Lớp 11 · Toán
Bài 28
Biến Cố Hợp · Giao · Độc Lập
Phép hợp · Phép giao · Tính độc lập của biến cố
1
Biến cố hợp $A \cup B$
▼
Định nghĩa
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố "$A$ hoặc $B$ xảy ra" được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$, ký hiệu là $A \cup B$.
$A \cup B = \{ x \in \Omega \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B \}$
🔑 Ý nghĩa
• Biến cố $A \cup B$ xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$, $B$ xảy ra.
• $A \cup B$ là tập con của không gian mẫu $\Omega$, gồm tất cả phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (hoặc thuộc cả hai).
• Mẹo nhớ: "Hợp" $\leftrightarrow$ "hoặc" $\leftrightarrow$ $\cup$ (chữ U — Union).
• $A \cup B$ là tập con của không gian mẫu $\Omega$, gồm tất cả phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (hoặc thuộc cả hai).
• Mẹo nhớ: "Hợp" $\leftrightarrow$ "hoặc" $\leftrightarrow$ $\cup$ (chữ U — Union).
💡 Ví dụ
Một hộp đựng $15$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $15$. Rút ngẫu nhiên $1$ thẻ. Gọi $E$ là biến cố "Số ghi trên thẻ là số lẻ"; $F$ là biến cố "Số ghi trên thẻ là số nguyên tố". Tìm $E \cup F$
Không gian mẫu $\Omega = \{1; 2; 3; \ldots; 15\}$
Liệt kê các phần tử của $E$ và $F$:
$E = \{1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}$ (các số lẻ từ $1$ đến $15$)
$F = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$ (các số nguyên tố từ $1$ đến $15$)
Hợp $E \cup F$ gồm phần tử thuộc $E$ hoặc thuộc $F$:
$E \cup F = \{1; 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}$
$E \cup F$ là biến cố "Số ghi trên thẻ là số lẻ hoặc số nguyên tố"
2
Biến cố giao $A \cap B$
▼
Định nghĩa
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố "cả $A$ và $B$ đều xảy ra" được gọi là biến cố giao của $A$ và $B$, ký hiệu là $A \cap B$ hoặc $AB$.
$A \cap B = \{ x \in \Omega \mid x \in A \text{ và } x \in B \}$
🔑 Ý nghĩa
• Biến cố $A \cap B$ xảy ra khi cả hai biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra.
• $A \cap B$ là tập con của $\Omega$, gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$.
• Mẹo nhớ: "Giao" $\leftrightarrow$ "và" $\leftrightarrow$ $\cap$ (phần chung).
• $A \cap B$ là tập con của $\Omega$, gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$.
• Mẹo nhớ: "Giao" $\leftrightarrow$ "và" $\leftrightarrow$ $\cap$ (phần chung).
💡 Ví dụ
Một hộp có $25$ tấm thẻ đánh số $1$ đến $25$. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $P$ là biến cố "Số ghi trên thẻ chia hết cho $4$"; $Q$ là biến cố "Số ghi trên thẻ chia hết cho $6$". Tìm $P \cap Q$
Không gian mẫu $\Omega = \{1; 2; 3; \ldots; 25\}$
$P = \{4; 8; 12; 16; 20; 24\}$ (chia hết cho $4$)
$Q = \{6; 12; 18; 24\}$ (chia hết cho $6$)
Giao $P \cap Q$ gồm các phần tử chia hết cho cả $4$ và $6$, tức chia hết cho $\text{BCNN}(4, 6) = 12$:
$P \cap Q = \{12; 24\}$
$P \cap Q$ là biến cố "Số ghi trên thẻ chia hết cho $12$"
3
Biểu diễn biến cố qua phép toán tập hợp
▼
Bảng ký hiệu
Các biến cố phức tạp có thể được biểu diễn qua $A$, $B$ và biến cố đối $\overline{A}$, $\overline{B}$.
| Ký hiệu | Diễn đạt bằng lời |
|---|---|
| $A \cup B$ | $A$ hoặc $B$ xảy ra (ít nhất một trong hai) |
| $A \cap B$ | Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra |
| $\overline{A}$ | $A$ không xảy ra (biến cố đối) |
| $A \cap \overline{B}$ | $A$ xảy ra và $B$ không xảy ra |
| $\overline{A} \cap B$ | $A$ không xảy ra và $B$ xảy ra |
| $\overline{A} \cap \overline{B}$ | Cả $A$ và $B$ đều không xảy ra |
| $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ | Đúng một trong hai biến cố xảy ra |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo từ khoá → phép toán
• "hoặc", "hay", "ít nhất một" $\rightarrow$ phép hợp $\cup$.
• "và", "đồng thời", "cả hai" $\rightarrow$ phép giao $\cap$.
• "không" $\rightarrow$ biến cố đối $\overline{\phantom{A}}$.
• "chỉ một trong hai" $\rightarrow$ $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.
• "không có cả hai" $\rightarrow$ $\overline{A} \cap \overline{B}$.
• "và", "đồng thời", "cả hai" $\rightarrow$ phép giao $\cap$.
• "không" $\rightarrow$ biến cố đối $\overline{\phantom{A}}$.
• "chỉ một trong hai" $\rightarrow$ $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.
• "không có cả hai" $\rightarrow$ $\overline{A} \cap \overline{B}$.
💡 Ví dụ minh hoạ
Chọn ngẫu nhiên một gia đình ở một khu phố. Gọi $M$: "Gia đình có ti vi"; $N$: "Gia đình có máy vi tính". Hãy biểu diễn các biến cố sau qua $M, N$
a)$E$: "Gia đình có ti vi hoặc máy vi tính" $\Rightarrow E = M \cup N$
b)$F$: "Gia đình có cả ti vi và máy vi tính" $\Rightarrow F = M \cap N$
c)$G$: "Gia đình chỉ có đúng một trong hai thiết bị"
$G$ xảy ra ⟺ (có TV, không máy vi tính) hoặc (không TV, có máy vi tính)
$G = (M \cap \overline{N}) \cup (\overline{M} \cap N)$
d)$H$: "Gia đình không có cả ti vi lẫn máy vi tính" $\Rightarrow H = \overline{M} \cap \overline{N}$
4
Biến cố độc lập
▼
Định nghĩa
Cặp biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
📌 Chú ý quan trọng
Nếu cặp $A$ và $B$ độc lập thì các cặp sau cũng độc lập:
• $A$ và $\overline{B}$ • $\overline{A}$ và $B$ • $\overline{A}$ và $\overline{B}$.
• $A$ và $\overline{B}$ • $\overline{A}$ và $B$ • $\overline{A}$ và $\overline{B}$.
🔧 Cách xét tính độc lập
Bước 1: Tính $P(B)$ trong trường hợp $A$ xảy ra.
Bước 2: Tính $P(B)$ trong trường hợp $A$ không xảy ra.
Bước 3: So sánh:
– Nếu hai giá trị bằng nhau $\rightarrow$ $A$ và $B$ độc lập.
– Nếu hai giá trị khác nhau $\rightarrow$ $A$ và $B$ không độc lập.
Bước 2: Tính $P(B)$ trong trường hợp $A$ không xảy ra.
Bước 3: So sánh:
– Nếu hai giá trị bằng nhau $\rightarrow$ $A$ và $B$ độc lập.
– Nếu hai giá trị khác nhau $\rightarrow$ $A$ và $B$ không độc lập.
Dấu hiệu nhận biết nhanh
• Hai phép thử riêng biệt, không can thiệp vào nhau (gieo 2 xúc xắc, lấy bi từ 2 hộp khác nhau) $\rightarrow$ độc lập.
• Lấy mẫu có hoàn lại $\rightarrow$ độc lập.
• Lấy mẫu không hoàn lại trên cùng một hộp $\rightarrow$ không độc lập.
• Kết quả phép thử thứ nhất làm thay đổi điều kiện phép thử thứ hai $\rightarrow$ không độc lập.
• Lấy mẫu có hoàn lại $\rightarrow$ độc lập.
• Lấy mẫu không hoàn lại trên cùng một hộp $\rightarrow$ không độc lập.
• Kết quả phép thử thứ nhất làm thay đổi điều kiện phép thử thứ hai $\rightarrow$ không độc lập.
💡 Ví dụ 1 — Lấy bi có hoàn lại
Hộp có $4$ bi đỏ và $5$ bi xanh. Minh lấy ngẫu nhiên $1$ bi, ghi màu rồi trả lại hộp. Sau đó Hùng lấy ngẫu nhiên $1$ bi. Xét $A$: "Minh lấy được bi đỏ", $B$: "Hùng lấy được bi xanh"
TH1.$A$ xảy ra (Minh lấy bi đỏ): vì đã trả lại nên hộp vẫn có $4$ đỏ + $5$ xanh
$P(B) = \dfrac{5}{9}$
TH2.$A$ không xảy ra (Minh lấy bi xanh): hộp vẫn có $4$ đỏ + $5$ xanh
$P(B) = \dfrac{5}{9}$
Hai giá trị $P(B)$ bằng nhau $\Rightarrow A$ và $B$ độc lập
💡 Ví dụ 2 — Lấy bi không hoàn lại
Cùng hộp $4$ bi đỏ + $5$ bi xanh. Sơn lấy $1$ bi và không trả lại. Tùng lấy tiếp $1$ bi. Xét $C$: "Sơn lấy được bi đỏ", $D$: "Tùng lấy được bi xanh"
TH1.$C$ xảy ra (Sơn lấy bi đỏ): hộp còn $3$ đỏ + $5$ xanh = $8$ bi
$P(D) = \dfrac{5}{8}$
TH2.$C$ không xảy ra (Sơn lấy bi xanh): hộp còn $4$ đỏ + $4$ xanh = $8$ bi
$P(D) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$
Hai giá trị $P(D)$ khác nhau $\Rightarrow C$ và $D$ không độc lập
💡 Ví dụ 3 — Hai chuồng riêng biệt
Chuồng I có $5$ thỏ đen + $10$ thỏ trắng. Chuồng II có $7$ thỏ đen + $3$ thỏ trắng. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên $1$ con. Xét $A$: "Bắt được thỏ trắng từ chuồng I", $B$: "Bắt được thỏ đen từ chuồng II"
Hai chuồng hoàn toàn riêng biệt, việc bắt thỏ từ chuồng này không làm thay đổi số thỏ trong chuồng kia
Dù $A$ xảy ra hay không xảy ra, chuồng II vẫn có $7$ đen + $3$ trắng
$P(B) = \dfrac{7}{10}$ (không đổi)
Tương tự, $P(A) = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ không đổi dù $B$ thế nào
$\Rightarrow A$ và $B$ độc lập
5
Trường hợp đặc biệt: dồn nhóm
▼
Khi nào không độc lập?
Khi kết quả phép thử thứ nhất làm thay đổi thành phần trong phép thử thứ hai (chuyển đối tượng, dồn nhóm), hai biến cố thường không độc lập.
💡 Ví dụ — Dồn gà giữa hai chuồng
Chuồng I có $9$ gà mái + $3$ gà trống. Chuồng II có $3$ gà mái + $6$ gà trống. Bắt ngẫu nhiên $1$ con từ chuồng I đem bán rồi dồn các con còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên $1$ con từ chuồng II. Xét $E$: "Bắt được gà trống từ chuồng I", $F$: "Bắt được gà mái từ chuồng II"
TH1.$E$ xảy ra (bắt được gà trống từ chuồng I, đem bán):
Chuồng I còn $9$ mái + $2$ trống = $11$ con
Dồn vào chuồng II: $(3+9)$ mái + $(6+2)$ trống = $12$ mái + $8$ trống = $20$ con
$P(F) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$
TH2.$E$ không xảy ra (bắt được gà mái từ chuồng I, đem bán):
Chuồng I còn $8$ mái + $3$ trống = $11$ con
Dồn vào chuồng II: $(3+8)$ mái + $(6+3)$ trống = $11$ mái + $9$ trống = $20$ con
$P(F) = \dfrac{11}{20}$
Hai giá trị $P(F)$ khác nhau $\left(\dfrac{12}{20} \neq \dfrac{11}{20}\right) \Rightarrow E$ và $F$ không độc lập
Lưu ý khi giải
• Khi dồn nhóm, kết quả phép thử $1$ thay đổi thành phần của phép thử $2$ $\rightarrow$ phải tính $P(B)$ theo hai trường hợp.
• So sánh $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$ để kết luận.
• So sánh $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$ để kết luận.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp
| Khái niệm | Ký hiệu | Diễn đạt |
|---|---|---|
| Biến cố hợp | $A \cup B$ | $A$ hoặc $B$ xảy ra |
| Biến cố giao | $A \cap B$ (hay $AB$) | Cả $A$ và $B$ xảy ra |
| Biến cố đối | $\overline{A}$ | $A$ không xảy ra |
| Độc lập | — | Không ảnh hưởng xác suất của nhau |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Biến cố hợp · giao · độc lập!
26 câu · 4 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh