Menu Học Tập

Bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng Cách (Trong Không Gian) (25 bài tập)

Lớp 11 · Toán Bài 26

Khoảng Cách

Điểm – đường thẳng – mặt phẳng · Đường vuông góc chung

1
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng
▼
Định nghĩa 1 – Khoảng cách điểm đến đường thẳng
Cho điểm $M$ và đường thẳng $a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $a$. Khi đó, với mọi điểm $K \in a$ ta luôn có $MK \geq MH$.
$d(M, a) = MH$    (với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $a$)
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
Hình 1: Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $a$
Định nghĩa 2 – Khoảng cách điểm đến mặt phẳng
Cho điểm $M$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$. Khi đó, với mọi điểm $K \in (P)$ ta luôn có $MK \geq MH$.
$d(M, (P)) = MH$    (với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$)
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P
Hình 2: Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$
Chú ý quan trọng
• $d(M, a) = 0 \Leftrightarrow M \in a$.
• $d(M, (P)) = 0 \Leftrightarrow M \in (P)$.
• Khoảng cách từ $M$ đến $a$ (hoặc $(P)$) chính là khoảng cách nhỏ nhất từ $M$ đến một điểm bất kỳ trên $a$ (trên $(P)$).
Chiều cao của hình chóp
Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
Chiều cao hình chóp đều S.ABC
Hình 3: Chiều cao của hình chóp đều $S.ABC$ là $SO$
💡 Ví dụ minh hoạ – Chiều cao hình chóp đều
Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$ (với $a < b\sqrt{3}$). Tính chiều cao của hình chóp
B1.Gọi $O$ là tâm tam giác đều $ABC$ thì $O$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ (do hình chóp đều) B2.Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp: $OA = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ B3.Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, áp dụng định lý Pythagore: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{3}}$ Chiều cao của hình chóp là $SO = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{3}}$
2
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
▼
Định nghĩa
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa $a$ và $(P)$ được định nghĩa là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên $a$ đến $(P)$.
$d(a, (P)) = d(M, (P))$   với $M$ là điểm bất kỳ thuộc $a$
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Hình 4: Đường thẳng $a \parallel (P)$, các điểm $M, N \in a$ có cùng khoảng cách đến $(P)$
Tính chất quan trọng
• Mọi điểm trên đường thẳng $a$ cách đều $(P)$ một khoảng bằng $d(a, (P))$.
• Có thể lấy bất kỳ điểm nào trên $a$ — thường chọn điểm thuận lợi để tính.
• Nếu $a \subset (Q)$ và $(Q) \parallel (P)$ thì $d(a, (P)) = d((Q), (P))$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $m$ và $n$, ký hiệu $d(m, n)$, là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
🔧 Các bước tính $d(a, (P))$ khi $a \parallel (P)$
Bước 1: Chứng minh $a \parallel (P)$.
Bước 2: Chọn điểm $M \in a$ thuận lợi (thường là điểm đã biết tọa độ trên hình).
Bước 3: Tính $d(M, (P))$ — đây chính là $d(a, (P))$.
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA' = h$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $A'C'$ và mặt phẳng $(ABCD)$
B1.$A'C' \subset (A'B'C'D')$ mà $(A'B'C'D') \parallel (ABCD)$ nên $A'C' \parallel (ABCD)$ B2.Chọn điểm $A' \in A'C'$, ta có $d(A'C', (ABCD)) = d(A', (ABCD))$ B3.Hình hộp đứng nên $A'A \perp (ABCD)$, do đó $d(A', (ABCD)) = A'A = h$ Vậy $d(A'C', (ABCD)) = h$
3
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
▼
Định nghĩa
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$, ký hiệu $d((P), (Q))$, là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
$d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M \in (P)$
$= d(N, (P))$ với $N \in (Q)$
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Hình 5: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) \parallel (Q)$
Mối liên hệ giữa các loại khoảng cách
Nếu $a \subset (P)$ và $(P) \parallel (Q)$ thì:
$d(a, (Q)) = d((P), (Q))$
→ Khi cần tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có thể chọn một đường thẳng trong một mặt phẳng để đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Chiều cao của hình lăng trụ
Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.

Lưu ý: Với hình lăng trụ đứng, chiều cao bằng độ dài cạnh bên.
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = h$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$. Tính $d((MNP), (ABC))$
B1.$MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MN \parallel AB$ B2.$MP$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $MP \parallel AC$ B3.$MN, MP$ cắt nhau và song song với $AB, AC \subset (ABC)$ nên $(MNP) \parallel (ABC)$ B4.Chọn điểm $M \in (MNP)$: $d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA = \dfrac{SA}{2} = \dfrac{h}{2}$ Vậy $d((MNP), (ABC)) = \dfrac{h}{2}$
4
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
▼
Định nghĩa – Đường vuông góc chung
Đường thẳng $\Delta$ cắt hai đường thẳng chéo nhau $a, b$ và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$.
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Hình 6: Đường vuông góc chung $\Delta$ của hai đường thẳng chéo nhau $a, b$, cắt $a$ tại $M$, $b$ tại $N$
Định nghĩa – Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt $a, b$ lần lượt tại $M, N$ thì độ dài đoạn $MN$ được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$, ký hiệu $d(a, b)$.
$d(a, b) = MN$
Hai cách tính cơ bản
Cách 1: $d(a, b) = d(a, (Q))$, với $(Q)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$.
Cách 2: $d(a, b) = d((P), (Q))$, với $(P), (Q)$ là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa $a$ và $b$.
⭐ Trường hợp đặc biệt rất hay gặp
Nếu $a \perp (P)$, $a$ cắt $(P)$ tại $O$, và $b \subset (P)$ thì:
$d(a, b) = d(O, b)$
→ Quy về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng.
💡 Ví dụ minh hoạ
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $AB = a$, $\widehat{ABC} = 60°$. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $SA$ và $BC$
Ví dụ d(SA, BC) trong hình chóp S.ABC
Hình 7: $AH$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$
B1.Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, $AB = a$, $\widehat{ABH} = 60°$ B2.$AH = AB \cdot \sin\widehat{ABH} = a \cdot \sin 60° = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ B3.Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AH$. Lại có $AH \perp BC$ (theo cách dựng), nên $AH$ vuông góc với cả $SA$ và $BC$ B4.$AH$ cắt $SA$ tại $A$ và cắt $BC$ tại $H$ nên $AH$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ Vậy $d(SA, BC) = AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
5
Phương pháp tính khoảng cách
▼
🔧 Phương pháp 1 – Hình chiếu trực tiếp
• Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng / mặt phẳng cần tính.
• Tính độ dài đoạn $MH$.
• Áp dụng khi dễ xác định hình chiếu (đỉnh hình chóp có $SA \perp$ đáy, hình chóp đều...).
🔧 Phương pháp 2 – Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$:
$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$   hay   $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
Dùng khi cần tính khoảng cách từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền.
🔧 Phương pháp 3 – Công thức thể tích
Với khối tứ diện $M.ABC$, ta có:
$d(M, (ABC)) = \dfrac{3 \cdot V_{M.ABC}}{S_{ABC}}$
Tính thể tích $V$ và diện tích đáy $S$ theo cách dễ hơn → suy ra khoảng cách.
💡 Mẹo chọn phương pháp
• Đề có $SA \perp$ đáy + đáy vuông tại $B$ → dùng hệ thức lượng trong tam giác $SAB$ vuông.
• Khó tìm hình chiếu trực tiếp → dùng công thức thể tích.
• Cần tính $d(a, b)$ với $a, b$ chéo nhau → tìm mặt phẳng $(Q)$ chứa $b$ và song song với $a$, rồi tính $d(a, (Q))$.
• Có sẵn $a \perp (P)$ và $b \subset (P)$ → dùng trường hợp đặc biệt: $d(a, b) = d(O, b)$.
💡 Ví dụ minh hoạ – Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = h$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB = a$. Tính $d(A, (SBC))$
Ví dụ d(A, (SBC))
Hình 8: $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$
B1.Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$. Lại có $BC \perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) B2.Từ đó $BC \perp (SAB)$, suy ra $(SBC) \perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$ B3.Trong $(SAB)$, kẻ $AH \perp SB$ tại $H$. Khi đó $AH \perp (SBC)$, nên $d(A, (SBC)) = AH$ B4.Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + a^2}$ $AH = \dfrac{SA \cdot AB}{SB} = \dfrac{ah}{\sqrt{a^2 + h^2}}$ Vậy $d(A, (SBC)) = \dfrac{ah}{\sqrt{a^2 + h^2}}$
6
Mở rộng — Phương pháp toạ độ cho khoảng cách hai đường chéo nhau
▼

Ngoài cách dựng hình tổng hợp (đường vuông góc chung, thể tích) ở các phần trên, khi hình có nhiều góc vuông (ví dụ $SB \perp$ đáy, đáy là hình vuông) ta có thể gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ và tính khoảng cách bằng công thức vectơ — máy móc, ít phải "nhìn hình".

Vectơ chỉ phương & tích có hướng
Đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$. Với $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$, tích có hướng là:
$\vec{u} \wedge \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2;\; u_3 v_1 - u_1 v_3;\; u_1 v_2 - u_2 v_1)$
$\vec{u} \wedge \vec{v}$ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$ — đó chính là phương của đường vuông góc chung.
Công thức khoảng cách hai đường chéo nhau
Đường $a$ qua $A$ với chỉ phương $\vec{u}$; đường $b$ qua $C$ với chỉ phương $\vec{v}$. Khi đó:
$d(a, b) = \dfrac{\left| \overrightarrow{AC} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) \right|}{\left| \vec{u} \wedge \vec{v} \right|}$
Tử số là tích hỗn tạp (trị tuyệt đối) — bằng thể tích khối hộp dựng trên $\overrightarrow{AC}, \vec{u}, \vec{v}$; mẫu số là diện tích đáy. Nếu tử số $= 0$ thì $a, b$ đồng phẳng (không chéo nhau).
Gắn hệ trục Oxyz vào hình chóp có SB vuông góc đáy hình vuông
Hình: Gắn $Oxyz$ với gốc tại chân đường vuông góc — ba cạnh đôi một vuông góc làm ba trục
🔧 Quy trình 4 bước
Bước 1: Chọn gốc $O$ tại điểm có ba cạnh đôi một vuông góc (thường là chân đường vuông góc với đáy). Gán toạ độ các đỉnh.
Bước 2: Lập vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ của hai đường (rút gọn cho đẹp); chọn $A$ trên đường này, $C$ trên đường kia → $\overrightarrow{AC}$.
Bước 3: Tính $\vec{u} \wedge \vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v})$.
Bước 4: Thay vào công thức $d = \dfrac{|\overrightarrow{AC} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v})|}{|\vec{u} \wedge \vec{v}|}$.
Mẹo gán toạ độ khi $SB \perp$ đáy là hình vuông cạnh $a$
Lấy gốc tại $B$, hai cạnh đáy làm trục $Ox, Oy$, cạnh $SB$ làm trục $Oz$:
$B(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $D(a;a;0)$, $S(0;0;SB)$.
Trung điểm, vectơ… đều suy ra trực tiếp từ toạ độ — không cần dựng thêm hình.
💡 Ví dụ minh hoạ — $d(SA, CM)$ bằng toạ độ
Hình chóp $S.ABCD$, đáy hình vuông cạnh $a$, $SB \perp (ABCD)$, $SB = 2a$. $M$ là trung điểm $AB$. Tính $d(SA, CM)$.
B1.Gốc tại $B$: $B(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $S(0;0;2a)$, $M\left(\dfrac{a}{2};0;0\right)$. B2.$\vec{u} = \overrightarrow{AS} = (-a;0;2a) \to (-1;0;2)$;   $\vec{v} = \overrightarrow{CM} = \left(\dfrac{a}{2};-a;0\right) \to (1;-2;0)$. B3.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (0\cdot 0 - 2\cdot(-2);\; 2\cdot 1 - (-1)\cdot 0;\; (-1)(-2) - 0) = (4;2;2)$. →$|\vec{u} \wedge \vec{v}| = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. B4.$\overrightarrow{AC} = (-a;a;0)$;   $\overrightarrow{AC}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = -4a + 2a + 0 = -2a$. $d(SA, CM) = \dfrac{|-2a|}{2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{\sqrt{6}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ Vậy $d(SA, CM) = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
⭐ Liên hệ với cách tổng hợp (Bài 26)
Hai cách cho cùng kết quả. Phương pháp toạ độ mạnh khi hình nhiều góc vuông và đáp số không cần "đẹp"; cách tổng hợp (đường vuông góc chung / đổi về $d(a,(Q))$ / thể tích) gọn khi dựng được hình chiếu rõ ràng. Nên biết cả hai để chọn theo từng đề.
⚠️ Lỗi thường gặp
• Quên kiểm tra ba trục có đôi một vuông góc mới được gán $Oxyz$ kiểu này.
• Rút gọn $\vec{u}, \vec{v}$ tuỳ ý được, nhưng $\overrightarrow{AC}$ thì phải dùng toạ độ thật (giữ $a$) để ra đúng độ dài.
• Nhầm thứ tự khi tính tích có hướng (sai dấu thành phần giữa).
7
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp các loại khoảng cách
Loại khoảng cáchKý hiệuCách tính
Điểm – đường thẳng $d(M, a)$ $= MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $a$
Điểm – mặt phẳng $d(M, (P))$ $= MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$; hoặc $= \dfrac{3V}{S}$
Hai đường song song $d(m, n)$ $= d(M, n)$ với $M \in m$ bất kỳ
Đường – mặt song song $d(a, (P))$ $= d(M, (P))$ với $M \in a$ bất kỳ
Hai mặt phẳng song song $d((P), (Q))$ $= d(M, (Q))$ với $M \in (P)$ bất kỳ
Hai đường chéo nhau $d(a, b)$ $= MN$ (đường vuông góc chung); hoặc $d(a, (Q))$ với $(Q) \supset b$, $(Q) \parallel a$
Chiều cao chóp $h$ Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy
Chiều cao lăng trụ $h$ Khoảng cách giữa hai đáy; với lăng trụ đứng = độ dài cạnh bên
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Xem thêm: Bài 26 Khoảng cách trong không gian – Lý thuyết & công thức đầy đủ trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Khoảng cách trong không gian!

25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )

Bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (25 bài tập) ( 14/05 )