Lớp 11 · Toán
Bài 7
Cấp Số Nhân
Định nghĩa · Công bội · Số hạng tổng quát · Tổng $n$ số hạng đầu
1
Định nghĩa cấp số nhân
▼
Định nghĩa
Cấp số nhân (viết tắt: CSN) là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
$u_n = u_{n-1} \cdot q$ với $n \geq 2$
💡 Cách kiểm tra một dãy có là cấp số nhân
Với dãy số có các số hạng khác $0$, xét tỉ số $T = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$:
• Nếu $T$ là hằng số → dãy là cấp số nhân với công bội $q = T$.
• Nếu $T$ phụ thuộc $n$ → dãy không phải cấp số nhân.
Lưu ý: Khác với cấp số cộng (xét hiệu), cấp số nhân xét tỉ số.
• Nếu $T$ là hằng số → dãy là cấp số nhân với công bội $q = T$.
• Nếu $T$ phụ thuộc $n$ → dãy không phải cấp số nhân.
Lưu ý: Khác với cấp số cộng (xét hiệu), cấp số nhân xét tỉ số.
📝 Ví dụ 1
Cho cấp số nhân có $u_1 = 4$ và công bội $q = -3$. Viết năm số hạng đầu.
Áp dụng $u_n = u_{n-1} \cdot q$:
• $u_1 = 4$.
• $u_2 = 4 \cdot (-3) = -12$.
• $u_3 = -12 \cdot (-3) = 36$.
• $u_4 = 36 \cdot (-3) = -108$.
• $u_5 = -108 \cdot (-3) = 324$.
Kết luận: $4; -12; 36; -108; 324$.
Khi $q < 0$, các số hạng đổi dấu liên tục — dấu hiệu nhận biết CSN có công bội âm.
📝 Ví dụ 2
Chứng minh dãy $u_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}$ là cấp số nhân. Tìm $u_1$ và $q$.
Bước 1: Xét tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ với $n \geq 2$:
$\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{1/2^{n-1}}{1/2^{n-2}} = \dfrac{2^{n-2}}{2^{n-1}} = \dfrac{1}{2}$.
Bước 2: Tỉ số bằng $\dfrac{1}{2}$ — hằng số → dãy là cấp số nhân.
Bước 3: $u_1 = \dfrac{1}{2^0} = 1$; công bội $q = \dfrac{1}{2}$.
⚠ Lưu ý
• Dãy không đổi $a; a; a; \ldots$ (với $a \neq 0$) là cấp số nhân với công bội $q = 1$.
• Để $q$ xác định, ta luôn cần $u_1 \neq 0$.
• Để $q$ xác định, ta luôn cần $u_1 \neq 0$.
2
Số hạng tổng quát của cấp số nhân
▼
Công thức số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì:
$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ với $n \geq 2$
⚠ Lưu ý quan trọng
Số mũ là $(n - 1)$, KHÔNG phải $n$. Đây là chỗ rất dễ nhầm.
Giải thích: từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã nhân với $q$ tổng cộng $(n - 1)$ lần.
Giải thích: từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã nhân với $q$ tổng cộng $(n - 1)$ lần.
📝 Ví dụ 3
Tìm 5 số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của CSN: $6; -3; \ldots$
Bước 1: Xác định $u_1$ và $q$.
• $u_1 = 6$.
• $q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
Bước 2: 5 số hạng đầu: $6; -3; \dfrac{3}{2}; -\dfrac{3}{4}; \dfrac{3}{8}$.
Bước 3: $u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{99} = -\dfrac{6}{2^{99}} = -\dfrac{3}{2^{98}}$.
📝 Ví dụ 4 (Lập hệ phương trình)
CSN $(u_n)$ gồm các số hạng dương có $u_6 = 96$ và $u_8 = 384$. Tìm $u_{15}$.
Bước 1: Lập hệ theo $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:
$\left\{\begin{array}{l} u_1 \cdot q^5 = 96 \\ u_1 \cdot q^7 = 384 \end{array}\right.$
Bước 2: Chia PT(2) cho PT(1) để khử $u_1$:
$\dfrac{u_1 q^7}{u_1 q^5} = \dfrac{384}{96} \Leftrightarrow q^2 = 4 \Leftrightarrow q = 2$ hoặc $q = -2$.
Vì các số hạng đều dương nên $q > 0 \Rightarrow q = 2$.
Bước 3: Thay vào PT(1): $u_1 \cdot 2^5 = 96 \Rightarrow u_1 = 3$.
Bước 4: $u_{15} = 3 \cdot 2^{14} = 3 \cdot 16{\,}384 = 49{\,}152$.
🎯 Phương pháp lập hệ với cấp số nhân
Khi đề cho hai dữ kiện về các số hạng, ta lập hệ hai PT theo $u_1$ và $q$:
• Chia hai phương trình cho nhau để khử $u_1$, tìm được $q$ (qua phương trình theo luỹ thừa của $q$).
• Thay $q$ vào một phương trình để tìm $u_1$.
Cẩn thận: phương trình $q^k = a$ ($k$ chẵn) có thể có 2 nghiệm $q = \pm$ căn; cần đối chiếu điều kiện đề bài để chọn nghiệm phù hợp.
• Chia hai phương trình cho nhau để khử $u_1$, tìm được $q$ (qua phương trình theo luỹ thừa của $q$).
• Thay $q$ vào một phương trình để tìm $u_1$.
Cẩn thận: phương trình $q^k = a$ ($k$ chẵn) có thể có 2 nghiệm $q = \pm$ căn; cần đối chiếu điều kiện đề bài để chọn nghiệm phù hợp.
3
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân
▼
Công thức tổng $S_n$
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \neq 1$. Tổng $n$ số hạng đầu $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$ được tính bởi:
$S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ (với $q \neq 1$)
⚠ Trường hợp đặc biệt $q = 1$
Khi $q = 1$, dãy có dạng $u_1; u_1; u_1; \ldots$ (dãy không đổi), nên:
$S_n = n \cdot u_1$.
Không thể áp công thức $\dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ vì mẫu bằng $0$.
$S_n = n \cdot u_1$.
Không thể áp công thức $\dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ vì mẫu bằng $0$.
📝 Ví dụ 5
Một công ty trả lương năm đầu $240$ triệu, mỗi năm tăng $5\%$. Tổng lương sau $10$ năm?
Phân tích: Lương mỗi năm là CSN với $u_1 = 240$, $q = 1{,}05$, $n = 10$.
Áp dụng: $S_{10} = \dfrac{240 \cdot (1 - 1{,}05^{10})}{1 - 1{,}05}$.
Tính: $1{,}05^{10} \approx 1{,}6289$, do đó $S_{10} \approx \dfrac{240 \cdot (-0{,}6289)}{-0{,}05} \approx 3{\,}019$ (triệu).
Kết luận: Tổng lương sau $10$ năm khoảng $3{\,}019$ triệu đồng (~$3$ tỉ).
"Tăng $5\%$" nghĩa là số hạng mới bằng $1{,}05$ lần số hạng cũ → công bội $q = 1{,}05$ (KHÔNG phải $0{,}05$).
📝 Ví dụ 6 (Tìm $n$ khi biết $S_n$)
CSN $3; 6; 12; \ldots$ Tính tổng của bao nhiêu số hạng đầu để bằng $765$?
Bước 1: $u_1 = 3$, $q = \dfrac{6}{3} = 2$.
Bước 2: $S_n = \dfrac{3(1 - 2^n)}{1 - 2} = \dfrac{3(1 - 2^n)}{-1} = 3(2^n - 1)$.
Bước 3: Đặt $3(2^n - 1) = 765 \Leftrightarrow 2^n - 1 = 255 \Leftrightarrow 2^n = 256 = 2^8 \Rightarrow n = 8$.
Kết luận: Lấy tổng của $8$ số hạng đầu. Kiểm tra: $S_8 = 3 \cdot 255 = 765$ ✓.
4
Bài toán thực tế
▼
🎯 Cách nhận biết bài toán dùng CSN
Bài toán có dạng cấp số nhân khi xuất hiện:
• "Tăng/giảm $x\%$ mỗi kì" (mỗi năm, mỗi tháng) so với kì liền trước.
• "Gấp $k$ lần" mỗi đơn vị thời gian, hoặc "giảm còn $\dfrac{1}{k}$" mỗi kì.
• Tốc độ tăng trưởng dân số, lãi kép, khấu hao tỉ lệ, phân rã chất phóng xạ...
• "Tăng/giảm $x\%$ mỗi kì" (mỗi năm, mỗi tháng) so với kì liền trước.
• "Gấp $k$ lần" mỗi đơn vị thời gian, hoặc "giảm còn $\dfrac{1}{k}$" mỗi kì.
• Tốc độ tăng trưởng dân số, lãi kép, khấu hao tỉ lệ, phân rã chất phóng xạ...
🔧 Quy đổi $\%$ sang công bội
• Tăng $x\%$ mỗi kì → $q = 1 + \dfrac{x}{100}$. Ví dụ: tăng $5\%$ → $q = 1{,}05$.
• Giảm $x\%$ mỗi kì → $q = 1 - \dfrac{x}{100}$. Ví dụ: giảm $20\%$ → $q = 0{,}8$.
• Giảm $x\%$ mỗi kì → $q = 1 - \dfrac{x}{100}$. Ví dụ: giảm $20\%$ → $q = 0{,}8$.
📝 Ví dụ 7 (Khấu hao tỉ lệ)
Máy ủi có giá $3$ tỉ đồng. Sau mỗi năm sử dụng, giá trị giảm $20\%$ so với năm liền trước. Giá trị sau $5$ năm?
Phân tích: Giá trị mỗi năm là CSN với $u_1 = 3$ (giá ban đầu), $q = 0{,}8$.
Tính giá sau $5$ năm: giá trị giảm $5$ lần liên tiếp:
Giá còn lại $= 3 \cdot (0{,}8)^5 = 3 \cdot 0{,}32768 \approx 0{,}983$ tỉ đồng $\approx 983$ triệu.
Lưu ý: "giảm $20\%$" có $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$, KHÔNG phải $q = -0{,}2$.
📝 Ví dụ 8 (Tăng trưởng dân số)
Năm $2020$, dân số là $97$ triệu, tốc độ tăng $0{,}91\%$/năm. Ước tính dân số năm $2030$.
Phân tích: $u_1 = 97$ (năm $2020$), $q = 1 + 0{,}0091 = 1{,}0091$.
Năm $2030$: sau $10$ năm tăng → dân số $= 97 \cdot (1{,}0091)^{10}$.
Tính: $(1{,}0091)^{10} \approx 1{,}0948 \Rightarrow$ dân số $\approx 106{,}2$ triệu người.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Tên | Công thức |
|---|---|
| Hệ thức truy hồi | $u_n = u_{n-1} \cdot q$ với $n \geq 2$ |
| Số hạng tổng quát | $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Công bội | $q = \dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ (với $u_{n-1} \neq 0$) |
| Tổng $S_n$ ($q \neq 1$) | $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ |
| Tổng $S_n$ ($q = 1$) | $S_n = n \cdot u_1$ |
💡 So sánh CSC và CSN
• Cấp số cộng: xét hiệu $u_{n+1} - u_n = d$; $u_n = u_1 + (n-1)d$.
• Cấp số nhân: xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$; $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
• Trong thực tế: tăng/giảm cùng một lượng → CSC; tăng/giảm cùng một $\%$ → CSN.
• Cấp số nhân: xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$; $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
• Trong thực tế: tăng/giảm cùng một lượng → CSC; tăng/giảm cùng một $\%$ → CSN.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Cấp số nhân!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh