Lớp 11 · Toán
Bài 29
Công Thức Cộng Xác Suất
Biến cố xung khắc · Công thức cộng tổng quát · Biến cố đối
1
Biến cố xung khắc
▼
Định nghĩa
Biến cố $A$ và biến cố $B$ được gọi là xung khắc nếu $A$ và $B$ không đồng thời xảy ra.
$A, B$ xung khắc $\Leftrightarrow A \cap B = \varnothing$
🔑 Ý nghĩa
• Hai biến cố xung khắc nghĩa là chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử.
• Trên biểu đồ Venn, hai biến cố xung khắc được biểu diễn bằng hai vòng tròn rời nhau.
• Biến cố $A$ và biến cố đối $\overline{A}$ luôn xung khắc vì $A \cap \overline{A} = \varnothing$.
• Trên biểu đồ Venn, hai biến cố xung khắc được biểu diễn bằng hai vòng tròn rời nhau.
• Biến cố $A$ và biến cố đối $\overline{A}$ luôn xung khắc vì $A \cap \overline{A} = \varnothing$.
💡 Ví dụ kiểm tra xung khắc
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Xét $A$: "Tổng số chấm $\geq 8$"; $B$: "Tổng số chấm $\leq 5$"; $C$: "Tổng số chấm là số nguyên tố"
a)Cặp $A$ và $B$: Tổng không thể vừa $\geq 8$ vừa $\leq 5$ → $A \cap B = \varnothing$ → xung khắc
b)Cặp $A$ và $C$: Tổng có thể bằng $11$ (vừa $\geq 8$ vừa nguyên tố) → $A \cap C \neq \varnothing$ → không xung khắc
c)Cặp $B$ và $C$: Tổng có thể bằng $3$ (vừa $\leq 5$ vừa nguyên tố) → $B \cap C \neq \varnothing$ → không xung khắc
2
Công thức cộng cho hai biến cố xung khắc
▼
Công thức
Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Ý nghĩa
Khi hai biến cố không thể đồng thời xảy ra, xác suất để ít nhất một trong hai biến cố xảy ra bằng tổng xác suất của từng biến cố.
🔧 Các bước giải
Bước 1: Xác định hai biến cố $A, B$ và kiểm tra chúng xung khắc ($A \cap B = \varnothing$).
Bước 2: Tính $P(A)$ và $P(B)$ riêng biệt (dùng tổ hợp hoặc đếm).
Bước 3: Áp dụng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Bước 2: Tính $P(A)$ và $P(B)$ riêng biệt (dùng tổ hợp hoặc đếm).
Bước 3: Áp dụng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
💡 Ví dụ — Chọn $2$ quả cùng màu
Hộp có $6$ quả cầu xanh và $4$ quả cầu đỏ (cùng kích thước, khối lượng). Chọn ngẫu nhiên $2$ quả. Tính xác suất chọn được $2$ quả cùng màu
Gọi $A$: "$2$ quả cầu màu xanh"; $B$: "$2$ quả cầu màu đỏ"
Biến cố "$2$ quả cùng màu" là $A \cup B$. Hai biến cố này xung khắc (không thể $2$ xanh đồng thời là $2$ đỏ)
Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$
$P(A) = \dfrac{C_6^2}{C_{10}^2} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$ và $P(B) = \dfrac{C_4^2}{C_{10}^2} = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{5 + 2}{15} = \dfrac{7}{15}$
3
Công thức cộng xác suất tổng quát
▼
Công thức tổng quát
Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Khi đó:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Vì sao phải trừ $P(A \cap B)$?
Khi $A$ và $B$ có phần chung, nếu chỉ cộng $P(A) + P(B)$ ta sẽ tính trùng phần $A \cap B$ hai lần. Vì vậy phải trừ đi một lần để có kết quả đúng.
🎯 Nhận xét quan trọng
Khi $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A \cap B) = 0$, công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Vậy công thức xung khắc là trường hợp riêng của công thức cộng tổng quát.
💡 Ví dụ — Học khá môn nào?
Một trường THPT có $25\%$ học sinh học khá môn Ngữ văn, $35\%$ học khá môn Toán, $10\%$ học khá cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính tỉ lệ học khá Ngữ văn hoặc Toán
Gọi $A$: "Học khá Ngữ văn"; $B$: "Học khá Toán"
$P(A) = 0{,}25$; $P(B) = 0{,}35$; $P(A \cap B) = 0{,}10$
Hai biến cố không xung khắc (vì có $10\%$ học khá cả hai), áp dụng công thức tổng quát:
$P(A \cup B) = 0{,}25 + 0{,}35 - 0{,}10 = 0{,}50$
Tỉ lệ học khá Ngữ văn hoặc Toán là $50\%$
4
Kết hợp biến cố đối
▼
Công thức biến cố đối
Biến cố "không xảy ra cả $A$ lẫn $B$" chính là biến cố đối của $A \cup B$ ($A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra):
$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$
🔧 Các bước giải
Bước 1: Xác định $P(A), P(B), P(A \cap B)$.
Bước 2: Tính $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Bước 3: Tính xác suất biến cố đối: $P(\text{không cả hai}) = 1 - P(A \cup B)$.
Bước 2: Tính $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Bước 3: Tính xác suất biến cố đối: $P(\text{không cả hai}) = 1 - P(A \cup B)$.
💡 Ví dụ — Nuôi chó / nuôi mèo
Khu phố có $50$ hộ, trong đó $18$ hộ nuôi chó, $16$ hộ nuôi mèo, $7$ hộ nuôi cả hai. Chọn ngẫu nhiên $1$ hộ. Tính xác suất hộ đó: a) nuôi chó hoặc mèo; b) không nuôi cả chó và mèo
Gọi $A$: "Hộ nuôi chó"; $B$: "Hộ nuôi mèo"
$P(A) = \dfrac{18}{50}$; $P(B) = \dfrac{16}{50}$; $P(A \cap B) = \dfrac{7}{50}$
a)$P(A \cup B) = \dfrac{18}{50} + \dfrac{16}{50} - \dfrac{7}{50} = \dfrac{27}{50}$
b)$P(\text{không nuôi cả chó và mèo}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \dfrac{27}{50} = \dfrac{23}{50}$
5
Sai lầm thường gặp & mẹo giải nhanh
▼
⚠️ Bảng sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Dùng $P(A) + P(B)$ cho mọi trường hợp | Chỉ đúng khi $A, B$ xung khắc. Trường hợp tổng quát phải trừ $P(A \cap B)$ |
| Quên đổi $\%$ sang xác suất | $63\% = 0{,}63$ — nhớ đổi trước khi tính |
| Nhầm $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$ | Chỉ bằng nhau khi $A, B$ độc lập. Đề cho $P(A \cap B)$ trực tiếp thì dùng luôn |
| Nhầm "không cả hai" = $\overline{A} \cap \overline{B}$ với $\overline{A} \cdot \overline{B}$ | "Không xảy ra cả hai" $= \overline{A \cup B}$, tính bằng $1 - P(A \cup B)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
🎯 Mẹo giải nhanh
• Chọn công thức đúng: Đề bài có $P(A \cap B) = 0$ hoặc cho "xung khắc" → dùng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Đề cho $P(A \cap B) \neq 0$ → dùng công thức tổng quát.
• "Ít nhất một" $=$ biến cố hợp: $P(\text{ít nhất một trong hai}) = P(A \cup B)$.
• Biến cố đối: Khi tính "ít nhất 1..." mà phức tạp, hãy tính biến cố đối "không có gì" rồi lấy $1$ trừ đi.
• Biểu đồ Venn: Vẽ $2$ vòng tròn giao nhau, điền số liệu vào từng phần (chỉ $A$, chỉ $B$, cả hai, không thuộc cả hai) → dễ kiểm tra.
• "Ít nhất một" $=$ biến cố hợp: $P(\text{ít nhất một trong hai}) = P(A \cup B)$.
• Biến cố đối: Khi tính "ít nhất 1..." mà phức tạp, hãy tính biến cố đối "không có gì" rồi lấy $1$ trừ đi.
• Biểu đồ Venn: Vẽ $2$ vòng tròn giao nhau, điền số liệu vào từng phần (chỉ $A$, chỉ $B$, cả hai, không thuộc cả hai) → dễ kiểm tra.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp
| Tình huống | Công thức |
|---|---|
| $A, B$ xung khắc | $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ |
| $A, B$ bất kỳ | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| Biến cố đối | $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ |
| "Không cả hai" | $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Xem thêm: Bài viết chi tiết về công thức cộng xác suất trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Công thức cộng xác suất!
25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh