Lớp 11 · Toán
Bài 32
Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm
Tổng · Hiệu · Tích · Thương · Hàm hợp · Lượng giác · Mũ - lôgarit
1
Đạo hàm cơ bản: $x^n$ và $\sqrt{x}$
▼
Công thức 1 — Đạo hàm $y = x^n$
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, hàm số $y = x^n$ có đạo hàm tại mọi $x$ và:
$(x^n)' = nx^{n-1}$
Công thức 2 — Đạo hàm $y = \sqrt{x}$
Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$:
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
📌 Ví dụ áp dụng
• $(x^4)' = 4x^3$
• $(x^5)' = 5x^4$
• $(x^{10})' = 10x^9$
• Tại $x = 4$: $(\sqrt{x})'\big|_{x=4} = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$
• $(x^5)' = 5x^4$
• $(x^{10})' = 10x^9$
• Tại $x = 4$: $(\sqrt{x})'\big|_{x=4} = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$
2
Quy tắc tổng, hiệu, tích, thương
▼
Bốn quy tắc cơ bản
Giả sử $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Khi đó:
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của tổng | $(u + v)' = u' + v'$ |
| Đạo hàm của hiệu | $(u - v)' = u' - v'$ |
| Đạo hàm của tích | $(uv)' = u'v + uv'$ |
| Đạo hàm của thương | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ $(v \neq 0)$ |
| Nhân với hằng số | $(ku)' = ku'$ |
| Đạo hàm nghịch đảo | $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo nhớ đạo hàm thương
"Tử đạo nhân mẫu, trừ tử nhân mẫu đạo, tất cả chia mẫu bình phương".
Quy tắc tổng/hiệu áp dụng được cho nhiều hàm số.
Quy tắc tổng/hiệu áp dụng được cho nhiều hàm số.
💡 Ví dụ 1 — Đạo hàm đa thức
Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x + 1$
Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng/hiệu và $(ku)' = ku'$:
$y' = \dfrac{1}{3}(x^3)' - (x^2)' + 2(x)' + (1)'$
$= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 2 + 0 = x^2 - 2x + 2$
💡 Ví dụ 2 — Đạo hàm phân thức
Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$
Đặt $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) và $v = x - 1$ ($v' = 1$). Với $x \neq 1$:
$y' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{2(x - 1) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}$
$= \dfrac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$
3
Đạo hàm của hàm số hợp
▼
Định nghĩa hàm hợp
Cho $u = g(x)$ xác định trên $(a; b)$, có tập giá trị chứa trong $(c; d)$ và $y = f(u)$ xác định trên $(c; d)$. Khi đó hàm số $y = f(g(x))$ được gọi là hàm số hợp của $y = f(u)$ với $u = g(x)$.
Công thức đạo hàm hàm hợp
Nếu $u = g(x)$ có đạo hàm $u'_x$ tại $x$ và $y = f(u)$ có đạo hàm $y'_u$ tại $u$ thì:
$y'_x = y'_u \cdot u'_x$
🎯 Mẹo nhớ
Đạo hàm hàm hợp = Đạo hàm "ngoài" $\times$ Đạo hàm "trong"
| Hàm số | Đạo hàm hàm hợp |
|---|---|
| $y = u^n$ | $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$ |
| $y = \dfrac{1}{u}$ | $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ |
| $y = \sqrt{u}$ | $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ — Đạo hàm hàm hợp
Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$
Đặt $u = x^2 + 1$, ta có $y = \sqrt{u}$. Tính:
$u'_x = 2x$ và $y'_u = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$
Áp dụng $y'_x = y'_u \cdot u'_x$:
$y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
Cách viết ngắn: $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, áp dụng trực tiếp
💡 Ví dụ — Hàm lũy thừa hợp
Tính đạo hàm của $y = (2x - 3)^{10}$
Đặt $u = 2x - 3$ thì $y = u^{10}$. Có $u' = 2$
$y' = 10 u^9 \cdot u' = 10(2x - 3)^9 \cdot 2 = 20(2x - 3)^9$
4
Đạo hàm hàm số lượng giác
▼
Bốn công thức cơ bản
| Hàm số | Đạo hàm | Điều kiện |
|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $(\sin x)' = \cos x$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ |
| $y = \cos x$ | $(\cos x)' = -\sin x$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ |
| $y = \tan x$ | $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $y = \cot x$ | $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $x \neq k\pi$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📍 Công thức hàm hợp lượng giác
Với $u = u(x)$:
• $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$
• $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$
• $(\tan u)' = \dfrac{u'}{\cos^2 u}$
• $(\cot u)' = -\dfrac{u'}{\sin^2 u}$
• $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$
• $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$
• $(\tan u)' = \dfrac{u'}{\cos^2 u}$
• $(\cot u)' = -\dfrac{u'}{\sin^2 u}$
💡 Ví dụ 1 — $\sin$ của hàm bậc nhất
Tính đạo hàm của $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right)$
Đặt $u = 2x + \dfrac{\pi}{8}$, ta có $u' = 2$
$y' = u' \cdot \cos u = 2 \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right)$
💡 Ví dụ 2 — $\cos$ của hàm bậc nhất
Tính đạo hàm của $y = \cos\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right)$
Đặt $u = 4x - \dfrac{\pi}{3}$, ta có $u' = 4$
$y' = -u' \cdot \sin u = -4 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right)$
💡 Ví dụ 3 — $\tan$ của hàm bậc nhất
Tính đạo hàm của $y = \tan\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
Đặt $u = 2x + \dfrac{\pi}{4}$, ta có $u' = 2$
$y' = \dfrac{u'}{\cos^2 u} = \dfrac{2}{\cos^2\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)}$
5
Đạo hàm hàm mũ và hàm lôgarit
▼
Hàm số mũ
| Hàm số | Đạo hàm cơ bản | Đạo hàm hàm hợp |
|---|---|---|
| $y = e^x$ | $(e^x)' = e^x$ | $(e^u)' = e^u \cdot u'$ |
| $y = a^x$ $(0 < a \neq 1)$ | $(a^x)' = a^x \ln a$ | $(a^u)' = a^u \cdot u' \cdot \ln a$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
Hàm số lôgarit
| Hàm số | Đạo hàm cơ bản | Đạo hàm hàm hợp |
|---|---|---|
| $y = \ln x$ $(x > 0)$ | $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ | $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ |
| $y = \log_a x$ | $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$ | $(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 1 — Hàm mũ
Tính đạo hàm của $y = 2^{x^2 - x}$
Đặt $u = x^2 - x$, ta có $u' = 2x - 1$
Áp dụng $(a^u)' = a^u \cdot u' \cdot \ln a$ với $a = 2$:
$y' = 2^{x^2 - x} \cdot (2x - 1) \cdot \ln 2$
💡 Ví dụ 2 — Hàm lôgarit tự nhiên
Tính đạo hàm của $y = \ln(x^2 + 1)$
Đặt $u = x^2 + 1 > 0$, ta có $u' = 2x$
Áp dụng $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$:
$y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
💡 Ví dụ 3 — Hàm lôgarit cơ số $a$
Tính đạo hàm của $y = \log_2(2x - 1)$
Đặt $u = 2x - 1$, ta có $u' = 2$
Áp dụng $(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$ với $a = 2$:
$y' = \dfrac{2}{(2x - 1) \ln 2}$
6
Tổng kết bảng đạo hàm
▼
📋 Bảng đạo hàm cơ bản
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| $(c)'$ | $0$ |
| $(x^n)'$ | $n x^{n-1}$ |
| $\left(\dfrac{1}{x}\right)'$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $(\sqrt{x})'$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $(\sin x)'$ | $\cos x$ |
| $(\cos x)'$ | $-\sin x$ |
| $(\tan x)'$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $(\cot x)'$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
| $(e^x)'$ | $e^x$ |
| $(a^x)'$ | $a^x \ln a$ |
| $(\ln x)'$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $(\log_a x)'$ | $\dfrac{1}{x \ln a}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📌 Lưu ý khi giải bài tập
• Với hàm hợp: nhân thêm đạo hàm hàm trong $u'$.
• Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$. Vật đạt vị trí cực trị khi $v = 0$. Vật chạm đất khi $h(t) = 0$.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định (đặc biệt với $\sqrt{u}$, $\dfrac{1}{u}$, $\ln u$, $\tan u$, $\cot u$).
• Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$. Vật đạt vị trí cực trị khi $v = 0$. Vật chạm đất khi $h(t) = 0$.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định (đặc biệt với $\sqrt{u}$, $\dfrac{1}{u}$, $\ln u$, $\tan u$, $\cot u$).
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Các quy tắc tính đạo hàm!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh