Lớp 11 · Toán
Bài 19
Lôgarit
Định nghĩa · Quy tắc tính · Đổi cơ số · Lôgarit thập phân & tự nhiên
1
Khái niệm lôgarit
▼
Định nghĩa
Cho $a$ là một số thực dương khác $1$ và $M$ là một số thực dương. Số thực $\alpha$ sao cho $a^\alpha = M$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $M$, ký hiệu $\log_a M$.
$\alpha = \log_a M \;\Leftrightarrow\; a^\alpha = M$
⚠️ Điều kiện bắt buộc
• Không có lôgarit của số âm và số $0$.
• Cơ số phải dương và khác $1$.
• Điều kiện: $0 < a \neq 1$ và $M > 0$.
• Cơ số phải dương và khác $1$.
• Điều kiện: $0 < a \neq 1$ và $M > 0$.
Các tính chất cơ bản
| Tính chất | Công thức | Giải thích |
|---|---|---|
| Lôgarit của $1$ | $\log_a 1 = 0$ | Vì $a^0 = 1$ |
| Lôgarit của cơ số | $\log_a a = 1$ | Vì $a^1 = a$ |
| Đẳng thức 1 | $a^{\log_a M} = M$ | Theo định nghĩa |
| Đẳng thức 2 | $\log_a a^\alpha = \alpha$ | Theo định nghĩa |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 1 — Đưa số về lũy thừa cơ số
Tính $\log_2 \dfrac{1}{8}$
B1.Đưa $\dfrac{1}{8}$ về dạng lũy thừa cơ số $2$: $\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$
B2.Áp dụng $\log_a a^\alpha = \alpha$: $\log_2 \dfrac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$
💡 Ví dụ 2 — Cơ số chứa căn
Tính $\log_{\sqrt{3}} 9$
B1.Đưa $9$ về dạng lũy thừa cơ số $\sqrt{3}$: $9 = 3^2 = (\sqrt{3})^4$
B2.$\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 = 4$
2
Quy tắc tính lôgarit
▼
Quy tắc tính
Cho $0 < a \neq 1$, $M, N$ là các số thực dương và $\alpha$ là số thực tuỳ ý:
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Lôgarit của tích | $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ |
| Lôgarit của thương | $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ |
| Lôgarit của lũy thừa | $\log_a M^\alpha = \alpha \cdot \log_a M$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Mẹo ghi nhớ
• Nhân trong → Cộng ngoài: $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$.
• Chia trong → Trừ ngoài: $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$.
• Số mũ trong → Nhân ra ngoài: $\log_a M^\alpha = \alpha \log_a M$.
• Chia trong → Trừ ngoài: $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$.
• Số mũ trong → Nhân ra ngoài: $\log_a M^\alpha = \alpha \log_a M$.
Hệ quả thường dùng
• $\log_a \dfrac{1}{M} = -\log_a M$
• $\log_a \sqrt[n]{M} = \log_a M^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{n} \log_a M$
• $\log_a (M \cdot N \cdot P) = \log_a M + \log_a N + \log_a P$
• $\log_a \sqrt[n]{M} = \log_a M^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{n} \log_a M$
• $\log_a (M \cdot N \cdot P) = \log_a M + \log_a N + \log_a P$
💡 Ví dụ 3 — Lôgarit của tích
Tính $\log_4 2 + \log_4 32$
B1.Áp dụng $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$: $\log_4 2 + \log_4 32 = \log_4(2 \cdot 32) = \log_4 64$
B2.Đưa về lũy thừa cơ số $4$: $64 = 4^3$
B3.$\log_4 4^3 = 3$
💡 Ví dụ 4 — Lôgarit của thương
Tính $\log_2 80 - \log_2 5$
B1.Áp dụng $\log_a M - \log_a N = \log_a \dfrac{M}{N}$: $\log_2 80 - \log_2 5 = \log_2 \dfrac{80}{5} = \log_2 16$
B2.$16 = 2^4$ nên $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$
3
Công thức đổi cơ số
▼
Công thức tổng quát
Với $0 < a, b \neq 1$ và $M > 0$:
$\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}$
Các hệ quả quan trọng
| Hệ quả | Công thức |
|---|---|
| Đảo cơ số & số | $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ |
| Cơ số lũy thừa | $\log_{a^\alpha} M = \dfrac{1}{\alpha} \log_a M$ ($\alpha \neq 0$) |
| Cơ số $\dfrac{1}{a}$ | $\log_{\frac{1}{a}} M = -\log_a M$ |
| Cơ số $\sqrt{a}$ | $\log_{\sqrt{a}} M = 2 \log_a M$ |
| Lũy thừa cả hai | $\log_{a^m} M^n = \dfrac{n}{m} \log_a M$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 5 — Đổi về cơ số quen thuộc
Tính $\log_4 8$
B1.Áp dụng công thức đổi về cơ số $2$: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$
B2.$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$ và $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$
B3.$\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$
💡 Ví dụ 6 — Dùng hệ quả nhanh
Tính $\log_9 \dfrac{1}{27}$
B1.Nhận xét: $9 = 3^2$ và $\dfrac{1}{27} = 3^{-3}$
B2.Áp dụng $\log_{a^m} M^n = \dfrac{n}{m} \log_a M$: $\log_{3^2} 3^{-3} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}$
4
Lôgarit thập phân & Lôgarit tự nhiên
▼
Lôgarit thập phân
Lôgarit cơ số $10$ của một số dương $M$ gọi là lôgarit thập phân của $M$.
$\log M = \lg M = \log_{10} M$
Số $e$ & Lôgarit tự nhiên
Số $e$ là số vô tỉ định nghĩa bởi giới hạn:
$e = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \approx 2{,}7183$
Lôgarit cơ số $e$ của một số dương $M$ gọi là lôgarit tự nhiên (lôgarit Nêpe) của $M$, ký hiệu $\ln M$.
$\ln M = \log_e M$
Các tính chất đặc biệt
• $\log 10^k = k$ (với mọi $k \in \mathbb{R}$).
• $\ln e^k = k$ (với mọi $k \in \mathbb{R}$).
• $\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, ...
• $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$.
• Tất cả các quy tắc tính lôgarit ở phần trên đều áp dụng cho $\log$ và $\ln$.
• $\ln e^k = k$ (với mọi $k \in \mathbb{R}$).
• $\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, ...
• $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$.
• Tất cả các quy tắc tính lôgarit ở phần trên đều áp dụng cho $\log$ và $\ln$.
💡 Ví dụ 7 — Tính lôgarit thập phân
Tính $\log 1000 - \log \sqrt{10}$
B1.$\log 1000 = \log 10^3 = 3$
B2.$\log \sqrt{10} = \log 10^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}$
B3.$\log 1000 - \log \sqrt{10} = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$
💡 Ví dụ 8 — Tính lôgarit tự nhiên
Tính $\ln e^{\sqrt{2}}$
B1.Áp dụng $\log_a a^\alpha = \alpha$ với $a = e$
B2.$\ln e^{\sqrt{2}} = \log_e e^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
5
Tích dây chuyền & ứng dụng thực tế
▼
Tích dây chuyền
Với các số dương khác $1$:
$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$
Mẹo: trong tích, số ở "trong" của lôgarit trước trùng với "cơ số" của lôgarit sau thì triệt tiêu được. Áp dụng tổng quát:
$\log_{a_1} a_2 \cdot \log_{a_2} a_3 \cdots \log_{a_{n-1}} a_n = \log_{a_1} a_n$
💡 Ví dụ 9 — Tích dây chuyền
Tính $\log_2 6 \cdot \log_6 8$
B1.Số $6$ ở "trong" của $\log_2 6$ trùng với "cơ số" của $\log_6 8$ → triệt tiêu
B2.$\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$
📌 Một số ứng dụng thực tế của lôgarit
• Độ pH: $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ (đo độ acid/base).
• Mức cường độ âm: $L = 10 \log \dfrac{I}{I_0}$ (đơn vị dB; $I_0 = 10^{-12}$ W/m²).
• Lãi kép: $A = P(1 + r)^n$ → tìm $n$ bằng cách lấy lôgarit.
• Lãi kép liên tục: $A = P \cdot e^{rt}$.
• Mức cường độ âm: $L = 10 \log \dfrac{I}{I_0}$ (đơn vị dB; $I_0 = 10^{-12}$ W/m²).
• Lãi kép: $A = P(1 + r)^n$ → tìm $n$ bằng cách lấy lôgarit.
• Lãi kép liên tục: $A = P \cdot e^{rt}$.
💡 Ví dụ 10 — Tính độ pH
Tính độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydro $[\text{H}^+] = 0{,}01$ mol/lít
B1.Biến đổi: $[\text{H}^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$
B2.Áp dụng công thức: $\text{pH} = -\log[\text{H}^+] = -\log 10^{-2}$
B3.$= -(-2) = 2$. Dung dịch có tính acid (vì pH $< 7$)
6
Tổng kết công thức
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức lôgarit
| Tên | Công thức |
|---|---|
| Định nghĩa | $\log_a M = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = M$ |
| Lôgarit của $1$ và cơ số | $\log_a 1 = 0$; $\log_a a = 1$ |
| Đẳng thức cơ bản | $a^{\log_a M} = M$; $\log_a a^\alpha = \alpha$ |
| Tích / Thương | $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ |
| Lũy thừa | $\log_a M^\alpha = \alpha \log_a M$ |
| Đổi cơ số | $\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}$ |
| Đảo cơ số | $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ |
| Lũy thừa ở cơ số | $\log_{a^m} M^n = \dfrac{n}{m} \log_a M$ |
| Tích dây chuyền | $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ |
| Ký hiệu đặc biệt | $\log M = \log_{10} M$; $\ln M = \log_e M$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về lôgarit — định nghĩa, tính chất và công thức đổi cơ số trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/27
🎯
Luyện tập Lôgarit!
27 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/27
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh