Lớp 11 · Toán
Bài 10
Đường Thẳng và Mặt Phẳng Trong Không Gian
Khái niệm · Tính chất · Hình chóp · Hình tứ diện
1
Khái niệm mặt phẳng
▼
Khái niệm
Mặt bàn, màn hình máy tính, mặt nước yên tĩnh… cho ta hình ảnh về một phần của mặt phẳng.
Đặc điểm của mặt phẳng:
• Không có bề dày
• Không có giới hạn (trải rộng vô tận về mọi phía)
Đặc điểm của mặt phẳng:
• Không có bề dày
• Không có giới hạn (trải rộng vô tận về mọi phía)
Hình minh hoạ: Biểu diễn mặt phẳng $(P)$ bằng hình bình hành
📍 Cách biểu diễn và kí hiệu
• Biểu diễn: dùng một hình bình hành (hoặc một góc) và viết tên mặt phẳng ở góc/bên trong.
• Kí hiệu: chữ in hoa hoặc chữ Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn — ví dụ $(P), (Q), (\alpha), (ABC)$.
• Điểm thuộc mặt phẳng: $A \in (P)$ (đọc là "$A$ thuộc $(P)$" hoặc "$(P)$ chứa $A$").
• Điểm không thuộc mặt phẳng: $B \notin (P)$.
• Kí hiệu: chữ in hoa hoặc chữ Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn — ví dụ $(P), (Q), (\alpha), (ABC)$.
• Điểm thuộc mặt phẳng: $A \in (P)$ (đọc là "$A$ thuộc $(P)$" hoặc "$(P)$ chứa $A$").
• Điểm không thuộc mặt phẳng: $B \notin (P)$.
✏️ Quy tắc vẽ hình biểu diễn
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hai đường thẳng song song giữ nguyên là song song; hai đường thẳng cắt nhau giữ nguyên là cắt nhau.
• Quan hệ "thuộc" giữa điểm và đường thẳng được giữ nguyên.
• Dùng nét liền cho đường nhìn thấy, nét đứt cho đường bị che khuất.
• Hai đường thẳng song song giữ nguyên là song song; hai đường thẳng cắt nhau giữ nguyên là cắt nhau.
• Quan hệ "thuộc" giữa điểm và đường thẳng được giữ nguyên.
• Dùng nét liền cho đường nhìn thấy, nét đứt cho đường bị che khuất.
2
Các tính chất thừa nhận
▼
Đây là $6$ tính chất cơ bản — nền tảng của hình học không gian:
Tính chất 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Mặt phẳng qua ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng được kí hiệu là $(ABC)$.
Mặt phẳng qua ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng được kí hiệu là $(ABC)$.
Hình minh hoạ: Mặt phẳng $(ABC)$ qua ba điểm không thẳng hàng
📍 Hệ quả
• Nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng → các điểm đó đồng phẳng.
• Không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm → các điểm đó không đồng phẳng.
• Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.
• Không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm → các điểm đó không đồng phẳng.
• Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.
⚡ Tính chất 3
Tồn tại bốn điểm không đồng phẳng — nghĩa là không gian thực sự có "chiều sâu", không phải mọi điểm đều cùng nằm trên một mặt phẳng.
💡 Ví dụ 1
Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho
Hình minh hoạ: $4$ điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng
Chọn $3$ điểm trong $4$ điểm $A, B, C, D$, ta có các bộ:
→ Bộ $(A, B, C)$ xác định mặt phẳng $(ABC)$
→ Bộ $(A, B, D)$ xác định mặt phẳng $(ABD)$
→ Bộ $(A, C, D)$ xác định mặt phẳng $(ACD)$
→ Bộ $(B, C, D)$ xác định mặt phẳng $(BCD)$
Vậy có $4$ mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho
⚡ Tính chất 4
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Kí hiệu: $d \subset (P)$ (đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$).
Kí hiệu: $d \subset (P)$ (đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$).
🎯 Mẹo quan trọng
Muốn chứng minh đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, ta chỉ cần chỉ ra $2$ điểm phân biệt của $d$ thuộc $(P)$.
💡 Ví dụ 2
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ thuộc đường thẳng $BC$. Đường thẳng $AM$ có nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ hay không
Hình minh hoạ: Tam giác $ABC$ và điểm $M$ trên cạnh $BC$
→ Đường thẳng $BC$ có hai điểm $B, C$ thuộc $(ABC)$ nên theo Tính chất $4$ ta có $BC \subset (ABC)$
→ Vì $M$ thuộc $BC$ nên $M \in (ABC)$
→ Đường thẳng $AM$ có hai điểm phân biệt $A, M$ cùng thuộc $(ABC)$
Theo Tính chất $4$, đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$
⚡ Tính chất 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Đường thẳng này gọi là giao tuyến, kí hiệu $d = (P) \cap (Q)$.
Đường thẳng này gọi là giao tuyến, kí hiệu $d = (P) \cap (Q)$.
🎯 Mẹo xác định giao tuyến
Tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng, nối lại được giao tuyến cần tìm.
💡 Ví dụ 3
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $S$ không thuộc $(ABC)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$
Hình minh hoạ: Tam giác $ABC$, điểm $S$, $M, N$ là trung điểm $AB, AC$ và $G$ là trọng tâm
Điểm chung thứ nhất: $S \in (SBN)$ và $S \in (SCM)$ nên $S$ là điểm chung
Điểm chung thứ hai: Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó $G$ thuộc trung tuyến $BN$ và trung tuyến $CM$
→ $G \in BN \subset (SBN)$ nên $G \in (SBN)$
→ $G \in CM \subset (SCM)$ nên $G \in (SCM)$
Vậy $S, G$ cùng thuộc cả $(SBN)$ và $(SCM)$
Giao tuyến cần tìm là đường thẳng $SG$ (đi qua đỉnh $S$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$)
⚡ Tính chất 6
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Nghĩa là khi làm việc trong một mặt phẳng cố định, ta có thể sử dụng mọi định lí, tính chất đã học ở hình học phẳng.
Nghĩa là khi làm việc trong một mặt phẳng cố định, ta có thể sử dụng mọi định lí, tính chất đã học ở hình học phẳng.
3
Cách xác định một mặt phẳng
▼
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định theo ba cách sau:
Cách 1
Mặt phẳng đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A, B, C$.
Kí hiệu: $(ABC)$
Cách 2
Mặt phẳng đi qua $1$ điểm $A$ và chứa đường thẳng $d$ không đi qua điểm đó ($A \notin d$).
Kí hiệu: $\text{mp}(A, d)$
Cách 3
Mặt phẳng chứa $2$ đường thẳng $a, b$ cắt nhau.
Kí hiệu: $\text{mp}(a, b)$
Hình minh hoạ: $3$ cách xác định một mặt phẳng
🎯 Mẹo nhớ
"$3$ điểm — $1$ điểm $1$ đường — $2$ đường cắt"
💡 Ví dụ 4
Cho hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và điểm $S$ không thuộc $\text{mp}(a,b)$. Xác định giao tuyến của $\text{mp}(S, a)$ và $\text{mp}(S, b)$
Điểm chung thứ nhất: $S$ thuộc cả $\text{mp}(S, a)$ và $\text{mp}(S, b)$
Điểm chung thứ hai: Gọi $M = a \cap b$
→ $M \in a \subset \text{mp}(S, a)$ nên $M \in \text{mp}(S, a)$
→ $M \in b \subset \text{mp}(S, b)$ nên $M \in \text{mp}(S, b)$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SM$
4
Hình chóp và hình tứ diện
▼
Hình chóp
Cho đa giác lồi $A_1A_2 \ldots A_n$ và điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh ta được $n$ tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3, \ldots, SA_nA_1$.
Hình gồm $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2 \ldots A_n$ được gọi là hình chóp, kí hiệu $S.A_1A_2 \ldots A_n$.
Hình gồm $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2 \ldots A_n$ được gọi là hình chóp, kí hiệu $S.A_1A_2 \ldots A_n$.
Hình minh hoạ: Hình chóp $S.ABCD$ — đỉnh $S$, đáy là tứ giác $ABCD$
📍 Các yếu tố của hình chóp $S.ABCD$
• Đỉnh: $S$
• Mặt đáy: đa giác $ABCD$
• Mặt bên: các tam giác chứa $S$ — $SAB, SBC, SCD, SDA$
• Cạnh bên: $SA, SB, SC, SD$ (các đoạn nối $S$ với đỉnh đáy)
• Cạnh đáy: $AB, BC, CD, DA$
• Mặt đáy: đa giác $ABCD$
• Mặt bên: các tam giác chứa $S$ — $SAB, SBC, SCD, SDA$
• Cạnh bên: $SA, SB, SC, SD$ (các đoạn nối $S$ với đỉnh đáy)
• Cạnh đáy: $AB, BC, CD, DA$
⚡ Công thức đếm nhanh (đáy $n$ cạnh)
• Số cạnh bên: $n$ • Số cạnh đáy: $n$ • Tổng số cạnh: $2n$
• Số mặt bên: $n$ • Mặt đáy: $1$ • Tổng số mặt: $n + 1$
• Số mặt bên: $n$ • Mặt đáy: $1$ • Tổng số mặt: $n + 1$
💡 Ví dụ 5
Hình chóp $S.ABCD$ có bao nhiêu cạnh
Đáy là tứ giác $ABCD$ (có $4$ cạnh) nên $n = 4$
→ Cạnh bên: $SA, SB, SC, SD$ — gồm $4$ cạnh
→ Cạnh đáy: $AB, BC, CD, DA$ — gồm $4$ cạnh
Tổng số cạnh của hình chóp $S.ABCD$ là $2n = 8$ cạnh
Hình tứ diện
Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ được gọi là hình tứ diện, kí hiệu $ABCD$.
Hình minh hoạ: Hình tứ diện $ABCD$
📍 Các yếu tố của hình tứ diện $ABCD$
• $4$ đỉnh: $A, B, C, D$
• $6$ cạnh: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$
• $4$ mặt: các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$
• $3$ cặp cạnh đối diện (không có đỉnh chung): $(AB, CD); (AC, BD); (AD, BC)$
• Đỉnh $D$ đối diện với mặt $(ABC)$
• $6$ cạnh: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$
• $4$ mặt: các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$
• $3$ cặp cạnh đối diện (không có đỉnh chung): $(AB, CD); (AC, BD); (AD, BC)$
• Đỉnh $D$ đối diện với mặt $(ABC)$
⚠️ Nhận xét
• Hình tứ diện là hình chóp tam giác — mặt nào cũng có thể coi là mặt đáy.
• Hình tứ diện đều: $4$ mặt đều là tam giác đều.
• Hình tứ diện đều: $4$ mặt đều là tam giác đều.
5
Phương pháp giải các dạng toán cơ bản
▼
Hai thao tác nền tảng dùng liên tục:
🔑 Hai thao tác cơ bản
• Chứng minh $M \in (P)$: chỉ ra $M$ nằm trên một đường thẳng đã biết thuộc $(P)$.
• Chứng minh $d \subset (P)$: chỉ ra $2$ điểm phân biệt của $d$ thuộc $(P)$ (Tính chất $4$).
• Chứng minh $d \subset (P)$: chỉ ra $2$ điểm phân biệt của $d$ thuộc $(P)$ (Tính chất $4$).
📐 Dạng 1 — Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất (thường có sẵn như đỉnh chung).
Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai — tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba và không song song; giao điểm là điểm chung thứ hai.
Bước 3: Nối hai điểm chung được giao tuyến.
Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai — tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba và không song song; giao điểm là điểm chung thứ hai.
Bước 3: Nối hai điểm chung được giao tuyến.
📐 Dạng 2 — Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$.
Bước 2: Tìm giao tuyến $a = (\alpha) \cap (\beta)$.
Bước 3: Giao điểm cần tìm là $d \cap a$.
Nguyên tắc cốt lõi: đưa bài toán "giao điểm đường thẳng với mặt phẳng" về "giao điểm hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng".
Bước 2: Tìm giao tuyến $a = (\alpha) \cap (\beta)$.
Bước 3: Giao điểm cần tìm là $d \cap a$.
Nguyên tắc cốt lõi: đưa bài toán "giao điểm đường thẳng với mặt phẳng" về "giao điểm hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng".
💡 Ví dụ 6 — Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm trong tam giác $BCD$, điểm $F$ nằm giữa $A$ và $E$. Tìm giao điểm của đường thẳng $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$
Hình minh hoạ: Tứ diện $ABCD$ với các điểm $E, F, K, G$
Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa $DF$. Vì $E$ nằm trong tam giác $BCD$ nên $DE$ cắt $BC$ tại điểm $K$
→ Các điểm $A, D, E, F, K$ cùng thuộc mặt phẳng $(ADK)$, chọn $(\beta) = (ADK)$ chứa $DF$
Bước 2: Tìm giao tuyến $(ADK) \cap (ABC)$
→ $A$ chung cho hai mặt phẳng; $K \in BC \subset (ABC)$ và $K \in (ADK)$
→ Giao tuyến là $AK$
Bước 3: Trong mặt phẳng $(ADK)$, đường $DF$ cắt $AK$ tại $G$
Vậy $G = DF \cap (ABC)$
📐 Dạng 3 — Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Thiết diện là đa giác kín — phần chung giữa mặt phẳng cắt và hình chóp. Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp.
Bước 1: Xác định điểm chung có sẵn giữa mặt phẳng cắt và hình chóp.
Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt chứa điểm chung.
Bước 3: Tìm đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh.
Bước 4: Tiếp tục đến khi được một đa giác kín.
Bước 1: Xác định điểm chung có sẵn giữa mặt phẳng cắt và hình chóp.
Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt chứa điểm chung.
Bước 3: Tìm đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh.
Bước 4: Tiếp tục đến khi được một đa giác kín.
📐 Dạng 4 — Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Chứng minh ba điểm là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Bước 1: Xác định hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$.
Bước 2: Chứng minh từng điểm thuộc cả $(P)$ và $(Q)$.
Bước 3: Kết luận các điểm cùng thuộc giao tuyến $(P) \cap (Q)$ → thẳng hàng.
Bước 1: Xác định hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$.
Bước 2: Chứng minh từng điểm thuộc cả $(P)$ và $(Q)$.
Bước 3: Kết luận các điểm cùng thuộc giao tuyến $(P) \cap (Q)$ → thẳng hàng.
🌍 Dạng 5 — Ứng dụng thực tế
• Vật $3$ chân vững (kiềng, máy ảnh): $3$ điểm không thẳng hàng xác định duy nhất $1$ mặt phẳng → luôn cùng nằm trên mặt đất.
• Xà ngang trên $2$ trụ: $2$ điểm xác định duy nhất $1$ đường thẳng.
• Vật $4$ chân có thể bập bênh: $4$ điểm có thể không đồng phẳng — khi mặt đất gồ ghề, $1$ chân có thể không chạm.
• Xà ngang trên $2$ trụ: $2$ điểm xác định duy nhất $1$ đường thẳng.
• Vật $4$ chân có thể bập bênh: $4$ điểm có thể không đồng phẳng — khi mặt đất gồ ghề, $1$ chân có thể không chạm.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp kiến thức trọng tâm
| Khái niệm | Nội dung cốt lõi |
|---|---|
| Mặt phẳng | Không có bề dày, không giới hạn; kí hiệu $(P), (Q), (\alpha)$ |
| $2$ điểm → đường thẳng | $2$ điểm phân biệt xác định duy nhất $1$ đường thẳng (TC $1$) |
| $3$ điểm → mặt phẳng | $3$ điểm không thẳng hàng xác định duy nhất $1$ mặt phẳng (TC $2$) |
| $4$ điểm | Tồn tại $4$ điểm không đồng phẳng (TC $3$) |
| $d \subset (P)$ | $d$ có $2$ điểm phân biệt thuộc $(P)$ (TC $4$) |
| Giao tuyến | $2$ mặt phẳng phân biệt có chung điểm thì có chung $1$ đường thẳng (TC $5$) |
| $3$ cách xác định mp | $(ABC)$; $\text{mp}(A, d)$; $\text{mp}(a, b)$ |
| Hình chóp đáy $n$ cạnh | $2n$ cạnh, $n + 1$ mặt |
| Hình tứ diện | $4$ đỉnh, $6$ cạnh, $4$ mặt tam giác, $3$ cặp cạnh đối |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Đường thẳng và mặt phẳng!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh