Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- 1. Xác suất thực nghiệm của một biến cố
- Dẫn nhập
- Khái niệm xác suất thực nghiệm
- 2. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất
- 3. Ứng dụng
- Các dạng bài tập và phương pháp giải
- Dạng 1: Tính xác suất thực nghiệm từ bảng thống kê
- Dạng 2: Ước lượng xác suất từ dữ liệu thực tế
- Dạng 3: Dự đoán kết quả dựa trên xác suất thực nghiệm
- Sai lầm thường gặp
- Mẹo giải nhanh
- Tổng kết
Bài 32 là bài cuối cùng của chương Xác suất, giới thiệu xác suất thực nghiệm — một công cụ giúp ta tính xác suất trong những tình huống thực tế mà không thể áp dụng công thức tỉ số (Bài 31) do các kết quả không đồng khả năng. Thay vào đó, ta dựa vào dữ liệu thống kê từ quan sát, theo dõi thực tế để ước lượng xác suất và dự đoán kết quả trong tương lai.
Bài học gồm ba phần: xác suất thực nghiệm của một biến cố, mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất (ước lượng), và ứng dụng (dự đoán).
1. Xác suất thực nghiệm của một biến cố
Dẫn nhập
Hình ảnh tắc đường ở đường Nguyễn Trãi (Hà Nội) vào giờ cao điểm buổi chiều rất quen thuộc. Liệu ta có thể tính được xác suất của biến cố “Tắc đường vào giờ cao điểm buổi chiều ở đường Nguyễn Trãi” hay không?
Ở đây, ta không thể liệt kê các “kết quả đồng khả năng” như gieo xúc xắc hay rút thẻ. Thay vào đó, ta cần quan sát thực tế trong nhiều ngày, ghi nhận số ngày xảy ra tắc đường, rồi dùng dữ liệu thống kê đó để ước lượng xác suất.
Khái niệm xác suất thực nghiệm
Giả sử trong $n$ lần thực nghiệm hoặc $n$ lần theo dõi (quan sát) một hiện tượng, ta thấy biến cố $E$ xảy ra $k$ lần. Khi đó, xác suất thực nghiệm của biến cố $E$ bằng $\dfrac{k}{n}$, tức là bằng tỉ số giữa số lần biến cố $E$ xuất hiện và tổng số lần thực nghiệm (hoặc theo dõi).
Ví dụ 1: Ông An theo dõi số cuộc gọi điện thoại đến trong một ngày. Sau 59 ngày theo dõi, kết quả thu được:
| Số cuộc gọi trong 1 ngày | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số ngày | 5 | 9 | 15 | 10 | 5 | 6 | 4 | 2 | 3 |
Gọi $E$ là biến cố “Trong một ngày ông An nhận được ít nhất 5 cuộc gọi” và $F$ là biến cố “Trong một ngày ông An nhận được nhiều nhất 3 cuộc gọi”. Tính xác suất thực nghiệm của $E$ và $F$.
Lời giải:
Tổng số ngày theo dõi: $n = 59$.
Biến cố $E$ (“ít nhất 5 cuộc gọi”): đếm số ngày có 5, 6, 7, 8 cuộc gọi.
Số ngày: $6 + 4 + 2 + 3 = 15$.
Xác suất thực nghiệm của $E$: $\dfrac{15}{59}$.
Biến cố $F$ (“nhiều nhất 3 cuộc gọi”): đếm số ngày có 0, 1, 2, 3 cuộc gọi.
Số ngày: $5 + 9 + 15 + 10 = 39$.
Xác suất thực nghiệm của $F$: $\dfrac{39}{59}$.
2. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất
Trong Bài 31, ta tính xác suất bằng công thức tỉ số khi các kết quả đồng khả năng. Tuy nhiên, nhiều tình huống thực tế không thoả mãn điều kiện đó. Khi đó, ta có thể ước lượng xác suất bằng xác suất thực nghiệm.
Xác suất của biến cố $E$ được ước lượng bằng xác suất thực nghiệm:
$$P(E) \approx \dfrac{k}{n}$$
trong đó $n$ là số lần thực nghiệm hay theo dõi, $k$ là số lần biến cố $E$ xảy ra.
Số lần thực nghiệm $n$ càng lớn thì giá trị ước lượng càng chính xác.
Ví dụ 2: Kiểm tra ngẫu nhiên 500 chiếc ti vi do nhà máy X sản xuất thì có 4 chiếc không đạt chất lượng. Ước lượng xác suất biến cố $E$: “Một ti vi do nhà máy X sản xuất không đạt chất lượng”.
Lời giải:
Trong 500 lần quan sát, biến cố $E$ xảy ra 4 lần.
$$P(E) \approx \dfrac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$$
Vậy xác suất một ti vi không đạt chất lượng được ước lượng khoảng $0{,}8\%$.
Ví dụ 3: Thống kê tới ngày 26/12/2021, toàn thế giới có 279 830 788 người nhiễm Covid-19, trong đó 5 413 126 người tử vong. Ước lượng xác suất người nhiễm Covid-19 bị tử vong.
Lời giải:
$$P \approx \dfrac{5\,413\,126}{279\,830\,788} \approx 0{,}0193 = 1{,}93\%$$
Vậy xác suất người nhiễm Covid-19 bị tử vong được ước lượng khoảng $1{,}93\%$.
3. Ứng dụng
Xác suất thực nghiệm có thể sử dụng để dự đoán (dự báo) số lần xảy ra một sự kiện, hiện tượng trong tương lai.
Ví dụ 4: Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, kiểm tra 100 sản phẩm thu được:
| Số lỗi | 0 | 1 | > 1 |
|---|---|---|---|
| Số sản phẩm | 62 | 35 | 3 |
a) Ước lượng xác suất các biến cố: $A$: “không lỗi”; $B$: “đúng 1 lỗi”; $C$: “nhiều hơn 1 lỗi”.
b) Nếu kiểm tra 120 sản phẩm khác, dự đoán số sản phẩm ứng với mỗi loại.
Lời giải:
a) $P(A) \approx \dfrac{62}{100} = 0{,}62$; $\quad P(B) \approx \dfrac{35}{100} = 0{,}35$; $\quad P(C) \approx \dfrac{3}{100} = 0{,}03$.
b) Kiểm tra 120 sản phẩm:
Sản phẩm không lỗi: $120 \times 0{,}62 = 74{,}4 \approx $ 74 sản phẩm.
Sản phẩm đúng 1 lỗi: $120 \times 0{,}35 = $ 42 sản phẩm.
Sản phẩm nhiều hơn 1 lỗi: $120 \times 0{,}03 = 3{,}6 \approx $ 4 sản phẩm.
| Số lỗi | 0 | 1 | > 1 |
|---|---|---|---|
| Số sản phẩm (dự đoán) | 74 | 42 | 4 |
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Tính xác suất thực nghiệm từ bảng thống kê
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định tổng số lần thực nghiệm (hoặc theo dõi) $n$.
Bước 2: Đọc biến cố $E$, xác định những dòng nào trong bảng thống kê tương ứng với biến cố $E$ xảy ra.
Bước 3: Cộng số lần (hoặc số ngày, số lượng…) ở các dòng đó → được $k$.
Bước 4: Tính $P(E) = \dfrac{k}{n}$, rút gọn nếu được.
Lưu ý: Chú ý các cụm từ “ít nhất” ($\geq$), “nhiều nhất” ($\leq$), “nhiều hơn” ($>$), “ít hơn” ($<$) để đếm đúng.
Ví dụ mẫu 1 (BT 8.8): Tung một chiếc kẹp giấy 145 lần xuống sàn gạch hình vuông. Quan sát thấy 113 lần kẹp nằm hoàn toàn trong hình vuông và 32 lần kẹp nằm trên cạnh. Tính xác suất thực nghiệm:
a) $E$: “Kẹp giấy nằm hoàn toàn trong hình vuông”.
b) $F$: “Kẹp giấy nằm trên cạnh hình vuông”.
Lời giải chi tiết:
Tổng số lần tung: $n = 145$.
a) Biến cố $E$ xảy ra 113 lần.
$$P(E) = \dfrac{113}{145} = \dfrac{113}{145}$$
b) Biến cố $F$ xảy ra 32 lần.
$$P(F) = \dfrac{32}{145}$$
Ví dụ mẫu 2 (BT 8.9): Kiểm tra chất lượng sản phẩm tại nhà máy trong 20 ngày:
| Số phế phẩm | 0 | 1 | 2 | 3 | $\geq 4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số ngày | 14 | 3 | 1 | 1 | 1 |
Tính xác suất thực nghiệm:
a) $M$: “Không có phế phẩm”.
b) $N$: “Chỉ có 1 phế phẩm”.
c) $K$: “Có ít nhất 2 phế phẩm”.
Lời giải chi tiết:
Tổng số ngày: $n = 14 + 3 + 1 + 1 + 1 = 20$.
a) Biến cố $M$: 0 phế phẩm → 14 ngày.
$$P(M) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$$
b) Biến cố $N$: đúng 1 phế phẩm → 3 ngày.
$$P(N) = \dfrac{3}{20}$$
c) Biến cố $K$: ít nhất 2 phế phẩm → gồm 2, 3 và $\geq 4$ phế phẩm.
Số ngày: $1 + 1 + 1 = 3$.
$$P(K) = \dfrac{3}{20}$$
Ví dụ mẫu 3 (BT 8.10): Thống kê thời gian 78 chương trình quảng cáo trên Đài truyền hình tỉnh X:
| Thời gian quảng cáo | Từ 0–19 giây | Từ 20–39 giây | Từ 40–59 giây | Trên 60 giây |
|---|---|---|---|---|
| Số chương trình | 17 | 38 | 19 | 4 |
Tính xác suất thực nghiệm:
a) $E$: “Quảng cáo kéo dài từ 20 đến 39 giây”.
b) $F$: “Quảng cáo kéo dài trên 1 phút”.
c) $G$: “Quảng cáo kéo dài từ 20 đến 59 giây”.
Lời giải chi tiết:
Tổng: $n = 17 + 38 + 19 + 4 = 78$.
a) $E$: 20–39 giây → 38 chương trình.
$$P(E) = \dfrac{38}{78} = \dfrac{19}{39}$$
b) $F$: trên 1 phút = trên 60 giây → 4 chương trình.
$$P(F) = \dfrac{4}{78} = \dfrac{2}{39}$$
c) $G$: 20–59 giây → gồm 20–39 giây và 40–59 giây.
Số chương trình: $38 + 19 = 57$.
$$P(G) = \dfrac{57}{78} = \dfrac{19}{26}$$
Dạng 2: Ước lượng xác suất từ dữ liệu thực tế
Phương pháp giải:
Đây là dạng bài tập trong đó dữ liệu lấy từ tình huống thực tế (dịch bệnh, kiểm tra chất lượng, điều tra dân số…). Cách làm hoàn toàn tương tự Dạng 1: lấy $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$, nhưng kết quả thường viết dưới dạng số thập phân hoặc phần trăm để dễ hiểu.
Ví dụ mẫu 1 (BT 8.11): Thống kê bệnh SARS và EBOLA:
| Bệnh | Số người nhiễm | Số người tử vong |
|---|---|---|
| SARS (11/2002 – 7/2003) | 8 437 | 813 |
| EBOLA (2014 – 2016) | 34 453 | 15 158 |
Ước lượng xác suất tử vong khi nhiễm bệnh SARS và EBOLA.
Lời giải chi tiết:
SARS:
$$P \approx \dfrac{813}{8\,437} \approx 0{,}0964 \approx 9{,}64\%$$
EBOLA:
$$P \approx \dfrac{15\,158}{34\,453} \approx 0{,}4399 \approx 44{,}0\%$$
Vậy xác suất tử vong khi nhiễm SARS ước lượng khoảng $9{,}64\%$, khi nhiễm EBOLA khoảng $44{,}0\%$. EBOLA có tỉ lệ tử vong cao hơn rất nhiều so với SARS.
Dạng 3: Dự đoán kết quả dựa trên xác suất thực nghiệm
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính xác suất thực nghiệm $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ từ dữ liệu đã biết.
Bước 2: Với $n’$ lần thực nghiệm mới, dự đoán số lần biến cố $E$ xảy ra:
$$k’ \approx n’ \times P(E)$$
Bước 3: Làm tròn kết quả đến số nguyên gần nhất (vì số lần phải là số nguyên).
Ví dụ mẫu 1 (BT 8.12): Nhà máy kiểm tra 600 chiếc điều hoà, thấy 5 chiếc bị lỗi. Trong lô hàng 1 500 chiếc, dự đoán có bao nhiêu chiếc không bị lỗi?
Lời giải chi tiết:
Xác suất thực nghiệm bị lỗi:
$$P(\text{lỗi}) \approx \dfrac{5}{600} = \dfrac{1}{120}$$
Xác suất không bị lỗi:
$$P(\text{không lỗi}) \approx 1 – \dfrac{1}{120} = \dfrac{119}{120}$$
Trong lô 1 500 chiếc, dự đoán số chiếc không lỗi:
$$k’ \approx 1\,500 \times \dfrac{119}{120} = 1\,500 \times 0{,}9917 \approx 1\,487{,}5$$
Vậy dự đoán có khoảng 1 488 chiếc điều hoà không bị lỗi.
Cách khác: Số lỗi dự đoán $\approx 1\,500 \times \dfrac{5}{600} = 12{,}5 \approx 13$ chiếc. Số không lỗi $\approx 1\,500 – 13 = 1\,487$ chiếc.
Ví dụ mẫu 2 (BT 8.13): Mai gieo đồng thời hai xúc xắc 100 lần, ghi điểm = tổng số chấm:
| Số điểm | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số lần | 3 | 5 | 9 | 10 | 14 | 16 | 13 | 11 | 8 | 7 | 4 |
Việt gieo 120 lần. Dự đoán số lần Việt nhận được:
a) Một số chẵn. b) Một số nguyên tố. c) Một số lớn hơn 7.
Lời giải chi tiết:
Từ bảng kết quả 100 lần gieo của Mai:
a) Số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Số lần: $3 + 9 + 14 + 13 + 8 + 4 = 51$.
$P(\text{chẵn}) \approx \dfrac{51}{100} = 0{,}51$.
Dự đoán cho Việt (120 lần): $120 \times 0{,}51 = 61{,}2 \approx $ 61 lần.
b) Số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11.
Số lần: $3 + 5 + 10 + 16 + 7 = 41$.
$P(\text{nguyên tố}) \approx \dfrac{41}{100} = 0{,}41$.
Dự đoán: $120 \times 0{,}41 = 49{,}2 \approx $ 49 lần.
c) Số lớn hơn 7: 8, 9, 10, 11, 12.
Số lần: $13 + 11 + 8 + 7 + 4 = 43$.
$P(> 7) \approx \dfrac{43}{100} = 0{,}43$.
Dự đoán: $120 \times 0{,}43 = 51{,}6 \approx $ 52 lần.
Ví dụ mẫu 3: Một xạ thủ bắn 200 viên đạn vào mục tiêu, có 148 viên trúng đích.
a) Tính xác suất thực nghiệm biến cố “Xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
b) Nếu bắn 80 viên, dự đoán bắn trúng bao nhiêu viên?
Lời giải chi tiết:
a) $P(\text{trúng}) \approx \dfrac{148}{200} = \dfrac{37}{50} = 0{,}74$.
b) Dự đoán: $80 \times 0{,}74 = 59{,}2 \approx $ 59 viên.
Sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Nhầm lẫn xác suất thực nghiệm với xác suất lý thuyết (Bài 31) | Xác suất lý thuyết dùng công thức $P = \dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{có thể}}$ khi kết quả đồng khả năng. Xác suất thực nghiệm dùng $P \approx \dfrac{k}{n}$ khi có dữ liệu thống kê thực tế. |
| Nhầm “ít nhất” và “nhiều nhất” khi đếm $k$ | “Ít nhất 5” ($\geq 5$): đếm tất cả dòng có giá trị $\geq 5$. “Nhiều nhất 3” ($\leq 3$): đếm tất cả dòng có giá trị $\leq 3$. Đếm sai sẽ cho sai $k$ và sai xác suất. |
| Quên làm tròn khi dự đoán | Số lần xảy ra phải là số nguyên, nên kết quả dự đoán cần làm tròn đến số nguyên gần nhất. Ví dụ: $74{,}4 \approx 74$; $3{,}6 \approx 4$. |
| Cho rằng xác suất thực nghiệm luôn chính xác | Xác suất thực nghiệm chỉ là ước lượng. Số lần thực nghiệm $n$ càng lớn thì ước lượng càng chính xác, nhưng vẫn có sai số. Nên dùng từ “khoảng”, “ước lượng”, “dự đoán”. |
| Khi dự đoán, quên nhân đúng xác suất với số lần mới | Phải nhân $P(E)$ với $n’$ (số lần mới), không phải với $n$ (số lần cũ). Ví dụ: $P = 0{,}62$ từ 100 sản phẩm, dự đoán cho 120 sản phẩm → $120 \times 0{,}62 = 74{,}4$, không phải $100 \times 0{,}62$. |
Mẹo giải nhanh
Mẹo 1 — Công thức duy nhất: Xác suất thực nghiệm luôn là $\dfrac{k}{n}$ — $k$ là “số lần xảy ra”, $n$ là “tổng số lần quan sát”. Chỉ cần xác định đúng $k$ và $n$ là xong.
Mẹo 2 — Biến cố “ít nhất” / “nhiều nhất”: cộng đúng dòng. Đọc kỹ đề, xác định giá trị ranh giới, rồi cộng tất cả các dòng thoả điều kiện. Ví dụ: “ít nhất 5 cuộc gọi” → cộng dòng 5, 6, 7, 8.
Mẹo 3 — Dự đoán nhanh: Sau khi tính $P(E)$, nhân thẳng với số lần mới $n’$: kết quả dự đoán $= n’ \times P(E)$. Nhớ làm tròn.
Mẹo 4 — Viết kết quả dạng phần trăm cho bài thực tế: Trong bài toán về chất lượng sản phẩm, dịch bệnh, tỉ lệ…, nên viết xác suất dạng phần trăm (ví dụ $0{,}8\%$) để dễ hình dung ý nghĩa thực tế.
Tổng kết
Qua Bài 32, các em cần nắm vững:
Xác suất thực nghiệm của biến cố $E$ bằng $\dfrac{k}{n}$ — tỉ số giữa số lần biến cố $E$ xảy ra ($k$) và tổng số lần thực nghiệm hoặc theo dõi ($n$). Đây là công cụ giúp ta ước lượng xác suất trong những tình huống thực tế mà không thể áp dụng công thức đồng khả năng.
Ước lượng xác suất: $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$. Số lần thực nghiệm càng lớn, ước lượng càng chính xác.
Ứng dụng dự đoán: Từ xác suất thực nghiệm đã tính, nhân với số lần thực nghiệm mới để dự đoán số lần biến cố xảy ra trong tương lai.
Ba dạng bài tập cốt lõi: tính xác suất thực nghiệm từ bảng thống kê, ước lượng xác suất từ dữ liệu thực tế, và dự đoán kết quả tương lai. Nắm chắc bài này giúp các em ứng dụng kiến thức xác suất vào thực tiễn cuộc sống.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du