Lớp 11 · Toán
Bài 4
Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Phương trình sin · cos · tan · cot · Công thức nghiệm
1
Phương trình tương đương
▼
Định nghĩa
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
$f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0$
⚠ Chú ý
Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương với nhau (vì cùng có tập nghiệm là tập rỗng).
💡 Ví dụ minh họa
Hai phương trình $2x + 6 = 0$ và $x^2 + 6x + 9 = 0$ có tương đương không?
• Phương trình $2x + 6 = 0$ có tập nghiệm $S_1 = \{-3\}$
• Phương trình $x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 0$ có tập nghiệm $S_2 = \{-3\}$
• Vì $S_1 = S_2$ nên hai phương trình tương đương.
Các phép biến đổi tương đương
Khi thực hiện các phép biến đổi sau mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình, ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:
▸ Cộng (hoặc trừ) hai vế
$f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) + h(x) = g(x) + h(x)$
Cộng/trừ cùng một biểu thức vào hai vế.
▸ Nhân (hoặc chia) hai vế
$f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$
Với điều kiện $h(x) \neq 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
🎯 Ứng dụng vào PTLG
Trong các phương trình lượng giác, ta thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về một trong 4 dạng cơ bản: $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, $\cot x = m$.
2
Phương trình $\sin x = m$
▼
Điều kiện có nghiệm
Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$, tức là $-1 \leq m \leq 1$.
• Nếu $|m| > 1$: phương trình vô nghiệm (do $|\sin x| \leq 1$ với mọi $x$).
• Nếu $|m| \leq 1$: tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ thỏa mãn $\sin\alpha = m$.
• Nếu $|m| > 1$: phương trình vô nghiệm (do $|\sin x| \leq 1$ với mọi $x$).
• Nếu $|m| \leq 1$: tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ thỏa mãn $\sin\alpha = m$.
Minh họa nghiệm $\sin x = m$ trên đường tròn lượng giác và đồ thị (Ảnh: SGK KNTT)
⚡ Công thức nghiệm
$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin\alpha$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \, (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right. \, (k \in \mathbb{Z})$
📐 Khi góc cho bằng đơn vị độ
$\sin x = \sin\alpha° \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha° + k \cdot 360° \\ x = 180° - \alpha° + k \cdot 360° \end{array}\right. \, (k \in \mathbb{Z})$
Các trường hợp đặc biệt
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\sin x = 0$ | $x = k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$ |
| $\sin x = 1$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
| $\sin x = -1$ | $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
💡 Mẹo nhớ
Phương trình $\sin$ có 2 họ nghiệm: góc gốc $\alpha$ và góc bù $\pi - \alpha$. Cả hai họ đều có chu kỳ $2\pi$.
📝 Ví dụ 1
Giải phương trình $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Bước 1: Nhận xét $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, với $-\dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm:
$\sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right.$
Kết luận: $x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi$ $\,(k \in \mathbb{Z})$.
📝 Ví dụ 2
Giải phương trình $\sin 2x = \sin(60° - 3x)$
Áp dụng công thức $\sin u = \sin v$:
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = 60° - 3x + k \cdot 360° \\ 2x = 180° - (60° - 3x) + k \cdot 360° \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x = 60° + k \cdot 360° \\ -x = 120° + k \cdot 360° \end{array}\right.$
Kết luận: $x = 12° + k \cdot 72°$ hoặc $x = -120° + k \cdot 360°$ $\,(k \in \mathbb{Z})$.
3
Phương trình $\cos x = m$
▼
Điều kiện có nghiệm
Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$.
• Nếu $|m| > 1$: phương trình vô nghiệm.
• Nếu $|m| \leq 1$: tồn tại duy nhất $\alpha \in [0; \pi]$ thỏa mãn $\cos\alpha = m$.
• Nếu $|m| > 1$: phương trình vô nghiệm.
• Nếu $|m| \leq 1$: tồn tại duy nhất $\alpha \in [0; \pi]$ thỏa mãn $\cos\alpha = m$.
Minh họa nghiệm $\cos x = m$ trên đường tròn lượng giác và đồ thị (Ảnh: SGK KNTT)
⚡ Công thức nghiệm
$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos\alpha$
$\Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
📐 Khi góc cho bằng đơn vị độ
$\cos x = \cos\alpha° \Leftrightarrow x = \pm\alpha° + k \cdot 360° \, (k \in \mathbb{Z})$
Các trường hợp đặc biệt
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\cos x = 0$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$ |
| $\cos x = 1$ | $x = k2\pi$ |
| $\cos x = -1$ | $x = \pi + k2\pi$ |
💡 Mẹo nhớ
Phương trình $\cos$ có 2 nghiệm đối nhau: $+\alpha$ và $-\alpha$, cùng chu kỳ $2\pi$. Có thể viết gọn thành $x = \pm\alpha + k2\pi$.
📝 Ví dụ 3
Giải phương trình $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Bước 1: Nhận xét $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}$, với $\dfrac{5\pi}{6} \in [0; \pi]$.
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm:
$\cos x = \cos\dfrac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$.
📝 Ví dụ 4
Giải phương trình $\cos 2x = \cos(45° - x)$
Áp dụng công thức $\cos u = \cos v$:
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = 45° - x + k \cdot 360° \\ 2x = -(45° - x) + k \cdot 360° \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = 45° + k \cdot 360° \\ x = -45° + k \cdot 360° \end{array}\right.$
Kết luận: $x = 15° + k \cdot 120°$ hoặc $x = -45° + k \cdot 360°$ $\,(k \in \mathbb{Z})$.
4
Phương trình $\tan x = m$
▼
Điều kiện có nghiệm
Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi giá trị $m \in \mathbb{R}$.
Tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\tan\alpha = m$.
Tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\tan\alpha = m$.
⚠ Điều kiện xác định
Trước khi giải, cần đặt điều kiện $\cos x \neq 0$, tức là $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $\,(k \in \mathbb{Z})$.
⚡ Công thức nghiệm
$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan\alpha$
$\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
📐 Khi góc cho bằng đơn vị độ
$\tan x = \tan\alpha° \Leftrightarrow x = \alpha° + k \cdot 180° \, (k \in \mathbb{Z})$
💡 Mẹo nhớ
Phương trình $\tan$ chỉ có 1 họ nghiệm, chu kỳ là $\pi$ (khác với $\sin$, $\cos$ có chu kỳ $2\pi$).
📝 Ví dụ 5
Giải phương trình $\tan x = -\sqrt{3}$
Bước 1: Nhận xét $-\sqrt{3} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, với $-\dfrac{\pi}{3} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm:
$\tan x = \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$.
📝 Ví dụ 6
Giải phương trình $\tan x = 2$
Gọi $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\tan\alpha = 2$.
$\tan x = 2 \Leftrightarrow \tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$.
(Dùng máy tính cầm tay: $\alpha \approx 1{,}1071$ rad $\approx 63°26'$)
5
Phương trình $\cot x = m$ & Máy tính cầm tay
▼
Điều kiện có nghiệm
Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi giá trị $m \in \mathbb{R}$.
Tồn tại duy nhất $\alpha \in (0; \pi)$ thỏa mãn $\cot\alpha = m$.
Tồn tại duy nhất $\alpha \in (0; \pi)$ thỏa mãn $\cot\alpha = m$.
⚠ Điều kiện xác định
Trước khi giải, cần đặt điều kiện $\sin x \neq 0$, tức là $x \neq k\pi$ $\,(k \in \mathbb{Z})$.
⚡ Công thức nghiệm
$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot\alpha$
$\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$
📐 Khi góc cho bằng đơn vị độ
$\cot x = \cot\alpha° \Leftrightarrow x = \alpha° + k \cdot 180° \, (k \in \mathbb{Z})$
📝 Ví dụ 7
Giải phương trình $\cot x = -\sqrt{3}$
Bước 1: Nhận xét $-\sqrt{3} = \cot\dfrac{5\pi}{6}$, với $\dfrac{5\pi}{6} \in (0; \pi)$.
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm:
$\cot x = \cot\dfrac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})$.
🔢 Sử dụng máy tính cầm tay
Khi không nhớ giá trị lượng giác của góc, ta có thể dùng các phím $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ trên máy tính để tìm số đo của góc.
Bước 1: Chọn đơn vị đo góc
| Đơn vị | Phím bấm | Ký hiệu |
|---|---|---|
| Độ | SHIFT MODE 3 | D |
| Radian | SHIFT MODE 4 | R |
Bước 2: Bấm SHIFT + phím (sin / cos / tan) + giá trị $m$ + =
| Phím | Chế độ Radian | Chế độ Độ |
|---|---|---|
| $\sin^{-1}$ | $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ | $\alpha \in [-90°; 90°]$ |
| $\cos^{-1}$ | $\alpha \in [0; \pi]$ | $\alpha \in [0°; 180°]$ |
| $\tan^{-1}$ | $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ | $\alpha \in (-90°; 90°)$ |
💡 Lưu ý khi dùng máy tính
• Với $\sin^{-1}$ và $\cos^{-1}$: phải có $|m| \leq 1$.
• Khi có kết quả ở chế độ độ, bấm phím $°'"$ để hiển thị độ – phút – giây.
• Với phương trình $\cot x = m$: tính trước $\tan\alpha = \dfrac{1}{m}$ rồi tìm $\alpha$ bằng $\tan^{-1}$.
• Khi có kết quả ở chế độ độ, bấm phím $°'"$ để hiển thị độ – phút – giây.
• Với phương trình $\cot x = m$: tính trước $\tan\alpha = \dfrac{1}{m}$ rồi tìm $\alpha$ bằng $\tan^{-1}$.
📝 Ví dụ 8
Tìm số đo radian của góc $\alpha$, biết $\sin\alpha = 0{,}58$.
• Chuyển máy về chế độ Radian: SHIFT MODE 4.
• Bấm SHIFT $\sin$ 0.58 = → Màn hình hiển thị $0{,}6187286907$.
Kết luận: $\alpha \approx 0{,}61873$ rad.
6
Tổng kết & Phương pháp giải các dạng
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức nghiệm
| Phương trình | Điều kiện | Công thức nghiệm |
|---|---|---|
| $\sin x = m$ | $|m| \leq 1$ | $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ |
| $\cos x = m$ | $|m| \leq 1$ | $x = \pm\alpha + k2\pi$ |
| $\tan x = m$ | $m \in \mathbb{R}$ | $x = \alpha + k\pi$ |
| $\cot x = m$ | $m \in \mathbb{R}$ | $x = \alpha + k\pi$ |
🎯 Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: PTLG cơ bản với góc đặc biệt
Kiểm tra điều kiện có nghiệm → tra giá trị $\alpha$ trong bảng góc đặc biệt → áp dụng công thức nghiệm.
Dạng 2: $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$, $\tan u = \tan v$, $\cot u = \cot v$
Đặt $u$ và $v$ bằng nhau theo công thức tương ứng của từng hàm.
Dạng 3: Phương trình đưa về dạng cơ bản
Dùng phép biến đổi tương đương (chuyển vế, nhân/chia) để đưa về một trong 4 dạng cơ bản.
Dạng 4: Phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau
Dùng các công thức biến đổi để đưa về cùng một hàm, cùng một góc.
Dạng 5: Bài toán thực tế
Đọc đề → lập PTLG → giải phương trình → chọn nghiệm phù hợp với điều kiện thực tế.
Kiểm tra điều kiện có nghiệm → tra giá trị $\alpha$ trong bảng góc đặc biệt → áp dụng công thức nghiệm.
Dạng 2: $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$, $\tan u = \tan v$, $\cot u = \cot v$
Đặt $u$ và $v$ bằng nhau theo công thức tương ứng của từng hàm.
Dạng 3: Phương trình đưa về dạng cơ bản
Dùng phép biến đổi tương đương (chuyển vế, nhân/chia) để đưa về một trong 4 dạng cơ bản.
Dạng 4: Phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau
Dùng các công thức biến đổi để đưa về cùng một hàm, cùng một góc.
Dạng 5: Bài toán thực tế
Đọc đề → lập PTLG → giải phương trình → chọn nghiệm phù hợp với điều kiện thực tế.
🔄 Công thức biến đổi thường dùng
$\sin a = -\sin b \Leftrightarrow \sin a = \sin(-b)$
$\cos a = -\cos b \Leftrightarrow \cos a = \cos(\pi - b)$
$\sin a = \cos b \Leftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos b$
$\cos a = \sin b \Leftrightarrow \cos a = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - b\right)$
$\cos a = -\cos b \Leftrightarrow \cos a = \cos(\pi - b)$
$\sin a = \cos b \Leftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos b$
$\cos a = \sin b \Leftrightarrow \cos a = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - b\right)$
💡 Mẹo nhớ tổng quát
• Sin, Cos: 2 họ nghiệm, chu kỳ $2\pi$ (hoặc $360°$).
• Tan, Cot: 1 họ nghiệm, chu kỳ $\pi$ (hoặc $180°$).
• Sin: gốc và bù ($\alpha$ và $\pi - \alpha$).
• Cos: đối nhau ($+\alpha$ và $-\alpha$).
• $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$; $\,\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
• Tan, Cot: 1 họ nghiệm, chu kỳ $\pi$ (hoặc $180°$).
• Sin: gốc và bù ($\alpha$ và $\pi - \alpha$).
• Cos: đối nhau ($+\alpha$ và $-\alpha$).
• $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$; $\,\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập PTLG cơ bản!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh