Lớp 11 · Toán
Bài 13
Hai Mặt Phẳng Song Song
Định nghĩa · Điều kiện · Tính chất · Thales · Lăng trụ · Hình hộp
1
Định nghĩa hai mặt phẳng song song
▼
Định nghĩa
Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Kí hiệu: $(\alpha) \parallel (\beta)$ hoặc $(\beta) \parallel (\alpha)$.
Kí hiệu: $(\alpha) \parallel (\beta)$ hoặc $(\beta) \parallel (\alpha)$.
Hình minh hoạ: Ruộng bậc thang — các mặt phẳng song song trong thực tế
📍 Nhận xét quan trọng
Nếu hai mặt phẳng $(\alpha) \parallel (\beta)$ và đường thẳng $d \subset (\alpha)$ thì $d$ và $(\beta)$ không có điểm chung — tức là $d \parallel (\beta)$.
$(\alpha) \parallel (\beta), \ d \subset (\alpha) \Rightarrow d \parallel (\beta)$
🎯 Ứng dụng
Tính chất này giúp suy ra nhiều đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng khi biết hai mặt phẳng song song.
💡 Ví dụ 1 — Phân biệt các vị trí
Cho hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$. Số điểm chung của chúng có thể là
→ Nếu không có điểm chung nào: $(\alpha) \parallel (\beta)$
→ Nếu có ít nhất một điểm chung: theo Tính chất $5$ của các tính chất thừa nhận (bài $10$), hai mặt phẳng đó cắt nhau theo một đường thẳng — có vô số điểm chung
Vậy hai mặt phẳng phân biệt chỉ có $2$ trường hợp: song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến
2
Điều kiện để hai mặt phẳng song song
▼
Định lí điều kiện song song
Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$.
$\begin{cases} a \cap b = \{M\} \\ a, b \subset (\alpha) \\ a \parallel (\beta), \ b \parallel (\beta) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$
Hình minh hoạ: Điều kiện hai mặt phẳng song song
⚠️ Lưu ý cực kì quan trọng
Điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" là bắt buộc! Nếu hai đường thẳng song song với nhau (không cắt nhau) thì chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song.
Ví dụ phản chứng: Trong hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$, ta có $AA' \parallel BB'$ (song song chứ không cắt nhau), và cả hai đều song song với $(BCC'B')$. Tuy nhiên $(ABB'A')$ KHÔNG song song với $(BCC'B')$ — chúng cắt nhau theo giao tuyến $BB'$.
Ví dụ phản chứng: Trong hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$, ta có $AA' \parallel BB'$ (song song chứ không cắt nhau), và cả hai đều song song với $(BCC'B')$. Tuy nhiên $(ABB'A')$ KHÔNG song song với $(BCC'B')$ — chúng cắt nhau theo giao tuyến $BB'$.
🔧 Phương pháp chứng minh $(\alpha) \parallel (\beta)$
Bước 1: Tìm trong $(\alpha)$ hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại một điểm.
Bước 2: Chứng minh $a \parallel (\beta)$ và $b \parallel (\beta)$ (dùng đường trung bình, cạnh hình bình hành...).
Bước 3: Kết luận $(\alpha) \parallel (\beta)$.
Bước 2: Chứng minh $a \parallel (\beta)$ và $b \parallel (\beta)$ (dùng đường trung bình, cạnh hình bình hành...).
Bước 3: Kết luận $(\alpha) \parallel (\beta)$.
💡 Ví dụ 2
Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng $(BCE) \parallel (ADF)$
Hình minh hoạ: $(BCE) \parallel (ADF)$
→ Chứng minh $BC \parallel (ADF)$: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC \parallel AD$. Mà $AD \subset (ADF)$, $BC \not\subset (ADF)$ → $BC \parallel (ADF)$
→ Chứng minh $BE \parallel (ADF)$: Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $BE \parallel AF$. Mà $AF \subset (ADF)$, $BE \not\subset (ADF)$ → $BE \parallel (ADF)$
→ Trong $(BCE)$, hai đường thẳng $BC$ và $BE$ cắt nhau tại $B$, cả hai cùng song song với $(ADF)$
Áp dụng định lí điều kiện song song: $(BCE) \parallel (ADF)$ (đpcm)
3
Tính chất của hai mặt phẳng song song
▼
⚡ Tính chất 1 — Tồn tại và duy nhất
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hình minh hoạ: Duy nhất một mặt phẳng qua $M$ song song với $(P)$
⚡ Tính chất 2 — Tính bắc cầu
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
$(\alpha) \parallel (\gamma), \ (\beta) \parallel (\gamma), \ (\alpha) \neq (\beta) \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$
📍 Hệ quả quan trọng
Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Hệ quả này hay dùng để chứng minh các điểm đồng phẳng.
⚡ Tính chất 3 — Giao tuyến với mặt phẳng thứ ba
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
$(\alpha) \parallel (\beta), \ (\gamma) \cap (\alpha) = a, \ (\gamma) \cap (\beta) = b \Rightarrow a \parallel b$
Hình minh hoạ: Hai giao tuyến song song
💡 Ví dụ 3 — Áp dụng tính bắc cầu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh $4$ điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng
Hình minh hoạ: $4$ trung điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng
→ $MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MN \parallel AB \subset (ABCD)$, do đó $MN \parallel (ABCD)$
→ $NP$ là đường trung bình tam giác $SBC$ nên $NP \parallel BC \subset (ABCD)$, do đó $NP \parallel (ABCD)$
→ Trong $(MNP)$, hai đường $MN, NP$ cắt nhau tại $N$, cùng song song $(ABCD)$ → $(MNP) \parallel (ABCD)$
→ Tương tự, xét tam giác $SCD$ có $PQ$ là đường trung bình nên $PQ \parallel CD \subset (ABCD)$, do đó $PQ \parallel (ABCD)$. Vậy $(NPQ) \parallel (ABCD)$
→ Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng đi qua điểm $N$ và cùng song song $(ABCD)$, theo hệ quả: $(MNP) \equiv (NPQ)$
Vậy $4$ điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng (đpcm)
4
Định lí Thales trong không gian
▼
Định lí Thales
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình minh hoạ: Định lí Thales trong không gian
📍 Phát biểu chi tiết
Cho ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ đôi một song song. Hai cát tuyến $d$ và $d'$ phân biệt cắt:
• $d$ tại $A, B, C$ (lần lượt thuộc $(P), (Q), (R)$).
• $d'$ tại $A', B', C'$ (lần lượt thuộc $(P), (Q), (R)$).
Khi đó:
• $d$ tại $A, B, C$ (lần lượt thuộc $(P), (Q), (R)$).
• $d'$ tại $A', B', C'$ (lần lượt thuộc $(P), (Q), (R)$).
Khi đó:
$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'}$
💡 So sánh với hình học phẳng
Định lí Thales trong mặt phẳng: nếu một đường thẳng cắt $2$ cạnh tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ. Định lí Thales trong không gian là mở rộng tự nhiên của định lí này.
💡 Ví dụ 4
Cho tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1, A_2$ sao cho $A_2 A_1 = 2 A_1 A$. Gọi $(P), (Q)$ là hai mặt phẳng song song với $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. Mặt phẳng $(P)$ cắt $SB, SC$ tại $B_1, C_1$; $(Q)$ cắt $SB, SC$ tại $B_2, C_2$. Chứng minh $B_2 B_1 = 2 B_1 B$ và $C_2 C_1 = 2 C_1 C$
Hình minh hoạ: Áp dụng định lí Thales cho tứ diện $SABC$
→ Vì $(P) \parallel (ABC)$ và $(Q) \parallel (ABC)$ (giả thiết), theo tính bắc cầu: $(P) \parallel (Q)$
→ Ba mặt phẳng $(P), (Q), (ABC)$ đôi một song song
→ Áp dụng định lí Thales cho hai cát tuyến $SA$ và $SB$ (cắt $(P), (Q), (ABC)$ lần lượt tại $A_1, A_2, A$ và $B_1, B_2, B$):
$\dfrac{A_2 A_1}{A_1 A} = \dfrac{B_2 B_1}{B_1 B}$
→ Theo giả thiết $A_2 A_1 = 2 A_1 A$ nên $\dfrac{A_2 A_1}{A_1 A} = 2$, do đó $\dfrac{B_2 B_1}{B_1 B} = 2$, tức là $B_2 B_1 = 2 B_1 B$
→ Tương tự với hai cát tuyến $SA$ và $SC$: $C_2 C_1 = 2 C_1 C$
Vậy $B_2 B_1 = 2 B_1 B$ và $C_2 C_1 = 2 C_1 C$ (đpcm)
5
Hình lăng trụ và hình hộp
▼
Định nghĩa hình lăng trụ
Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\alpha')$. Trên $(\alpha)$ cho đa giác lồi $A_1 A_2 \ldots A_n$. Qua các đỉnh, vẽ các đường thẳng đôi một song song cắt $(\alpha')$ tại $A'_1, A'_2, \ldots, A'_n$.
Hình gồm hai đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$, $A'_1 A'_2 \ldots A'_n$ và các tứ giác $A_1 A'_1 A'_2 A_2, A_2 A'_2 A'_3 A_3, \ldots$ được gọi là hình lăng trụ.
Hình gồm hai đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$, $A'_1 A'_2 \ldots A'_n$ và các tứ giác $A_1 A'_1 A'_2 A_2, A_2 A'_2 A'_3 A_3, \ldots$ được gọi là hình lăng trụ.
Hình minh hoạ: Hình lăng trụ $A_1 A_2 \ldots A_n . A'_1 A'_2 \ldots A'_n$
📍 Các yếu tố của hình lăng trụ
• Hai đáy: hai đa giác $A_1 \ldots A_n$ và $A'_1 \ldots A'_n$ (nằm trong hai mặt phẳng song song).
• Cạnh bên: $A_1 A'_1, A_2 A'_2, \ldots, A_n A'_n$ (đôi một song song và bằng nhau).
• Mặt bên: các tứ giác $A_i A'_i A'_{i+1} A_{i+1}$ — luôn là hình bình hành.
• Tên gọi: theo tên đa giác đáy — lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác, ...
• Cạnh bên: $A_1 A'_1, A_2 A'_2, \ldots, A_n A'_n$ (đôi một song song và bằng nhau).
• Mặt bên: các tứ giác $A_i A'_i A'_{i+1} A_{i+1}$ — luôn là hình bình hành.
• Tên gọi: theo tên đa giác đáy — lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác, ...
⚡ $3$ tính chất quan trọng của hình lăng trụ
• Các mặt bên đều là hình bình hành.
• Các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
• Hai mặt đáy nằm trong hai mặt phẳng song song.
• Các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
• Hai mặt đáy nằm trong hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa hình hộp
Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình bình hành.
Hình minh hoạ: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$
📍 Các yếu tố của hình hộp
• $8$ đỉnh, $12$ cạnh, $6$ mặt đều là hình bình hành.
• $4$ cặp đỉnh đối diện: $(A, C'), (B, D'), (C, A'), (D, B')$.
• $4$ đường chéo: $AC', BD', CA', DB'$.
• $3$ cặp mặt đối diện: $(ABCD, A'B'C'D'), (ADD'A', BCC'B'), (ABB'A', DCC'D')$.
• $4$ cặp đỉnh đối diện: $(A, C'), (B, D'), (C, A'), (D, B')$.
• $4$ đường chéo: $AC', BD', CA', DB'$.
• $3$ cặp mặt đối diện: $(ABCD, A'B'C'D'), (ADD'A', BCC'B'), (ABB'A', DCC'D')$.
⚡ Tính chất hình hộp
• Bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường — gọi là tâm của hình hộp.
• Các mặt đối diện song song với nhau và có thể coi là $2$ đáy.
• Các mặt đối diện song song với nhau và có thể coi là $2$ đáy.
💡 Ví dụ 5 — Mặt bên hình lăng trụ là hình bình hành
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Chứng minh rằng mặt bên $ABB'A'$ là hình bình hành
→ $AA' \parallel BB'$ (các cạnh bên hình lăng trụ đôi một song song theo định nghĩa)
→ Hai đáy $(ABC) \parallel (A'B'C')$ (theo định nghĩa hình lăng trụ)
→ Mặt phẳng $(ABB'A')$ cắt cả $(ABC)$ và $(A'B'C')$ theo hai giao tuyến $AB$ và $A'B'$
→ Theo Tính chất $3$ (giao tuyến của mp thứ ba với $2$ mp song song): $AB \parallel A'B'$
Tứ giác $ABB'A'$ có $AA' \parallel BB'$ và $AB \parallel A'B'$ nên là hình bình hành (đpcm)
6
Mở rộng — Thiết diện song song với đáy & tỉ số diện tích
▼
Định lí — Thiết diện song song với đáy hình chóp
Cho hình chóp $S.A_1 A_2 \ldots A_n$. Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với đáy cắt các cạnh bên $SA_1, SA_2, \ldots, SA_n$ lần lượt tại $M_1, M_2, \ldots, M_n$. Khi đó thiết diện $M_1 M_2 \ldots M_n$ đồng dạng với đa giác đáy, với tỉ số đồng dạng:
$k = \dfrac{SM_1}{SA_1} = \dfrac{SM_2}{SA_2} = \cdots = \dfrac{SM_n}{SA_n}$
Do đó mỗi cạnh thiết diện $= k \times$ cạnh đáy tương ứng, và tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng:
$\dfrac{S_{\text{thiết diện}}}{S_{\text{đáy}}} = k^2 \;\Rightarrow\; S_{\text{thiết diện}} = k^2 \cdot S_{\text{đáy}}$
Hình minh hoạ: $(\alpha) \parallel (ABC)$ cắt $SA, SB, SC$ tại $M, N, P$ — thiết diện $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$ với tỉ số $k = \tfrac{SM}{SA}$
🔧 Vì sao có kết quả này? (nối tiếp Tính chất 3)
Bước 1: Xét mặt bên $(SA_1 A_2)$. Vì $(\alpha) \parallel$ đáy nên theo Tính chất 3, giao tuyến $M_1 M_2$ song song với $A_1 A_2$.
Bước 2: Trong tam giác $SA_1 A_2$, $M_1 M_2 \parallel A_1 A_2$ → $\dfrac{SM_1}{SA_1} = \dfrac{M_1 M_2}{A_1 A_2} = k$ (định lí Thales trong mặt phẳng).
Bước 3: Làm tương tự cho mọi cạnh → thiết diện có các cạnh tỉ lệ và các góc bằng đáy → đồng dạng với đáy theo tỉ số $k$.
Bước 4: Hai hình đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ theo $k^2$.
Bước 2: Trong tam giác $SA_1 A_2$, $M_1 M_2 \parallel A_1 A_2$ → $\dfrac{SM_1}{SA_1} = \dfrac{M_1 M_2}{A_1 A_2} = k$ (định lí Thales trong mặt phẳng).
Bước 3: Làm tương tự cho mọi cạnh → thiết diện có các cạnh tỉ lệ và các góc bằng đáy → đồng dạng với đáy theo tỉ số $k$.
Bước 4: Hai hình đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ theo $k^2$.
⚠️ Sai lầm thường gặp
Diện tích tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG tỉ số đồng dạng ($k^2$), KHÔNG phải $k$. Ví dụ $k = \dfrac{1}{2}$ thì diện tích thiết diện chỉ bằng $\dfrac{1}{4}$ (không phải $\dfrac{1}{2}$) diện tích đáy.
📍 Mở rộng & công thức hỗ trợ
• Kết quả đúng với đáy là đa giác bất kì (tam giác, tứ giác, …): thiết diện luôn đồng dạng đáy, $S_{\text{td}} = k^2 S_{\text{đáy}}$.
• Tiện cho bài tam giác đều cạnh $a$: $\;S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
• Tiện cho bài tam giác đều cạnh $a$: $\;S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
💡 Ví dụ — Diện tích thiết diện song song đáy
Cho hình chóp $S.ABC$ có diện tích đáy $\triangle ABC$ bằng $45$ cm². Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với $(ABC)$, cắt cạnh $SA$ tại $M$ sao cho $SM = \dfrac{2}{3} SA$. Tính diện tích thiết diện.
→ $(\alpha) \parallel (ABC)$ cắt $SA, SB, SC$ tại $M, N, P$. Theo Tính chất 3: $MN \parallel AB$, $NP \parallel BC$, $MP \parallel AC$ → $\triangle MNP$ đồng dạng $\triangle ABC$.
→ Tỉ số đồng dạng: $k = \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{2}{3}$.
→ Tỉ số diện tích: $\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = k^2 = \dfrac{4}{9}$.
→ $S_{MNP} = \dfrac{4}{9} \cdot 45 = 20$ cm².
Vậy diện tích thiết diện bằng $20$ cm².
7
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp kiến thức trọng tâm
| Nội dung | Tóm tắt |
|---|---|
| Định nghĩa $(\alpha) \parallel (\beta)$ | $(\alpha)$ và $(\beta)$ không có điểm chung |
| Nhận xét | $(\alpha) \parallel (\beta), d \subset (\alpha) \Rightarrow d \parallel (\beta)$ |
| Điều kiện song song | $a \cap b = M, a, b \subset (\alpha), a \parallel (\beta), b \parallel (\beta) \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$ |
| Tính chất $1$ | Qua $1$ điểm $\notin (P)$, có duy nhất $1$ mp song song với $(P)$ |
| Tính chất $2$ (bắc cầu) | $(\alpha) \parallel (\gamma), (\beta) \parallel (\gamma) \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$ |
| Hệ quả của bắc cầu | Hai mp cùng qua $1$ điểm và cùng // mp thứ ba thì trùng nhau |
| Tính chất $3$ (giao tuyến) | $(\alpha) \parallel (\beta), (\gamma) \cap (\alpha) = a, (\gamma) \cap (\beta) = b \Rightarrow a \parallel b$ |
| Định lí Thales | $3$ mp đôi một song song chắn $2$ cát tuyến theo các đoạn tỉ lệ: $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'}$ |
| Hình lăng trụ | $2$ đáy là đa giác đồng dạng trong $2$ mp //, các cạnh bên // và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành |
| Hình hộp | Lăng trụ tứ giác có $2$ đáy hình bình hành. $4$ đường chéo đồng quy tại tâm hình hộp |
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hai mặt phẳng song song!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh