Lớp 11 · Toán
Bài 12
Đường Thẳng và Mặt Phẳng Song Song
Vị trí tương đối · Điều kiện · Tính chất · Thiết diện
1
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
▼
Ba vị trí tương đối
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ trong không gian. Có $3$ vị trí tương đối giữa chúng tuỳ theo số điểm chung.
Hình minh hoạ: $3$ vị trí tương đối của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$
| Vị trí | Số điểm chung | Kí hiệu |
|---|---|---|
| Song song | Không có điểm chung | $d \parallel (\alpha)$ |
| Cắt nhau | Đúng $1$ điểm chung $M$ | $d \cap (\alpha) = \{M\}$ |
| Nằm trong | Nhiều hơn $1$ điểm chung | $d \subset (\alpha)$ |
Định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng
Đường thẳng $d$ được gọi là song song với mặt phẳng $(\alpha)$ nếu $d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung nào.
Kí hiệu: $d \parallel (\alpha)$ hoặc $(\alpha) \parallel d$.
Kí hiệu: $d \parallel (\alpha)$ hoặc $(\alpha) \parallel d$.
Hình minh hoạ: Xà ngang khung thành bóng đá song song với mặt sân
📍 Nhận xét quan trọng
• Đường thẳng và mặt phẳng chỉ có $3$ vị trí tương đối (khác với hai đường thẳng trong không gian có $4$ vị trí).
• $d \parallel (\alpha)$ thì $d$ không cắt $(\alpha)$ và không nằm trong $(\alpha)$.
• Nếu $d$ và $(\alpha)$ có điểm chung thì hoặc $d$ cắt $(\alpha)$ ($1$ điểm chung), hoặc $d \subset (\alpha)$ (vô số điểm chung).
• $d \parallel (\alpha)$ thì $d$ không cắt $(\alpha)$ và không nằm trong $(\alpha)$.
• Nếu $d$ và $(\alpha)$ có điểm chung thì hoặc $d$ cắt $(\alpha)$ ($1$ điểm chung), hoặc $d \subset (\alpha)$ (vô số điểm chung).
💡 Ví dụ 1
Cho hình tứ diện $ABCD$. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện, đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào và nằm trong các mặt phẳng nào
Hình minh hoạ: Tứ diện $ABCD$ với $4$ mặt $(ABC), (ABD), (ACD), (BCD)$
→ $4$ mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện: $(ABC), (ABD), (ACD), (BCD)$
→ $(ABC)$ và $(ABD)$ đều chứa cả $A$ và $B$ nên $AB \subset (ABC)$ và $AB \subset (ABD)$
→ $(ACD)$ chứa $A$ nhưng không chứa $B$ nên $AB$ cắt $(ACD)$ tại $A$
→ $(BCD)$ chứa $B$ nhưng không chứa $A$ nên $AB$ cắt $(BCD)$ tại $B$
Vậy $AB$ nằm trong $(ABC), (ABD)$ và cắt $(ACD), (BCD)$
2
Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng
▼
Định lí điều kiện song song
Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
$\begin{cases} a \not\subset (P) \\ a \parallel b \\ b \subset (P) \end{cases} \Rightarrow a \parallel (P)$
Hình minh hoạ: Điều kiện $a \parallel (P)$ thông qua $b \subset (P)$ và $a \parallel b$
⚠️ Lưu ý cực kì quan trọng
Điều kiện "$a$ không nằm trong $(P)$" là bắt buộc! Nếu thiếu điều kiện này, khi $a \subset (P)$ và $a \parallel b$ với $b \subset (P)$, ta chỉ có thể kết luận $a \subset (P)$, KHÔNG phải $a \parallel (P)$.
🔧 Phương pháp chứng minh $d \parallel (P)$
Bước 1: Chỉ ra $d$ không nằm trong $(P)$ — thường chỉ rõ $d$ có một điểm không thuộc $(P)$.
Bước 2: Tìm một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ sao cho $d \parallel b$.
Bước 3: Áp dụng định lí để kết luận $d \parallel (P)$.
Bước 2: Tìm một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ sao cho $d \parallel b$.
Bước 3: Áp dụng định lí để kết luận $d \parallel (P)$.
📍 Các cách tìm đường thẳng $b$ song song với $d$
• Dùng đường trung bình của tam giác (cách hay dùng nhất).
• Dùng cạnh đối của hình bình hành.
• Dùng tính bắc cầu: $d \parallel d'$ và $d' \parallel b$ → $d \parallel b$.
• Dùng cạnh đối của hình bình hành.
• Dùng tính bắc cầu: $d \parallel d'$ và $d' \parallel b$ → $d \parallel b$.
💡 Ví dụ 2
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, AC$. Chứng minh rằng $MN \parallel (BCD)$
Hình minh hoạ: $MN$ là đường trung bình tam giác $ABC$, song song với $(BCD)$
→ Bước 1: $M, N$ thuộc các cạnh $AB, AC$ mà không thuộc mặt phẳng $(BCD)$, nên $MN \not\subset (BCD)$
→ Bước 2: Trong tam giác $ABC$, $M, N$ là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN \parallel BC$
→ Bước 3: $BC \subset (BCD)$ và $MN \parallel BC$, áp dụng định lí điều kiện song song
Vậy $MN \parallel (BCD)$ (đpcm)
3
Tính chất giao tuyến của đường thẳng song song với mặt phẳng
▼
Định lí tính chất
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$.
$\begin{cases} a \parallel (P) \\ a \subset (Q) \\ (Q) \cap (P) = b \end{cases} \Rightarrow b \parallel a$
Hình minh hoạ: $a \parallel (P)$, $(Q) \supset a$, $(Q) \cap (P) = b \Rightarrow b \parallel a$
🎯 Ý nghĩa và ứng dụng
Khi biết $a \parallel (P)$, nếu dựng được một mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ thì giao tuyến thu được sẽ song song với $a$.
Ứng dụng: rất hữu ích khi xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp, hình lăng trụ, hoặc khi tìm thiết diện.
Ứng dụng: rất hữu ích khi xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp, hình lăng trụ, hoặc khi tìm thiết diện.
💡 Ví dụ 3 — Tìm giao tuyến nhờ song song
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
Hình minh hoạ: Giao tuyến $d$ qua $S$, song song với $AB$ và $CD$
→ Điểm chung: $S \in (SAB) \cap (SCD)$
→ $AB \subset (SAB)$, $CD \subset (SCD)$, và $AB \parallel CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
→ Áp dụng định lí giao tuyến: giao tuyến đi qua $S$ và song song với $AB, CD$
Vậy giao tuyến $(SAB) \cap (SCD)$ là đường thẳng $d$ qua $S$ và $d \parallel AB \parallel CD$
4
Phương pháp giải các dạng toán
▼
📐 Dạng 1 — Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Bước 1: Chỉ ra $d \not\subset (P)$ (chỉ rõ một điểm của $d$ không thuộc $(P)$).
Bước 2: Tìm $b \subset (P)$ sao cho $d \parallel b$ (thường dùng đường trung bình, cạnh hình bình hành).
Bước 3: Kết luận $d \parallel (P)$.
Bước 2: Tìm $b \subset (P)$ sao cho $d \parallel b$ (thường dùng đường trung bình, cạnh hình bình hành).
Bước 3: Kết luận $d \parallel (P)$.
📐 Dạng 2 — Tìm giao tuyến (có yếu tố song song)
Trường hợp $1$: Hai mặt phẳng chứa $2$ đường thẳng song song.
$a \subset (\alpha), b \subset (\beta), a \parallel b$ và có điểm chung $M$ → giao tuyến qua $M$, song song với $a, b$.
Trường hợp $2$: Một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia.
$d \parallel (P), d \subset (Q), (P) \cap (Q) = \Delta$ → $\Delta \parallel d$.
$a \subset (\alpha), b \subset (\beta), a \parallel b$ và có điểm chung $M$ → giao tuyến qua $M$, song song với $a, b$.
Trường hợp $2$: Một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia.
$d \parallel (P), d \subset (Q), (P) \cap (Q) = \Delta$ → $\Delta \parallel d$.
📐 Dạng 3 — Thiết diện qua điểm và song song với đường thẳng
Kỹ thuật then chốt: Nếu $(P)$ đi qua điểm $M$ và song song với đường thẳng $\ell$, thì giao tuyến của $(P)$ với mỗi mặt chứa $\ell$ là đường thẳng song song với $\ell$.
Bước 1: Tìm giao tuyến đầu tiên từ điểm $M$ — áp dụng định lí giao tuyến.
Bước 2: Mở rộng đến các mặt khác cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín thành đa giác.
Bước 3: Đa giác khép kín đó là thiết diện.
Bước 1: Tìm giao tuyến đầu tiên từ điểm $M$ — áp dụng định lí giao tuyến.
Bước 2: Mở rộng đến các mặt khác cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín thành đa giác.
Bước 3: Đa giác khép kín đó là thiết diện.
💡 Ví dụ 4 — Thiết diện qua điểm song song với hai đường thẳng
Cho tứ diện $ABCD$, $M$ thuộc cạnh $AC$. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ song song với $AB$ và $CD$
Hình minh hoạ: Thiết diện hình bình hành $EFGH$ ($E \equiv M$)
→ $(\alpha) \cap (ABC)$: qua $M$, song song với $AB$ (vì $(\alpha) \parallel AB$, $AB \subset (ABC)$), cắt $BC$ tại $F$ → $MF \parallel AB$
→ $(\alpha) \cap (ACD)$: qua $M$, song song với $CD$, cắt $AD$ tại $H$ → $MH \parallel CD$
→ $(\alpha) \cap (BCD)$: qua $F \in BC$, song song với $CD$, cắt $BD$ tại $G$ → $FG \parallel CD$
→ $(\alpha) \cap (ABD)$: qua $H \in AD$, song song với $AB$, cắt $BD$ tại $G$ → $HG \parallel AB$
→ Tứ giác $MFGH$ có $MF \parallel HG$ (cùng $\parallel AB$) và $MH \parallel FG$ (cùng $\parallel CD$)
Vậy thiết diện $MFGH$ là hình bình hành
5
Bài toán điển hình về chứng minh song song
▼
📐 Mẫu bài tập chuẩn
Đề bài thường yêu cầu chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng (chứa nhiều đỉnh). Cách làm chuẩn: tìm trong mặt phẳng đó một đường thẳng song song với đường cần chứng minh — và đường này thường là cạnh đáy hoặc đường trung bình.
💡 Ví dụ 5
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SA$. Chứng minh rằng $OM \parallel (SBC)$
Hình minh hoạ: $OM$ là đường trung bình tam giác $SAC$
→ Bước 1: $O$ là tâm hình bình hành nên không thuộc $(SBC)$, do đó $OM \not\subset (SBC)$
→ Bước 2: Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (vì $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ → $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM \parallel SC$
→ Bước 3: $SC \subset (SBC)$ và $OM \parallel SC$, áp dụng định lí điều kiện song song
Vậy $OM \parallel (SBC)$ (đpcm)
💡 Ví dụ 6 — Mặt phẳng chứa đường này, song song với đường kia
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB \parallel CD$). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $(SCD)$
Hình minh hoạ: $AB \parallel (SCD)$ vì $AB \parallel CD \subset (SCD)$
→ $AB \not\subset (SCD)$ vì $A, B \notin (SCD)$ (mặt $(SCD)$ chỉ chứa $S, C, D$)
→ $AB \parallel CD$ (giả thiết hình thang) và $CD \subset (SCD)$
→ Áp dụng định lí điều kiện song song
Vậy $AB \parallel (SCD)$ (đpcm)
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp kiến thức trọng tâm
| Nội dung | Tóm tắt |
|---|---|
| $3$ vị trí tương đối | Song song ($0$ điểm chung) · Cắt nhau ($1$ điểm) · Nằm trong (vô số điểm) |
| Định nghĩa $d \parallel (P)$ | $d$ và $(P)$ không có điểm chung nào |
| Điều kiện $d \parallel (P)$ | $d \not\subset (P), d \parallel b, b \subset (P) \Rightarrow d \parallel (P)$ |
| Tính chất giao tuyến | $d \parallel (P), d \subset (Q), (Q) \cap (P) = b \Rightarrow b \parallel d$ |
| Cách CMR $d \parallel (P)$ | Đường trung bình · Cạnh hình bình hành · Bắc cầu |
| Cách tìm giao tuyến | $2$ điểm chung · Giao tuyến song song (qua điểm chung, // đường thẳng song song trong $2$ mp) |
| Thiết diện qua điểm $M$ và $\parallel \ell$ | Giao tuyến với mỗi mặt chứa $\ell$ là đường $\parallel \ell$ |
| Lưu ý cạm bẫy | $d \parallel b, b \subset (P)$ chưa đủ kết luận $d \parallel (P)$ — cần thêm $d \not\subset (P)$ |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Đường thẳng và mặt phẳng song song!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh