Lớp 11 · Toán
Bài 16
Giới Hạn Của Hàm Số
Tại một điểm · Một phía · Tại vô cực · Giới hạn vô cực
1
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
▼
Định nghĩa
Giả sử $(a; b)$ là một khoảng chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$ (có thể trừ điểm $x_0$).
Ta nói $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy số $(x_n)$ thoả mãn $x_n \in (a; b)$, $x_n \neq x_0$ và $x_n \to x_0$, ta đều có $f(x_n) \to L$.
Ta nói $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy số $(x_n)$ thoả mãn $x_n \in (a; b)$, $x_n \neq x_0$ và $x_n \to x_0$, ta đều có $f(x_n) \to L$.
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad$ hoặc $\quad f(x) \to L$ khi $x \to x_0$
Các giới hạn cơ bản
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} c = c$ (với $c$ là hằng số).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n$ (với $n$ là số tự nhiên).
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n$ (với $n$ là số tự nhiên).
Quy tắc tính giới hạn
Nếu $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ thì:
| Phép toán | Công thức |
|---|---|
| Tổng | $\lim [f(x) + g(x)] = L + M$ |
| Hiệu | $\lim [f(x) - g(x)] = L - M$ |
| Tích | $\lim [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$ |
| Thương | $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (nếu $M \neq 0$) |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Quy tắc căn bậc hai
Nếu $f(x) \geq 0$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$
💡 Ví dụ 1 — Áp dụng quy tắc
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 5)$
B1.Áp dụng quy tắc tổng, hiệu và các giới hạn cơ bản $\displaystyle\lim x^n = x_0^n$
$\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 5) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 5$
$= 12 - 8 + 5 = 9$
💡 Ví dụ 2 — Thương các đa thức
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$
B1.Tử số: $\displaystyle\lim (x^2 + 1) = 3^2 + 1 = 10$
B2.Mẫu số: $\displaystyle\lim (x - 1) = 3 - 1 = 2 \neq 0$
B3.Áp dụng quy tắc thương: $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2+1}{x-1} = \dfrac{10}{2} = 5$
2
Khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ — Phân tích nhân tử & Nhân liên hợp
▼
Nhận dạng & phương pháp
Khi tính $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ mà cả tử và mẫu đều có giới hạn bằng $0$, ta gặp dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Không áp dụng được quy tắc thương trực tiếp.
🔧 Phương pháp 1 — Phân tích nhân tử
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để xuất hiện thừa số chung $(x - x_0)$.
Bước 2: Rút gọn thừa số $(x - x_0)$ (vì $x \neq x_0$).
Bước 3: Thay $x = x_0$ vào biểu thức còn lại để tính giới hạn.
Bước 2: Rút gọn thừa số $(x - x_0)$ (vì $x \neq x_0$).
Bước 3: Thay $x = x_0$ vào biểu thức còn lại để tính giới hạn.
💡 Ví dụ 3 — Phân tích nhân tử
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
B1.Kiểm tra: khi $x \to 2$, tử $\to 4 - 4 = 0$, mẫu $\to 0$ → dạng $\dfrac{0}{0}$
B2.Phân tích: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ (với $x \neq 2$)
B3.Thay $x = 2$: $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 2 + 2 = 4$
🔧 Phương pháp 2 — Nhân liên hợp (khi có căn thức)
Bước 1: Xác định lượng liên hợp: $\sqrt{A} - B \leftrightarrow \sqrt{A} + B$.
Bước 2: Nhân và chia biểu thức cho lượng liên hợp.
Bước 3: Tử số trở thành $A - B^2$ — rút gọn rồi tính giới hạn.
Bước 2: Nhân và chia biểu thức cho lượng liên hợp.
Bước 3: Tử số trở thành $A - B^2$ — rút gọn rồi tính giới hạn.
Công thức nhân liên hợp
$\sqrt{A} - B = \dfrac{(\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B)}{\sqrt{A} + B} = \dfrac{A - B^2}{\sqrt{A} + B}$
💡 Ví dụ 4 — Nhân liên hợp
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
B1.Khi $x \to 0$: tử $\to \sqrt{9} - 3 = 0$, mẫu $\to 0$ → dạng $\dfrac{0}{0}$
B2.Nhân tử và mẫu với liên hợp $\sqrt{x+9} + 3$:
$\dfrac{\sqrt{x+9} - 3}{x} = \dfrac{(x+9) - 9}{x(\sqrt{x+9} + 3)} = \dfrac{x}{x(\sqrt{x+9} + 3)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+9} + 3}$
B3.Thay $x = 0$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+9} - 3}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{9} + 3} = \dfrac{1}{6}$
3
Giới hạn một phía của hàm số
▼
Định nghĩa
• Giới hạn bên phải: với dãy $(x_n)$ thoả $x_0 < x_n < b$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$. Kí hiệu $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$.
• Giới hạn bên trái: với dãy $(x_n)$ thoả $a < x_n < x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$. Kí hiệu $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$.
• Giới hạn bên trái: với dãy $(x_n)$ thoả $a < x_n < x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$. Kí hiệu $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$.
Điều kiện tồn tại giới hạn
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L \;\Leftrightarrow\; \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$
💡 Mẹo xử lý $|x - a|$
• Khi $x > a$: $|x - a| = x - a$.
• Khi $x < a$: $|x - a| = -(x - a) = a - x$.
• Khi tính giới hạn bên phải/trái có $|x - a|$, ta tách trường hợp theo dấu của $x - a$.
• Khi $x < a$: $|x - a| = -(x - a) = a - x$.
• Khi tính giới hạn bên phải/trái có $|x - a|$, ta tách trường hợp theo dấu của $x - a$.
💡 Ví dụ 5 — Hàm cho bởi hai công thức
Cho $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ x + 1 & \text{nếu } x \geq 1 \end{cases}$. Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$
B1.Khi $x \to 1^-$ thì $x < 1$, dùng công thức $f(x) = x^2$:
$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$
B2.Khi $x \to 1^+$ thì $x \geq 1$, dùng công thức $f(x) = x + 1$:
$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$
📌Vì $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \neq 2 = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ nên $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại
💡 Ví dụ 6 — Có giá trị tuyệt đối
Cho $g(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{|x - 2|}$. Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x)$
B1.Phân tích tử: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
B2.Giới hạn phải ($x \to 2^+$, tức $x > 2$ nên $|x-2| = x-2$):
$g(x) = \dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x - 3 \to 2 - 3 = -1$
B3.Giới hạn trái ($x \to 2^-$, tức $x < 2$ nên $|x-2| = -(x-2) = 2-x$):
$g(x) = \dfrac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)} = -(x - 3) = 3 - x \to 3 - 2 = 1$
📌$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x) = -1$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x) = 1$
4
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
▼
Định nghĩa
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$: với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n \to +\infty$, ta có $f(x_n) \to L$.
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$: với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n \to -\infty$, ta có $f(x_n) \to L$.
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$: với mọi dãy $(x_n)$ mà $x_n \to -\infty$, ta có $f(x_n) \to L$.
Các giới hạn cơ bản tại vô cực
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} c = c$ ($c$ là hằng số).
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^k} = 0$ với $k$ là số nguyên dương.
• Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, căn vẫn áp dụng được.
• $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^k} = 0$ với $k$ là số nguyên dương.
• Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, căn vẫn áp dụng được.
⚠️ Lưu ý quan trọng với căn thức
$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$
Khi đưa $x$ ra ngoài căn: nếu $x \to +\infty$ thì $\sqrt{x^2 + \ldots} = x\sqrt{1 + \ldots}$; nếu $x \to -\infty$ thì $\sqrt{x^2 + \ldots} = -x\sqrt{1 + \ldots}$.
Khi đưa $x$ ra ngoài căn: nếu $x \to +\infty$ thì $\sqrt{x^2 + \ldots} = x\sqrt{1 + \ldots}$; nếu $x \to -\infty$ thì $\sqrt{x^2 + \ldots} = -x\sqrt{1 + \ldots}$.
💡 Ví dụ 7 — Phân thức tại vô cực
Tính $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
B1.Khi $x \to +\infty$ thì $x > 0$ nên $\sqrt{x^2} = x$. Chia cả tử và mẫu cho $x$:
B2.Tử: $\dfrac{1 - 2x}{x} = \dfrac{1}{x} - 2$
B3.Mẫu: $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - 2x}{\sqrt{x^2+1}} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - 2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}} = \dfrac{0 - 2}{\sqrt{1}} = -2$
💡 Ví dụ 8 — Dạng $\infty - \infty$ (nhân liên hợp)
Tính $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 2} - x\right)$
B1.Đây là dạng $\infty - \infty$. Nhân và chia cho liên hợp $\sqrt{x^2+x+2} + x$:
$\sqrt{x^2+x+2} - x = \dfrac{(x^2+x+2) - x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x} = \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$
B2.Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x > 0$):
$= \dfrac{1 + \dfrac{2}{x}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + 1}$
B3.Khi $x \to +\infty$: giới hạn $= \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}$
5
Giới hạn vô cực và quy tắc xét dấu $\dfrac{L}{0}$
▼
Định nghĩa giới hạn vô cực
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$: với dãy $(x_n) \to x_0$, ta có $f(x_n) \to +\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ nếu $\displaystyle\lim_{x \to x_0} [-f(x)] = +\infty$.
• Tương tự cho giới hạn vô cực một phía và tại $\pm\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ nếu $\displaystyle\lim_{x \to x_0} [-f(x)] = +\infty$.
• Tương tự cho giới hạn vô cực một phía và tại $\pm\infty$.
⚠️ Chú ý quan trọng
Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia không còn đúng cho giới hạn vô cực. Ta phải dùng các quy tắc riêng dưới đây.
Quy tắc giới hạn của tích
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | $\lim [f(x) \cdot g(x)]$ |
|---|---|---|
| $L > 0$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $L > 0$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $L < 0$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $L < 0$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Quy tắc giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | Dấu $g(x)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
|---|---|---|---|
| $L$ hữu hạn | $\pm\infty$ | Tuỳ ý | $0$ |
| $L > 0$ | $0$ | $+$ | $+\infty$ |
| $L > 0$ | $0$ | $-$ | $-\infty$ |
| $L < 0$ | $0$ | $+$ | $-\infty$ |
| $L < 0$ | $0$ | $-$ | $+\infty$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Mẹo nhớ nhanh
• Tích: "cùng dấu → $+\infty$, khác dấu → $-\infty$".
• Thương dạng $\dfrac{L}{0}$: kết quả là $\pm\infty$ — xét dấu của $L$ và dấu của mẫu để chọn $+\infty$ hay $-\infty$.
• Thương dạng $\dfrac{L}{\pm\infty}$: luôn bằng $0$.
• Thương dạng $\dfrac{L}{0}$: kết quả là $\pm\infty$ — xét dấu của $L$ và dấu của mẫu để chọn $+\infty$ hay $-\infty$.
• Thương dạng $\dfrac{L}{\pm\infty}$: luôn bằng $0$.
💡 Ví dụ 9 — Dạng $\dfrac{L}{0^+}$
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x + 1}{x^2}$
B1.Tử số: $\displaystyle\lim (x + 1) = 0 + 1 = 1 > 0$
B2.Mẫu số: $x^2 > 0$ với mọi $x \neq 0$, và $\displaystyle\lim x^2 = 0$ → mẫu $\to 0^+$
B3.Áp dụng quy tắc $\dfrac{L > 0}{0^+} = +\infty$:
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x + 1}{x^2} = +\infty$
💡 Ví dụ 10 — Một phía, xét dấu mẫu
Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x - 1}{x - 2}$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x - 1}{x - 2}$
B1.Tử số: $\displaystyle\lim_{x \to 2} (2x - 1) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0$
B2.Khi $x \to 2^+$ ($x > 2$): $x - 2 \to 0^+$ → áp dụng $\dfrac{3}{0^+} = +\infty$:
$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x - 1}{x - 2} = +\infty$
B3.Khi $x \to 2^-$ ($x < 2$): $x - 2 \to 0^-$ → áp dụng $\dfrac{3}{0^-} = -\infty$:
$\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x - 1}{x - 2} = -\infty$
6
Tổng kết các dạng & công thức
▼
📋 Bảng tổng hợp các dạng giới hạn và cách giải
| Dạng | Phương pháp |
|---|---|
| Đa thức / Phân thức (mẫu $\neq 0$) | Thay trực tiếp $x = x_0$ |
| Dạng $\dfrac{0}{0}$ (đa thức) | Phân tích nhân tử, rút gọn $(x - x_0)$ |
| Dạng $\dfrac{0}{0}$ (có căn) | Nhân liên hợp $\sqrt{A} + B$ |
| Giới hạn một phía | Xét công thức theo miền; tách $|x - a|$ |
| Phân thức khi $x \to \pm\infty$ | Chia tử & mẫu cho $x^k$ bậc cao nhất |
| $x \to \pm\infty$ có căn | Đưa $|x|$ ra ngoài căn (dấu phụ thuộc $x$) |
| Dạng $\infty - \infty$ | Nhân liên hợp $\sqrt{A} + B$ |
| Dạng $\dfrac{L}{0}$ ($L \neq 0$) | Xét dấu mẫu → suy ra $+\infty$ hoặc $-\infty$ |
| Dạng $\dfrac{L}{\pm\infty}$ | Kết quả luôn $= 0$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về giới hạn của hàm số — định nghĩa, quy tắc tính và phương pháp giải trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Giới hạn của hàm số!
26 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh