗi nhóm khác nhau), nên không thể lấy $P(E) = \dfrac{1}{3}$.

Bài học: Phải đưa về các kết quả đồng khả năng trước khi áp dụng công thức.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính xác suất cơ bản bằng công thức tỉ số

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tổng số kết quả có thể. Đảm bảo chúng đồng khả năng (nếu đối tượng giống nhau chỉ khác loại/màu → kí hiệu riêng từng cái).

Bước 2: Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố (liệt kê hoặc đếm).

Bước 3: Áp dụng $P(E) = \dfrac{\text{số thuận lợi}}{\text{tổng số có thể}}$.

Lưu ý quan trọng với biến cố dạng đặc biệt:

• Biến cố “$A$ hoặc $B$”: đếm tổng kết quả thuận lợi cho $A$ cộng với kết quả thuận lợi cho $B$ (không trùng).
• Biến cố “không phải $A$”: số thuận lợi = tổng số kết quả $-$ số thuận lợi cho $A$. Tức là $P(\text{không } A) = 1 – P(A)$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 8.4): Một tấm bìa tròn chia thành 20 hình quạt bằng nhau, đánh số 1, 2, …, 20. Quay tấm bìa, tính xác suất để mũi tên:

a) Chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4.

b) Chỉ vào hình quạt ghi số không phải là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Có 20 kết quả có thể (số 1, 2, …, 20), đồng khả năng (20 hình quạt bằng nhau).

a) Các số chia hết cho 4 trong khoảng từ 1 đến 20: $4, 8, 12, 16, 20$.

Có 5 kết quả thuận lợi.

$$P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$$

b) Để tính “không phải số nguyên tố”, ta tìm số nguyên tố trước.

Các số nguyên tố từ 1 đến 20: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$. Có 8 số nguyên tố.

Số không phải nguyên tố: $20 – 8 = 12$.

$$P = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 8.5): Một túi đựng các viên kẹo giống hệt nhau, chỉ khác màu: 5 viên đen, 3 viên đỏ, 7 viên trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên kẹo. Tính xác suất:

a) $E$: “Lấy được kẹo màu đen”.

b) $F$: “Lấy được kẹo màu đen hoặc đỏ”.

c) $G$: “Lấy được kẹo màu trắng”.

d) $H$: “Không lấy được kẹo màu đỏ”.

Lời giải chi tiết:

Tổng số kẹo: $5 + 3 + 7 = 15$ viên. Kí hiệu riêng từng viên → 15 kết quả có thể, đồng khả năng.

a) Kẹo đen: 5 viên → $P(E) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$.

b) Kẹo đen hoặc đỏ: $5 + 3 = 8$ viên → $P(F) = \dfrac{8}{15}$.

c) Kẹo trắng: 7 viên → $P(G) = \dfrac{7}{15}$.

d) Không lấy được kẹo đỏ → lấy được kẹo đen hoặc trắng: $5 + 7 = 12$ viên.

$$P(H) = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$$

Cách khác: $P(H) = 1 – P(\text{đỏ}) = 1 – \dfrac{3}{15} = 1 – \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.

Ví dụ mẫu 3 (BT 8.7): Trò chơi vòng quay may mắn. Bánh xe chia thành 12 hình quạt bằng nhau: 2 ô ghi 100 điểm, 2 ô ghi 200 điểm, 2 ô ghi 300 điểm, 2 ô ghi 400 điểm, 1 ô ghi 500 điểm, 2 ô ghi 1 000 điểm, 1 ô ghi 2 000 điểm. Bạn Lan quay, tính xác suất:

a) $A$: “Lan được 400 điểm”.

b) $B$: “Lan được ít nhất 500 điểm”.

Lời giải chi tiết:

Có 12 kết quả có thể (12 hình quạt bằng nhau), đồng khả năng.

a) Số ô ghi 400 điểm: 2.

$$P(A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$$

b) “Ít nhất 500 điểm” nghĩa là được 500 điểm trở lên.

Đếm các ô: 500 (1 ô) + 1 000 (2 ô) + 2 000 (1 ô) = 4 ô.

$$P(B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$$

Dạng 2: Tìm số lượng đối tượng khi biết xác suất

Phương pháp giải:

Từ công thức $P(E) = \dfrac{\text{số thuận lợi}}{\text{tổng số có thể}}$, nếu đề cho $P(E)$ và tổng số kết quả (hoặc ngược lại), ta lập phương trình rồi giải tìm ẩn.

Ví dụ mẫu 1: Trong một hộp có 15 quả bóng gồm các màu xanh, đỏ và vàng. Nam lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Tính số quả bóng màu xanh biết rằng xác suất lấy được bóng xanh là $\dfrac{1}{5}$.

Lời giải chi tiết:

Tổng số bóng: 15. Gọi số bóng xanh là $n$.

Xác suất lấy được bóng xanh:

$$P = \dfrac{n}{15}$$

Theo đề bài $P = \dfrac{1}{5}$, nên:

$$\dfrac{n}{15} = \dfrac{1}{5}$$

$$n = \dfrac{15}{5} = 3$$

Vậy trong hộp có 3 quả bóng màu xanh.

Ví dụ mẫu 2 (Luyện tập 2 SGK): Trên giá sách thư viện có 15 cuốn sách, trong đó có một số cuốn tiểu thuyết. Người thủ thư đặt thêm 5 cuốn tiểu thuyết mới vào giá. Nam chọn ngẫu nhiên một cuốn sách. Biết xác suất chọn được tiểu thuyết là $\dfrac{3}{4}$. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu cuốn tiểu thuyết?

Lời giải chi tiết:

Sau khi thêm 5 cuốn, tổng số sách trên giá: $15 + 5 = 20$ cuốn.

Gọi số tiểu thuyết lúc đầu là $x$. Sau khi thêm, số tiểu thuyết là $x + 5$.

Xác suất chọn được tiểu thuyết:

$$P = \dfrac{x + 5}{20}$$

Theo đề bài $P = \dfrac{3}{4}$:

$$\dfrac{x + 5}{20} = \dfrac{3}{4}$$

$$x + 5 = 20 \times \dfrac{3}{4} = 15$$

$$x = 15 – 5 = 10$$

Vậy lúc đầu trên giá sách có 10 cuốn tiểu thuyết.

Dạng 3: Tính xác suất khi lấy cùng lúc hoặc lấy có hoàn lại

Phương pháp giải:

• Lấy cùng lúc $k$ đối tượng từ $n$ đối tượng: liệt kê tất cả các tổ hợp (không quan tâm thứ tự). Số kết quả có thể khi lấy 2 từ $n$: $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
• Lấy lần lượt có hoàn lại: mỗi lần lấy đều có $n$ khả năng, ghi kết quả theo cặp có thứ tự $(a; b)$. Tổng kết quả: $n \times n = n^2$.

Sau khi xác định tổng kết quả, liệt kê kết quả thuận lợi rồi áp dụng công thức.

Ví dụ mẫu 1: Một hộp có 5 viên bi đánh số từ 1 đến 5. Nam lấy cùng lúc ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất:

a) $A$: “Hai viên bi đánh số lẻ”.

b) $B$: “Tổng số ghi trên hai viên bi bằng 6”.

Lời giải chi tiết:

Lấy cùng lúc 2 viên bi từ 5 viên → liệt kê tất cả các cặp (không phân biệt thứ tự):

${1, 2}$, ${1, 3}$, ${1, 4}$, ${1, 5}$, ${2, 3}$, ${2, 4}$, ${2, 5}$, ${3, 4}$, ${3, 5}$, ${4, 5}$.

Tổng: $\dfrac{5 \times 4}{2} = $ 10 kết quả có thể, đồng khả năng.

a) Các số lẻ: 1, 3, 5. Các cặp hai số lẻ:

${1, 3}$, ${1, 5}$, ${3, 5}$. Có 3 kết quả thuận lợi.

$$P(A) = \dfrac{3}{10}$$

b) Các cặp có tổng bằng 6:

${1, 5}$: $1 + 5 = 6$ ✓.

${2, 4}$: $2 + 4 = 6$ ✓.

Có 2 kết quả thuận lợi.

$$P(B) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$$

Ví dụ mẫu 2: Một hộp có 5 viên bi đánh số từ 1 đến 5. Hương lấy lần thứ nhất, ghi lại số rồi cho bi lại hộp, sau đó lấy lần thứ hai. Tính xác suất:

a) $A$: “Hai lần lấy ra có số giống nhau”.

b) $B$: “Số ở lần thứ nhất lớn hơn số ở lần thứ hai”.

Lời giải chi tiết:

Vì lấy có hoàn lại, mỗi lần đều có 5 khả năng. Kết quả ghi theo cặp có thứ tự $(a; b)$ với $a$ là số lần 1, $b$ là số lần 2.

Tổng kết quả: $5 \times 5 = $ 25 kết quả có thể, đồng khả năng.

a) Hai lần có số giống nhau: $(1; 1)$, $(2; 2)$, $(3; 3)$, $(4; 4)$, $(5; 5)$.

Có 5 kết quả thuận lợi.

$$P(A) = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}$$

b) Số lần 1 lớn hơn số lần 2 ($a > b$):

$(2; 1)$, $(3; 1)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$, $(4; 2)$, $(4; 3)$, $(5; 1)$, $(5; 2)$, $(5; 3)$, $(5; 4)$.

Có 10 kết quả thuận lợi.

$$P(B) = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Biến cố “không”: dùng phần bù. Nếu đề hỏi “không lấy được X” thì $P(\text{không } X) = 1 – P(X)$. Cách này nhanh hơn liệt kê tất cả kết quả thuận lợi cho “không X”.

Mẹo 2 — Tìm ẩn khi biết xác suất: lập phương trình. Từ $P = \dfrac{n}{\text{tổng}}$, nhân chéo để tìm $n$ (số đối tượng cần tìm).

Mẹo 3 — Đếm nhanh số cặp: Lấy cùng lúc 2 từ $n$ đối tượng → $\dfrac{n(n-1)}{2}$ cặp. Lấy lần lượt có hoàn lại 2 lần từ $n$ đối tượng → $n^2$ cặp có thứ tự.

Mẹo 4 — Luôn kiểm tra đồng khả năng trước khi tính: Trước khi áp dụng công thức, tự hỏi: “Mỗi kết quả có thể xảy ra đều có khả năng như nhau không?” Nếu không → cần kí hiệu riêng từng đối tượng để đưa về đồng khả năng.

Tổng kết

Qua Bài 31, các em cần nắm vững:

Công thức xác suất: $P(E) = \dfrac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } E}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$, áp dụng khi các kết quả có thể là đồng khả năng. Bốn bước: đếm tổng → kiểm tra đồng khả năng → đếm thuận lợi → lập tỉ số.

Điều kiện đồng khả năng là yếu tố then chốt. Nếu các đối tượng cùng loại không đồng khả năng (số lượng khác nhau), phải kí hiệu riêng từng đối tượng để đưa về đồng khả năng.

Ba dạng bài tập cốt lõi: tính xác suất cơ bản (lưu ý biến cố “hoặc”, “không”), tìm số lượng đối tượng khi biết xác suất, và tính xác suất khi lấy cùng lúc hoặc lấy có hoàn lại. Đây là nền tảng để giải quyết mọi bài toán xác suất trong chương trình.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du